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1[2025陕西西安质检,中]如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且$AD=\dfrac{1}{3}AB$，$AE=\dfrac{1}{3}AC$，CD与BE交于点O，则$S_{△ COE}:S_{△ BOC}$的值为（
A.$\dfrac{1}{16}$
B.$\dfrac{1}{9}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{3}$
D
）A.$\dfrac{1}{16}$
B.$\dfrac{1}{9}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{3}$
答案
1. D 【解析】连接 DE.
∵ $AD = \frac{1}{3}AB$, $AE = \frac{1}{3}AC$,
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$. 又
∵ ∠DAE = ∠BAC,
∴ △ADE∽△ABC,
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$, ∠ADE = ∠ABC,
∴ DE//BC,
∴ ∠OED = ∠OBC, ∠ODE = ∠OCB,
∴ △DOE∽△COB,
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{OE}{OB}=\frac{1}{3}$,
∴ $S_{△COE}:S_{△BOC}=\frac{1}{3}$. 故选 D.
∵ $AD = \frac{1}{3}AB$, $AE = \frac{1}{3}AC$,
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$. 又
∵ ∠DAE = ∠BAC,
∴ △ADE∽△ABC,
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$, ∠ADE = ∠ABC,
∴ DE//BC,
∴ ∠OED = ∠OBC, ∠ODE = ∠OCB,
∴ △DOE∽△COB,
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{OE}{OB}=\frac{1}{3}$,
∴ $S_{△COE}:S_{△BOC}=\frac{1}{3}$. 故选 D.
解析
【分析】
拿到题目首先观察已知条件，题目给出了AD与AB、AE与AC的比例相等，且两角有公共角∠A，首先考虑用两边对应成比例且夹角相等判定△ADE与△ABC相似，通过相似可得对应边成比例、对应角相等，进而推出DE与BC平行；再由平行得到角相等，判定△DOE与△COB相似，得到OE与OB的比例；最后观察△COE和△BOC，二者同高，面积比等于对应底的比，代入比例即可求解。
【解析】
解：连接DE，
∵ $AD = \frac{1}{3}AB$，$AE = \frac{1}{3}AC$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，
又
∵ ∠DAE = ∠BAC，
∴ △ADE∽△ABC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，∠ADE = ∠ABC，
∴ DE//BC（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠OED = ∠OBC，∠ODE = ∠OCB，
∴ △DOE∽△COB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{OE}{OB}=\frac{1}{3}$，
∵ △COE和△BOC以OE、OB为底时，高相同，
∴ $S_{△ COE}:S_{△ BOC}=OE:OB=\frac{1}{3}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形判定与性质；平行线的判定；三角形面积与底的关系
【点评】
本题是相似三角形应用的常规题型，解题的核心是通过两次相似三角形的判定得到线段的比例关系，再结合同高三角形的面积比等于对应底的比求解，能够较好地考查学生对相似三角形相关知识的掌握程度和综合运用能力。
【难度系数】
0.6
拿到题目首先观察已知条件，题目给出了AD与AB、AE与AC的比例相等，且两角有公共角∠A，首先考虑用两边对应成比例且夹角相等判定△ADE与△ABC相似，通过相似可得对应边成比例、对应角相等，进而推出DE与BC平行；再由平行得到角相等，判定△DOE与△COB相似，得到OE与OB的比例；最后观察△COE和△BOC，二者同高，面积比等于对应底的比，代入比例即可求解。
【解析】
解：连接DE，
∵ $AD = \frac{1}{3}AB$，$AE = \frac{1}{3}AC$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，
又
∵ ∠DAE = ∠BAC，
∴ △ADE∽△ABC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，∠ADE = ∠ABC，
∴ DE//BC（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠OED = ∠OBC，∠ODE = ∠OCB，
∴ △DOE∽△COB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{OE}{OB}=\frac{1}{3}$，
∵ △COE和△BOC以OE、OB为底时，高相同，
∴ $S_{△ COE}:S_{△ BOC}=OE:OB=\frac{1}{3}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形判定与性质；平行线的判定；三角形面积与底的关系
【点评】
本题是相似三角形应用的常规题型，解题的核心是通过两次相似三角形的判定得到线段的比例关系，再结合同高三角形的面积比等于对应底的比求解，能够较好地考查学生对相似三角形相关知识的掌握程度和综合运用能力。
【难度系数】
0.6
2[中]已知在$△ ABC$中，$∠ A=78°$，$AB=4$，$AC=6$，下列阴影部分的三角形与$△ ABC$不相似的是（
B
）答案
2. B 【解析】A选项,由“两角分别相等的两个三角形相似”可证阴影部分的三角形与△ABC相似,故选项A不符合题意; B选项,不能证明阴影部分的三角形与△ABC相似,故选项B符合题意; C选项,由“两角分别相等的两个三角形相似”可证阴影部分的三角形与△ABC相似,故选项C不符合题意; D选项,由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可证阴影部分的三角形与△ABC相似,故选项D不符合题意. 故选 B.
