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5. 如图,AD是等边三角形ABC的一条中线,若在边AC上取一点E,使得AE= AD,则∠EDC的度数为(
A.30°
B.20°
C.25°
D.15°
15°
)A.30°
B.20°
C.25°
D.15°
答案
D [解析]∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°.
∵AD是等边三角形ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°.
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}$×(180°−∠CAD)=75°，
∴∠EDC=90°−75°=15°.
∴∠BAC=60°.
∵AD是等边三角形ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°.
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}$×(180°−∠CAD)=75°，
∴∠EDC=90°−75°=15°.
6. 已知等腰三角形的两边长x,y满足|$x^2 - 9$|$ + (y - 4)^2 = 0,$则该三角形的周长为(
A.10
B.11
C.12
D.10或11
10或11
)A.10
B.11
C.12
D.10或11
答案
D [解析]∵|x²−9|+(y−4)²=0，
∴x²−9=0，y−4=0，解得x=±3，y=4.
∵x，y是等腰三角形的两边长，∴x=3，y=4.
①当腰长为3，底边长为4时，三角形的三边长分别为3，3，4，∴周长为3+3+4=10；
②当腰长为4，底边长为3时，三角形的三边长分别为3，4，4，∴周长为3+4+4=11.
综上所述，该三角形的周长为10或11.
∴x²−9=0，y−4=0，解得x=±3，y=4.
∵x，y是等腰三角形的两边长，∴x=3，y=4.
①当腰长为3，底边长为4时，三角形的三边长分别为3，3，4，∴周长为3+3+4=10；
②当腰长为4，底边长为3时，三角形的三边长分别为3，4，4，∴周长为3+4+4=11.
综上所述，该三角形的周长为10或11.
7. 如图,在△ABC中,AB= 6,BC= 7,AC= 4,直线m是△ABC的边BC的垂直平分线. 若P是直线m上的一个动点,则△APC的周长的最小值为( )
A.10
B.11
C.11.5
D.13
A.10
B.11
C.11.5
D.13
答案
A [解析]如图，连接BP，设直线m交AB于点D.
∵直线m是边BC的垂直平分线，∴BP=PC，
∴C△APC=AC+AP+PC=AC+AP+BP.
∵AC是定值，
∴当AP+BP的值最小时，△APC的周长最小.
∵AP+BP≥AB，
∴当点P和点D重合时，AP+BP的值最小，最小值为AB的长，∴△APC的周长的最小值为4+6=10.
8. 如图,在△ABC中,ED//BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G,F. 若FG= 3,ED= 6,则EB + DC的值为(
A.7
B.8
C.9
D.10
9
)A.7
B.8
C.9
D.10
答案
C [解析]∵ED//BC，
∴∠EGB=∠CBG，∠DFC=∠BCF.
∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠EBG=∠CBG，∠DCF=∠BCF，
∴∠EGB=∠EBG，∠DFC=∠DCF，
∴EB=EG，DC=DF.
∵FG=3，ED=6，
∴EB+DC=EG+DF=EG+GD+FG=ED+FG=6+3=9.
∴∠EGB=∠CBG，∠DFC=∠BCF.
∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠EBG=∠CBG，∠DCF=∠BCF，
∴∠EGB=∠EBG，∠DFC=∠DCF，
∴EB=EG，DC=DF.
∵FG=3，ED=6，
∴EB+DC=EG+DF=EG+GD+FG=ED+FG=6+3=9.
9. 如图,一艘轮船从海平面上的A地出发,向南偏西40°方向行驶40n mile到达B地,再从B地向北偏西20°方向行驶40n mile到达C地,则A,C两地相距
40
n mile.答案
40 [解析]连接AC(图略).
由题意，得∠ABC=60°，AB=BC=40nmile，
∴△ABC是等边三角形，∴AC=40nmile.
由题意，得∠ABC=60°，AB=BC=40nmile，
∴△ABC是等边三角形，∴AC=40nmile.
10. 如图,CD是等边三角形ABC的边AB上的中线,AC的垂直平分线交AC于点E,交CD于点F. 若DF= 1,则CD的长为
______.
______.答案
3 [解析]如图，连接AF.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°.
∵CD是等边三角形ABC的边AB上的中线，
∴∠ADF=90°，∠ACD=∠BCD=30°.
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AF=FC，∴∠FAE=∠FCA=30°，
∴∠DAF=30°.
在Rt△ADF中，DF=1，∴AF=2，∴FC=2，
∴CD=DF+FC=1+2=3.
11. 如图,∠AOB= 30°,P为∠AOB内一点,分别作点P关于OA,OB的对称点$P_1,P_2,$连接$P_1P_2$交OA于点M,交OB于点N. 若OP= 8,则△PMN的周长为______.
答案
8 [解析]如图，连接P₂O，P₁O.
∵点P关于OA，OB的对称点分别为P₁，P₂，
∴∠PON=∠P₂ON，∠POM=∠P₁OM，OP₂=OP=OP₁=8，P₂N=PN，P₁M=PM，∴△P₁OP₂为等腰三角形.
∵∠AOB=30°，
∴∠P₂ON+∠P₁OM=∠PON+∠POM=∠AOB=30°，
∴∠P₂OP₁=60°，∴△P₂OP₁为等边三角形，
∴P₂P₁=OP₂=OP₁=8，
∴△PMN的周长为PN+MN+PM=P₂N+MN+P₁M=P₂P₁=8.
12. 如图,∠BOC= 60°,A是BO延长线上的一点,OA= 12cm,动点P从点A出发,沿AB以2cm/s的速度运动,动点Q从点O出发,沿OC以1cm/s的速度运动. 若点P,Q同时出发,运动时间为t s,则当t= ______时,△POQ是等腰三角形.
答案
4或12 [解析]如图1，当点P在点O的左侧时，
∵PO=AO−AP=(12−2t)cm，OQ=t cm，
∴12−2t=t，解得t=4；
如图2，当点P在点O的右侧时，
∵PO=AP−AO=(2t−12)cm，OQ=t cm，
∴2t−12=t，解得t=12.
综上所述，当t为4或12时，△POQ是等腰三角形.
