13. 如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,D是边BC上一点,DE⊥AB于点E,F是线段AD的中点,连接EF,CF.
(1) 求证：EF= CF；
(2) 若∠BAC= 30°,AD= 12,求C,E两点之间的距离.

解：(1)证明：∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°.
在Rt△AED和Rt△ACD中，
∵F是斜边AD的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD，CF=$\frac{1}{2}$AD，
∴EF=CF.
(2)如图，连接CE.

由(1)，得EF=AF=CF=$\frac{1}{2}$AD=6，
∴∠FEA=∠FAE，∠FCA=∠FAC，
∴∠EFC=2∠FAE+2∠FAC=2∠BAC=2×30°=60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴CE=EF=6，
∴C，E两点之间的距离是6.

14. 如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高. 求证：AD垂直平分EF.
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴，∠AED=∠AFD=90°.
在Rt△ADE和Rt△ADF中，$\begin{cases}AD=AD，\\DE=DF，\end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△ADF()，
∴，∴AD垂直平分EF.

证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°.
在Rt△ADE和Rt△ADF中，$\begin{cases}AD=AD，\\DE=DF，\end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，∴AD垂直平分EF.

15. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,∠A= 60°,AC= 4,CD平分∠ACB交边AB于点D,E为边AB的中点,P为边CB上的一个动点.
(1) ∠ACD= ______°,AE= ______；
(2) 若△CPD是等腰三角形,求∠CPD的度数；
(3) 若点M在线段CD上,连接MP,ME,当MP + ME的值最小时,求CP的长.

解：(1)∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$×90°=45°.
∵∠A=60°，∴∠B=30°，∴AB=2AC=8.
∵E为边AB的中点，∴AE=$\frac{1}{2}$AB=4.
故答案为45，4.
(2)∵CD平分∠ACB，∴∠PCD=45°.
当PC=PD时，∠PDC=∠PCD=45°，
∴∠CPD=180°−∠PDC−∠PCD=90°；
当DP=DC时，∠CPD=∠PCD=45°；
当CP=CD时，∠CPD=∠CDP=(180°−45°)÷2=67.5°.
综上所述，∠CPD的度数为90°或45°或67.5°.
(3)如图，作点P关于CD的对称点P′，连接P′M，P′E.

∵CD平分∠ACB，∴点P′在AC上.
由点P和点P′关于CD对称可知，PM=P′M，CP=CP′，
∴MP+ME=MP′+ME≥EP′，
∴当E，M，P′三点共线，且EP′⊥AC时，MP+ME的值最小，最小值为EP′的长.
∵∠AP′E=∠ACB=90°，∴EP′//BC，
∴∠AEP′=∠B=30°.
∵AE=4，∴AP′=$\frac{1}{2}$AE=2，
∴CP=CP′=AC−AP′=2.