解析
【分析】
解答本题需结合相似三角形的判定定理，逐一验证各选项的阴影三角形与原△ABC是否相似。首先明确原△ABC的已知条件：∠A=78°，AB=4，AC=6。相似三角形的常用判定定理有：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。分析时，A、C选项优先找公共角和等角，用“两角相等”的判定验证；B、D选项重点验证对应边是否成比例、等角是否为对应边的夹角，用“两边成比例且夹角相等”的判定验证即可。
【解析】
已知△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，逐一分析选项：
选项A：阴影三角形与△ABC有公共角∠C，且阴影三角形内有一个78°角与∠A相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可证两三角形相似，不符合题意。
选项B：阴影三角形夹78°角的两边长为2、3，可得$\frac{2}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{3}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，虽然两边对应成比例，但该78°角不是这两组对应边的夹角（原△ABC中AB、AC的夹角是∠A，不是此处的角），无法证明两三角形相似，符合题意。
选项C：阴影三角形与△ABC有公共角∠C，且阴影三角形内有一个78°角与∠A相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可证两三角形相似，不符合题意。
选项D：阴影三角形与△ABC有公共角∠A，夹∠A的两组对应边：阴影三角形的两边长为$AB-1=3$、$AC-4=2$，可得$\frac{2}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{3}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，满足“两边成比例且夹角相等”，可证两三角形相似，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、比例的计算
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题时要注意找准对应角和对应边，尤其使用“两边成比例且夹角相等”的判定定理时，必须确认角是两组对应边的夹角，避免因错用判定条件失分。
【难度系数】
0.65
解答本题需结合相似三角形的判定定理，逐一验证各选项的阴影三角形与原△ABC是否相似。首先明确原△ABC的已知条件：∠A=78°，AB=4，AC=6。相似三角形的常用判定定理有：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。分析时，A、C选项优先找公共角和等角，用“两角相等”的判定验证；B、D选项重点验证对应边是否成比例、等角是否为对应边的夹角，用“两边成比例且夹角相等”的判定验证即可。
【解析】
已知△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，逐一分析选项：
选项A：阴影三角形与△ABC有公共角∠C，且阴影三角形内有一个78°角与∠A相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可证两三角形相似，不符合题意。
选项B：阴影三角形夹78°角的两边长为2、3，可得$\frac{2}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{3}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，虽然两边对应成比例，但该78°角不是这两组对应边的夹角（原△ABC中AB、AC的夹角是∠A，不是此处的角），无法证明两三角形相似，符合题意。
选项C：阴影三角形与△ABC有公共角∠C，且阴影三角形内有一个78°角与∠A相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可证两三角形相似，不符合题意。
选项D：阴影三角形与△ABC有公共角∠A，夹∠A的两组对应边：阴影三角形的两边长为$AB-1=3$、$AC-4=2$，可得$\frac{2}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{3}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，满足“两边成比例且夹角相等”，可证两三角形相似，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、比例的计算
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题时要注意找准对应角和对应边，尤其使用“两边成比例且夹角相等”的判定定理时，必须确认角是两组对应边的夹角，避免因错用判定条件失分。
【难度系数】
0.65
3[2025贵州毕节校级质检,中]如图,已知四边形ABCD是矩形,将矩形沿AC折叠,点B落在点E处,连接DE.若$DE:AC=3:5$,则$\frac{AD}{AB}$的值为
(第3题图)
(第4题图)
$\frac{1}{2}$
.(第3题图)
(第4题图)
答案
3. $\frac{1}{2}$ 【解析】
∵ 将矩形沿AC折叠,点B落在点E处,
∴ ∠BAC = ∠EAC, AE = AB = CD.
∵ AB//CD,
∴ ∠DCA = ∠BAC,
∴ ∠EAC = ∠DCA. 设AE与CD相交于F,则AF = CF,
∴ AE-AF = CD-CF,即EF = DF,
∴ $\frac{EF}{AF}=\frac{DF}{FC}$. 又
∵ ∠AFC = ∠EFD,
∴ △ACF∽△EDF,
∴ $\frac{DF}{FC}=\frac{DE}{AC}=\frac{3}{5}$. 设DF=3x,FC=5x,则AF=5x. 在Rt△ADF中,$AD=\sqrt{AF^2-DF^2}=4x$. 又
∵ AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x,
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{4x}{8x}=\frac{1}{2}$.
思路分析
设 AE 与 CD 相交于 F,根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ACF∽△EDF得出$\frac{DF}{FC}=\frac{3}{5}$.设 DF = 3x,FC = 5x,用含x的式子表示出 AD,AB 的长即可得解.
∵ 将矩形沿AC折叠,点B落在点E处,
∴ ∠BAC = ∠EAC, AE = AB = CD.
∵ AB//CD,
∴ ∠DCA = ∠BAC,
∴ ∠EAC = ∠DCA. 设AE与CD相交于F,则AF = CF,
∴ AE-AF = CD-CF,即EF = DF,
∴ $\frac{EF}{AF}=\frac{DF}{FC}$. 又
∵ ∠AFC = ∠EFD,
∴ △ACF∽△EDF,
∴ $\frac{DF}{FC}=\frac{DE}{AC}=\frac{3}{5}$. 设DF=3x,FC=5x,则AF=5x. 在Rt△ADF中,$AD=\sqrt{AF^2-DF^2}=4x$. 又
∵ AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x,
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{4x}{8x}=\frac{1}{2}$.
思路分析
设 AE 与 CD 相交于 F,根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ACF∽△EDF得出$\frac{DF}{FC}=\frac{3}{5}$.设 DF = 3x,FC = 5x,用含x的式子表示出 AD,AB 的长即可得解.
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质得到相等的角和边，再结合矩形对边平行的性质推出交点处的等腰三角形，进而根据两边成比例且夹角相等证明两个三角形相似，得到边的比例关系，最后设参数结合勾股定理分别求出AD、AB的长度，即可计算出所求比值。
【解析】
∵ 将矩形沿AC折叠，点B落在点E处，
∴ ∠BAC = ∠EAC，AE = AB = CD，
∵ 四边形ABCD是矩形，AB//CD，
∴ ∠DCA = ∠BAC，
∴ ∠EAC = ∠DCA，
设AE与CD相交于点F，则AF = CF，
∴ AE-AF = CD-CF，即EF = DF，
∴ $\frac{EF}{AF}=\frac{DF}{FC}$，
又
∵ ∠AFC = ∠EFD，
∴ △ACF∽△EDF，
∴ $\frac{DF}{FC}=\frac{DE}{AC}=\frac{3}{5}$，
设DF=3x，FC=5x，则AF=FC=5x，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AF^2-DF^2}=\sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=4x$，
又
∵ AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{4x}{8x}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了折叠、矩形、相似三角形的相关知识，通过设参数的方法将比例关系转化为边长计算，是几何比值类问题的典型考法，要求学生熟练掌握相关性质和判定定理，能够灵活运用参数法简化运算。
【难度系数】
0.6
解题时先利用折叠的性质得到相等的角和边，再结合矩形对边平行的性质推出交点处的等腰三角形，进而根据两边成比例且夹角相等证明两个三角形相似，得到边的比例关系，最后设参数结合勾股定理分别求出AD、AB的长度，即可计算出所求比值。
【解析】
∵ 将矩形沿AC折叠，点B落在点E处，
∴ ∠BAC = ∠EAC，AE = AB = CD，
∵ 四边形ABCD是矩形，AB//CD，
∴ ∠DCA = ∠BAC，
∴ ∠EAC = ∠DCA，
设AE与CD相交于点F，则AF = CF，
∴ AE-AF = CD-CF，即EF = DF，
∴ $\frac{EF}{AF}=\frac{DF}{FC}$，
又
∵ ∠AFC = ∠EFD，
∴ △ACF∽△EDF，
∴ $\frac{DF}{FC}=\frac{DE}{AC}=\frac{3}{5}$，
设DF=3x，FC=5x，则AF=FC=5x，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AF^2-DF^2}=\sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=4x$，
又
∵ AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{4x}{8x}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了折叠、矩形、相似三角形的相关知识，通过设参数的方法将比例关系转化为边长计算，是几何比值类问题的典型考法，要求学生熟练掌握相关性质和判定定理，能够灵活运用参数法简化运算。
【难度系数】
0.6
4[2026江苏盐城质检,中]如图,已知$AB⊥BC$于点$B$,$CD⊥BC$于点$C$,$AB=4$,$CD=6$,$BC=14$,$P$为直线$BC$上一点,若以$A$,$B$,$P$为顶点的三角形与以$P$,$C$,$D$为顶点的三角形相似,则这样的$P$点有
6
个.答案
4. 6 【解析】
∵ AB ⊥ BC, CD ⊥ BC,
∴ ∠DCB = ∠ABC=90°. 设 BP = x. ①若点 P 在线段 BC 上,如图(1),当 PB:DC = AB:PC 时,△PAB∽△DPC,
∴ $\frac{x}{6}=\frac{4}{14-x}$,
∴ $x_1=2$,$x_2=12$; 当 PB:PC = AB:DC 时,△PAB∽△PDC,
∴ $\frac{x}{14-x}=\frac{4}{6}$, 解得 x=5.6.
②若点 P 在线段 CB 的延长线上,如图(2),当 PB:DC = AB:PC 时,△PAB∽△DPC,
∴ $\frac{x}{6}=\frac{4}{14+x}$,
∴ $x_1=-7+\sqrt{73}$,$x_2=-7-\sqrt{73}$(舍去); 当 PB:PC = AB:DC 时,△PAB∽△PDC,
∴ $\frac{x}{14+x}=\frac{4}{6}$, 解得 x=28.
③若点 P 在线段 BC 的延长线上,如图(3),当 PB:DC = AB:PC 时,△PAB∽△DPC,
∴ $\frac{x}{6}=\frac{4}{x-14}$,
∴ $x_1=7+\sqrt{73}$,$x_2=7-\sqrt{73}$(舍去); 当 PB:PC=AB:DC 时,△PAB∽△PDC,
∴ $\frac{x}{x-14}=\frac{4}{6}$, 解得 x=-28(舍去).
综上可知,符合题意的 x 的值有 6 个,即这样的 P 点有 6 个. 故答案为 6.
关键点拨
注意分点 P 在线段 BC 上,点 P 在线段 CB 的延长线上,点 P 在线段 BC 的延长线上三种情况讨论,并找到边之间的对应关系,不要漏解.
解析
【分析】
本题是相似三角形结合动点的问题，解题思路如下：首先由AB和CD都垂直于BC，可知△ABP和△CDP均为直角三角形，两个直角相等是固定的对应角，因此相似时边的对应关系有两种：①AB与CD对应、BP与CP对应；②AB与CP对应、BP与CD对应。其次点P在直线BC上，需分三种位置讨论：P在线段BC上、P在线段CB的延长线上、P在线段BC的延长线上。最后对每种位置的两种对应关系分别列方程求解，舍去不符合位置要求的解，统计有效解的数量即可得到P点的个数。
【解析】
∵ $AB ⊥ BC$，$CD ⊥ BC$，
∴ $∠ B = ∠ C = 90°$，设 $BP = x$。
① 若点P在线段BC上，此时 $PC = 14 - x$（$0 ＜ x ＜ 14$）：
当 $\frac{PB}{DC} = \frac{AB}{PC}$ 时，$△ PAB ∽ △ DPC$，代入得 $\frac{x}{6} = \frac{4}{14 - x}$，解得 $x_1=2$，$x_2=12$，均符合取值范围；
当 $\frac{PB}{PC} = \frac{AB}{DC}$ 时，$△ PAB ∽ △ PDC$，代入得 $\frac{x}{14 - x} = \frac{4}{6}$，解得 $x=5.6$，符合取值范围。
② 若点P在线段CB的延长线上，此时 $PC = 14 + x$（$x ＞ 0$）：
当 $\frac{PB}{DC} = \frac{AB}{PC}$ 时，$△ PAB ∽ △ DPC$，代入得 $\frac{x}{6} = \frac{4}{14 + x}$，解得 $x_1=-7+\sqrt{73}$（正数，符合），$x_2=-7-\sqrt{73}$（负数，舍去）；
当 $\frac{PB}{PC} = \frac{AB}{DC}$ 时，$△ PAB ∽ △ PDC$，代入得 $\frac{x}{14 + x} = \frac{4}{6}$，解得 $x=28$，符合取值范围。
③ 若点P在线段BC的延长线上，此时 $PC = x - 14$（$x ＞ 14$）：
当 $\frac{PB}{DC} = \frac{AB}{PC}$ 时，$△ PAB ∽ △ DPC$，代入得 $\frac{x}{6} = \frac{4}{x - 14}$，解得 $x_1=7+\sqrt{73}$（大于14，符合），$x_2=7-\sqrt{73}$（小于14，舍去）；
当 $\frac{PB}{PC} = \frac{AB}{DC}$ 时，$△ PAB ∽ △ PDC$，代入得 $\frac{x}{x - 14} = \frac{4}{6}$，解得 $x=-28$（负数，舍去）。
综上，符合条件的x共有6个，即这样的P点有6个。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形判定、分类讨论思想、动点问题分析
【点评】
本题的易错点是容易忽略点P在直线上的所有位置，或者遗漏相似三角形的边对应关系，导致漏解。求解后要注意验证解是否符合对应位置的取值要求，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.4
本题是相似三角形结合动点的问题，解题思路如下：首先由AB和CD都垂直于BC，可知△ABP和△CDP均为直角三角形，两个直角相等是固定的对应角，因此相似时边的对应关系有两种：①AB与CD对应、BP与CP对应；②AB与CP对应、BP与CD对应。其次点P在直线BC上，需分三种位置讨论：P在线段BC上、P在线段CB的延长线上、P在线段BC的延长线上。最后对每种位置的两种对应关系分别列方程求解，舍去不符合位置要求的解，统计有效解的数量即可得到P点的个数。
【解析】
∵ $AB ⊥ BC$，$CD ⊥ BC$，
∴ $∠ B = ∠ C = 90°$，设 $BP = x$。
① 若点P在线段BC上，此时 $PC = 14 - x$（$0 ＜ x ＜ 14$）：
当 $\frac{PB}{DC} = \frac{AB}{PC}$ 时，$△ PAB ∽ △ DPC$，代入得 $\frac{x}{6} = \frac{4}{14 - x}$，解得 $x_1=2$，$x_2=12$，均符合取值范围；
当 $\frac{PB}{PC} = \frac{AB}{DC}$ 时，$△ PAB ∽ △ PDC$，代入得 $\frac{x}{14 - x} = \frac{4}{6}$，解得 $x=5.6$，符合取值范围。
② 若点P在线段CB的延长线上，此时 $PC = 14 + x$（$x ＞ 0$）：
当 $\frac{PB}{DC} = \frac{AB}{PC}$ 时，$△ PAB ∽ △ DPC$，代入得 $\frac{x}{6} = \frac{4}{14 + x}$，解得 $x_1=-7+\sqrt{73}$（正数，符合），$x_2=-7-\sqrt{73}$（负数，舍去）；
当 $\frac{PB}{PC} = \frac{AB}{DC}$ 时，$△ PAB ∽ △ PDC$，代入得 $\frac{x}{14 + x} = \frac{4}{6}$，解得 $x=28$，符合取值范围。
③ 若点P在线段BC的延长线上，此时 $PC = x - 14$（$x ＞ 14$）：
当 $\frac{PB}{DC} = \frac{AB}{PC}$ 时，$△ PAB ∽ △ DPC$，代入得 $\frac{x}{6} = \frac{4}{x - 14}$，解得 $x_1=7+\sqrt{73}$（大于14，符合），$x_2=7-\sqrt{73}$（小于14，舍去）；
当 $\frac{PB}{PC} = \frac{AB}{DC}$ 时，$△ PAB ∽ △ PDC$，代入得 $\frac{x}{x - 14} = \frac{4}{6}$，解得 $x=-28$（负数，舍去）。
综上，符合条件的x共有6个，即这样的P点有6个。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形判定、分类讨论思想、动点问题分析
【点评】
本题的易错点是容易忽略点P在直线上的所有位置，或者遗漏相似三角形的边对应关系，导致漏解。求解后要注意验证解是否符合对应位置的取值要求，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.4
5[中]如图,四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为E,点F,M分别是AB,BC的中点,BN平分∠ABE交AM于点N,AB=AC=BD,连接MF,NF.求证:
$(1)BN=\sqrt{2} MN.$
(2)△MFN∽△BDC.
刷素养 走向重高
$(1)BN=\sqrt{2} MN.$
(2)△MFN∽△BDC.
刷素养 走向重高
答案
5.【证明】(1)
∵ AB=AC,M 是 BC 的中点,
∴ AM ⊥ BC, AM 平分∠BAC.
∵ BN 平分∠ABE,
∴ ∠EBN=∠ABN.
∵ AC ⊥ BD,
∴ ∠AEB = 90°,
∴ ∠EAB+ ∠EBA = 90°,
∴ ∠MNB=∠NAB+∠ABN = $\frac{1}{2}$(∠BAE+∠ABE)=45°,
∴ △BMN 是等腰直角三角形,
∴ BN=$\sqrt{2}MN$.
(2)
∵ 点 F,M 分别是 AB,BC 的中点,
∴ FM//AC, FM=$\frac{1}{2}AC$.
∵ AC = BD,
∴ FM = $\frac{1}{2}BD$, 即$\frac{FM}{BD}=\frac{1}{2}$.
∵ △BMN 是等腰直角三角形,
∴ NM = BM = $\frac{1}{2}BC$,即$\frac{NM}{BC}=\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{FM}{BD}=\frac{NM}{BC}$.
∵ AM ⊥ BC,
∴ ∠NMF+ ∠FMB = 90°.
∵ FM//AC,
∴ ∠ACB = ∠FMB.
∵ ∠CEB = 90°,
∴ ∠ACB+∠CBD = 90°,
∴ ∠CBD+∠FMB = 90°,
∴ ∠NMF = ∠CBD,
∴ △MFN∽△BDC.
∵ AB=AC,M 是 BC 的中点,
∴ AM ⊥ BC, AM 平分∠BAC.
∵ BN 平分∠ABE,
∴ ∠EBN=∠ABN.
∵ AC ⊥ BD,
∴ ∠AEB = 90°,
∴ ∠EAB+ ∠EBA = 90°,
∴ ∠MNB=∠NAB+∠ABN = $\frac{1}{2}$(∠BAE+∠ABE)=45°,
∴ △BMN 是等腰直角三角形,
∴ BN=$\sqrt{2}MN$.
(2)
∵ 点 F,M 分别是 AB,BC 的中点,
∴ FM//AC, FM=$\frac{1}{2}AC$.
∵ AC = BD,
∴ FM = $\frac{1}{2}BD$, 即$\frac{FM}{BD}=\frac{1}{2}$.
∵ △BMN 是等腰直角三角形,
∴ NM = BM = $\frac{1}{2}BC$,即$\frac{NM}{BC}=\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{FM}{BD}=\frac{NM}{BC}$.
∵ AM ⊥ BC,
∴ ∠NMF+ ∠FMB = 90°.
∵ FM//AC,
∴ ∠ACB = ∠FMB.
∵ ∠CEB = 90°,
∴ ∠ACB+∠CBD = 90°,
∴ ∠CBD+∠FMB = 90°,
∴ ∠NMF = ∠CBD,
∴ △MFN∽△BDC.
解析
【分析】
(1) 要证$BN=\sqrt{2} MN$，可先证明$△ BMN$为等腰直角三角形：首先利用等腰三角形三线合一的性质，结合已知$AB=AC$、M是BC中点，得到$AM ⊥ BC$且AM平分$∠ BAC$；再结合BN平分$∠ ABE$、$AC ⊥ BD$的条件，推导得出$∠ MNB=45°$，即可确定$△ BMN$是等腰直角三角形，进而得到边的数量关系。
(2) 要证$△ MFN ∽ △ BDC$，可通过“两边成比例且夹角相等”的相似判定定理证明：首先利用三角形中位线定理得到FM与AC的位置、数量关系，结合$AC=BD$得到FM与BD的比例；再由等腰直角三角形的性质得到NM与BC的比例，得到两组对应边成比例；最后通过余角的性质推导两组边的夹角$∠ NMF=∠ CBD$，即可完成相似证明。
【解析】
(1)
$\because AB=AC$，M是BC的中点，
$\therefore AM ⊥ BC$，AM平分$∠ BAC$。
$\because BN$平分$∠ ABE$，
$\therefore ∠ EBN=∠ ABN$。
$\because AC ⊥ BD$，
$\therefore ∠ AEB = 90°$，
$\therefore ∠ EAB+ ∠ EBA = 90°$，
$\therefore ∠ MNB=∠ NAB+∠ ABN = \frac{1}{2}(∠ BAE+∠ ABE)=45°$，
$\therefore △ BMN$是等腰直角三角形，
$\therefore BN=\sqrt{2} MN$。
(2)
$\because$ 点F，M分别是AB，BC的中点，
$\therefore FM//AC$，$FM=\frac{1}{2}AC$。
$\because AC = BD$，
$\therefore FM = \frac{1}{2}BD$，即$\frac{FM}{BD}=\frac{1}{2}$。
$\because △ BMN$是等腰直角三角形，
$\therefore NM = BM = \frac{1}{2}BC$，即$\frac{NM}{BC}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{FM}{BD}=\frac{NM}{BC}$。
$\because AM ⊥ BC$，
$\therefore ∠ NMF+ ∠ FMB = 90°$。
$\because FM//AC$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ FMB$。
$\because ∠ CEB = 90°$，
$\therefore ∠ ACB+∠ CBD = 90°$，
$\therefore ∠ CBD+∠ FMB = 90°$，
$\therefore ∠ NMF = ∠ CBD$，
$\therefore △ MFN ∽ △ BDC$。
【答案】
(1) $BN=\sqrt{2} MN$成立；
(2) $△ MFN ∽ △ BDC$成立。
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定
【点评】
本题为几何综合题，融合了多个基础几何知识点，解题过程中需要逐步转化角的关系、推导边的比例，对逻辑推理能力和几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证$BN=\sqrt{2} MN$，可先证明$△ BMN$为等腰直角三角形：首先利用等腰三角形三线合一的性质，结合已知$AB=AC$、M是BC中点，得到$AM ⊥ BC$且AM平分$∠ BAC$；再结合BN平分$∠ ABE$、$AC ⊥ BD$的条件，推导得出$∠ MNB=45°$，即可确定$△ BMN$是等腰直角三角形，进而得到边的数量关系。
(2) 要证$△ MFN ∽ △ BDC$，可通过“两边成比例且夹角相等”的相似判定定理证明：首先利用三角形中位线定理得到FM与AC的位置、数量关系，结合$AC=BD$得到FM与BD的比例；再由等腰直角三角形的性质得到NM与BC的比例，得到两组对应边成比例；最后通过余角的性质推导两组边的夹角$∠ NMF=∠ CBD$，即可完成相似证明。
【解析】
(1)
$\because AB=AC$，M是BC的中点，
$\therefore AM ⊥ BC$，AM平分$∠ BAC$。
$\because BN$平分$∠ ABE$，
$\therefore ∠ EBN=∠ ABN$。
$\because AC ⊥ BD$，
$\therefore ∠ AEB = 90°$，
$\therefore ∠ EAB+ ∠ EBA = 90°$，
$\therefore ∠ MNB=∠ NAB+∠ ABN = \frac{1}{2}(∠ BAE+∠ ABE)=45°$，
$\therefore △ BMN$是等腰直角三角形，
$\therefore BN=\sqrt{2} MN$。
(2)
$\because$ 点F，M分别是AB，BC的中点，
$\therefore FM//AC$，$FM=\frac{1}{2}AC$。
$\because AC = BD$，
$\therefore FM = \frac{1}{2}BD$，即$\frac{FM}{BD}=\frac{1}{2}$。
$\because △ BMN$是等腰直角三角形，
$\therefore NM = BM = \frac{1}{2}BC$，即$\frac{NM}{BC}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{FM}{BD}=\frac{NM}{BC}$。
$\because AM ⊥ BC$，
$\therefore ∠ NMF+ ∠ FMB = 90°$。
$\because FM//AC$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ FMB$。
$\because ∠ CEB = 90°$，
$\therefore ∠ ACB+∠ CBD = 90°$，
$\therefore ∠ CBD+∠ FMB = 90°$，
$\therefore ∠ NMF = ∠ CBD$，
$\therefore △ MFN ∽ △ BDC$。
【答案】
(1) $BN=\sqrt{2} MN$成立；
(2) $△ MFN ∽ △ BDC$成立。
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定
【点评】
本题为几何综合题，融合了多个基础几何知识点，解题过程中需要逐步转化角的关系、推导边的比例，对逻辑推理能力和几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
6 核心素养推理能力[较难](1)如图(1),$△ ABC$和$△ ADE$都是等边三角形,连接$BD$,$CE$.求证:$BD=CE$.
(2)如图(2),$△ ABC$和$△ ADE$都是等腰直角三角形,$∠ ABC=∠ ADE=90°$.连接$BD$,$CE$.请直接写出$\frac{BD}{CE}$的值.
(3)如图(3),$△ ABC$和$△ ADE$都是直角三角形,$∠ ABC=∠ ADE=90°$,且$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}=\frac{3}{4}$.连接$BD$,$CE$.求$\frac{BD}{CE}$的值.
(2)如图(2),$△ ABC$和$△ ADE$都是等腰直角三角形,$∠ ABC=∠ ADE=90°$.连接$BD$,$CE$.请直接写出$\frac{BD}{CE}$的值.
(3)如图(3),$△ ABC$和$△ ADE$都是直角三角形,$∠ ABC=∠ ADE=90°$,且$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}=\frac{3}{4}$.连接$BD$,$CE$.求$\frac{BD}{CE}$的值.
答案
6.(1)【证明】
∵ △ABC 和△ADE 都是等边三角形,
∴ AD = AE, AB = AC, ∠DAE = ∠BAC = 60°,
∴ ∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE,
∴ ∠BAD = ∠CAE,
∴ △BAD≌△CAE(SAS),
∴ BD = CE.
【解】(2)$\frac{BD}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∵ △ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,
∴ 易知$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, ∠DAE = ∠BAC = 45°,
∴ ∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE,
∴ ∠BAD = ∠CAE,
∴ △BAD∽△CAE,
∴ $\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(3)
∵ $\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}=\frac{3}{4}$, ∠ABC = ∠ADE = 90°,
∴ △ABC∽△ADE,
∴ ∠BAC = ∠DAE, 易知$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=\frac{3}{5}$,
∴ ∠CAE = ∠BAD,
∴ △CAE∽△BAD,
∴ $\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}=\frac{3}{5}$.
∵ △ABC 和△ADE 都是等边三角形,
∴ AD = AE, AB = AC, ∠DAE = ∠BAC = 60°,
∴ ∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE,
∴ ∠BAD = ∠CAE,
∴ △BAD≌△CAE(SAS),
∴ BD = CE.
【解】(2)$\frac{BD}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∵ △ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,
∴ 易知$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, ∠DAE = ∠BAC = 45°,
∴ ∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE,
∴ ∠BAD = ∠CAE,
∴ △BAD∽△CAE,
∴ $\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(3)
∵ $\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}=\frac{3}{4}$, ∠ABC = ∠ADE = 90°,
∴ △ABC∽△ADE,
∴ ∠BAC = ∠DAE, 易知$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=\frac{3}{5}$,
∴ ∠CAE = ∠BAD,
∴ △CAE∽△BAD,
∴ $\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}=\frac{3}{5}$.
解析
【分析】
(1)要证BD=CE，可通过证明BD、CE所在的△BAD和△CAE全等求解。结合等边三角形的性质可得AD=AE、AB=AC，再通过角的和差推导得到∠BAD=∠CAE，即可用SAS判定两三角形全等，进而得到对应边相等。
(2)求线段的比值，可通过证明BD、CE所在的三角形相似求解。结合等腰直角三角形的性质可得$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，再推导得到夹角∠BAD=∠CAE，即可判定△BAD∽△CAE，对应边的比值即为所求。
(3)先根据两组直角边对应成比例且夹角为直角，证明△ABC∽△ADE，得到∠BAC=∠DAE，进而推导得到∠BAD=∠CAE，再结合两边对应成比例且夹角相等证明△BAD∽△CAE，最后结合勾股定理得到对应边的比值，即为$\frac{BD}{CE}$的值。
【解析】
(1)证明：
∵ △ABC 和△ADE 都是等边三角形，
∴ AD = AE，AB = AC，∠DAE = ∠BAC = 60°，
∴ ∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE，即∠BAD = ∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\{\begin{array}{l}AD=AE\\ ∠ BAD=∠ CAE\\ AB=AC\end{array} $
∴ △BAD≌△CAE(SAS)，
∴ BD = CE。
(2)解：
∵ △ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，
∴ AD=DE，AB=BC，∠DAE=∠BAC=45°，
由勾股定理得$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{2}AD$，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2}AB$，
∴ $\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∵ ∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE，
∴ ∠BAD = ∠CAE，
∴ △BAD∽△CAE，
∴ $\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(3)解：
∵ $\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}=\frac{3}{4}$，∠ABC = ∠ADE = 90°，
∴ △ABC∽△ADE，
∴ ∠BAC = ∠DAE，$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
设AB=3k，BC=4k，AD=3m，DE=4m（k、m均不为0），
由勾股定理得$AC=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k$，$AE=\sqrt{(3m)^2+(4m)^2}=5m$，
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=\frac{3}{5}$，
∵ ∠BAC + ∠BAE = ∠DAE + ∠BAE，即∠CAE = ∠BAD，
∴ △CAE∽△BAD，
∴ $\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}=\frac{3}{5}$。
【答案】
(1)BD=CE，证明成立；(2)$\frac{\sqrt{2}}{2}$；(3)$\frac{3}{5}$
【知识点】
全等三角形判定与性质；相似三角形判定与性质；特殊三角形性质
【点评】
本题为“手拉手”几何模型的典型习题，从特殊的等边三角形、等腰直角三角形到一般直角三角形，依次考查全等、相似的应用，体现了从特殊到一般的推理逻辑，熟练掌握全等、相似的判定规则及特殊三角形的边角关系是解题的核心，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
(1)要证BD=CE，可通过证明BD、CE所在的△BAD和△CAE全等求解。结合等边三角形的性质可得AD=AE、AB=AC，再通过角的和差推导得到∠BAD=∠CAE，即可用SAS判定两三角形全等，进而得到对应边相等。
(2)求线段的比值，可通过证明BD、CE所在的三角形相似求解。结合等腰直角三角形的性质可得$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，再推导得到夹角∠BAD=∠CAE，即可判定△BAD∽△CAE，对应边的比值即为所求。
(3)先根据两组直角边对应成比例且夹角为直角，证明△ABC∽△ADE，得到∠BAC=∠DAE，进而推导得到∠BAD=∠CAE，再结合两边对应成比例且夹角相等证明△BAD∽△CAE，最后结合勾股定理得到对应边的比值，即为$\frac{BD}{CE}$的值。
【解析】
(1)证明：
∵ △ABC 和△ADE 都是等边三角形，
∴ AD = AE，AB = AC，∠DAE = ∠BAC = 60°，
∴ ∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE，即∠BAD = ∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\{\begin{array}{l}AD=AE\\ ∠ BAD=∠ CAE\\ AB=AC\end{array} $
∴ △BAD≌△CAE(SAS)，
∴ BD = CE。
(2)解：
∵ △ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，
∴ AD=DE，AB=BC，∠DAE=∠BAC=45°，
由勾股定理得$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{2}AD$，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2}AB$，
∴ $\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∵ ∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE，
∴ ∠BAD = ∠CAE，
∴ △BAD∽△CAE，
∴ $\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(3)解：
∵ $\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}=\frac{3}{4}$，∠ABC = ∠ADE = 90°，
∴ △ABC∽△ADE，
∴ ∠BAC = ∠DAE，$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
设AB=3k，BC=4k，AD=3m，DE=4m（k、m均不为0），
由勾股定理得$AC=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k$，$AE=\sqrt{(3m)^2+(4m)^2}=5m$，
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=\frac{3}{5}$，
∵ ∠BAC + ∠BAE = ∠DAE + ∠BAE，即∠CAE = ∠BAD，
∴ △CAE∽△BAD，
∴ $\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}=\frac{3}{5}$。
【答案】
(1)BD=CE，证明成立；(2)$\frac{\sqrt{2}}{2}$；(3)$\frac{3}{5}$
【知识点】
全等三角形判定与性质；相似三角形判定与性质；特殊三角形性质
【点评】
本题为“手拉手”几何模型的典型习题，从特殊的等边三角形、等腰直角三角形到一般直角三角形，依次考查全等、相似的应用，体现了从特殊到一般的推理逻辑，熟练掌握全等、相似的判定规则及特殊三角形的边角关系是解题的核心，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
