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1[2025重庆渝中区质检]若$△ ABC$的三边长分别是3,5,6,则与$△ ABC$相似的$△ DEF$的三边长可能是（
A.$DE=6,DF=8,EF=10$
B.$DE=9,EF=18,DF=25$
C.$DE=1,EF=2,DF=2.5$
D.$DE=6,DF=10,EF=12$
D
）A.$DE=6,DF=8,EF=10$
B.$DE=9,EF=18,DF=25$
C.$DE=1,EF=2,DF=2.5$
D.$DE=6,DF=10,EF=12$
答案
【解析】
∵ DE=6,DF=8,EF=10,$\frac{3}{6}≠\frac{5}{8}≠\frac{6}{10}$,
∴ △ABC 与 △DEF 不相似,故 A 不符合题意;
∵ DE=9,EF=18,DF=25,$\frac{3}{9}≠\frac{5}{18}≠\frac{6}{25}$,
∴ △ABC 与△DEF 不相似,故 B 不符合题意;
∵ DE = 1,EF =2,DF=2.5,$\frac{3}{1}≠\frac{5}{2}≠\frac{6}{2.5}$,
∴ △ABC 与 △DEF 不相似,故 C 不符合题意;
∵ DE = 6, DF = 10, EF = 12,$\frac{3}{6}=\frac{5}{10}=\frac{6}{12}$,
∴ △ABC 与 △DEF 相似,故 D 符合题意. 故选 D.
∵ DE=6,DF=8,EF=10,$\frac{3}{6}≠\frac{5}{8}≠\frac{6}{10}$,
∴ △ABC 与 △DEF 不相似,故 A 不符合题意;
∵ DE=9,EF=18,DF=25,$\frac{3}{9}≠\frac{5}{18}≠\frac{6}{25}$,
∴ △ABC 与△DEF 不相似,故 B 不符合题意;
∵ DE = 1,EF =2,DF=2.5,$\frac{3}{1}≠\frac{5}{2}≠\frac{6}{2.5}$,
∴ △ABC 与 △DEF 不相似,故 C 不符合题意;
∵ DE = 6, DF = 10, EF = 12,$\frac{3}{6}=\frac{5}{10}=\frac{6}{12}$,
∴ △ABC 与 △DEF 相似,故 D 符合题意. 故选 D.
解析
【分析】
要判断与△ABC相似的三角形，需用到三边成比例的两个三角形相似的判定定理。解题时首先将△ABC的三边长按从小到大的顺序排列为3,5,6，再将每个选项中△DEF的三边长也按从小到大排列，分别计算三组对应边的比值，若三组比值全部相等，则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】
先将△ABC的三边从小到大排序为3,5,6，逐个验证选项：
A选项：△DEF三边从小到大排序为6,8,10，对应边比值$\frac{3}{6}≠\frac{5}{8}≠\frac{6}{10}$，△ABC与△DEF不相似，不符合题意；
B选项：△DEF三边从小到大排序为9,18,25，对应边比值$\frac{3}{9}≠\frac{5}{18}≠\frac{6}{25}$，△ABC与△DEF不相似，不符合题意；
C选项：△DEF三边从小到大排序为1,2,2.5，对应边比值$\frac{3}{1}≠\frac{5}{2}≠\frac{6}{2.5}$，△ABC与△DEF不相似，不符合题意；
D选项：△DEF三边从小到大排序为6,10,12，对应边比值$\frac{3}{6}=\frac{5}{10}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，三组比值相等，△ABC与△DEF相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、比例的计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题关键是先将两个三角形的三边按大小顺序排列，再验证对应边的比值是否相等，做题时需注意边的对应关系，避免因对应顺序错误出现判断失误。
【难度系数】
0.8
要判断与△ABC相似的三角形，需用到三边成比例的两个三角形相似的判定定理。解题时首先将△ABC的三边长按从小到大的顺序排列为3,5,6，再将每个选项中△DEF的三边长也按从小到大排列，分别计算三组对应边的比值，若三组比值全部相等，则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】
先将△ABC的三边从小到大排序为3,5,6，逐个验证选项：
A选项：△DEF三边从小到大排序为6,8,10，对应边比值$\frac{3}{6}≠\frac{5}{8}≠\frac{6}{10}$，△ABC与△DEF不相似，不符合题意；
B选项：△DEF三边从小到大排序为9,18,25，对应边比值$\frac{3}{9}≠\frac{5}{18}≠\frac{6}{25}$，△ABC与△DEF不相似，不符合题意；
C选项：△DEF三边从小到大排序为1,2,2.5，对应边比值$\frac{3}{1}≠\frac{5}{2}≠\frac{6}{2.5}$，△ABC与△DEF不相似，不符合题意；
D选项：△DEF三边从小到大排序为6,10,12，对应边比值$\frac{3}{6}=\frac{5}{10}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，三组比值相等，△ABC与△DEF相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、比例的计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题关键是先将两个三角形的三边按大小顺序排列，再验证对应边的比值是否相等，做题时需注意边的对应关系，避免因对应顺序错误出现判断失误。
【难度系数】
0.8
2 新考向传统文化[2025山东济南期中]象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.如图是象棋的棋盘局部(各个小正方形的边长均相等)，根据“马走日”的规则，“马”应该落在位置
②
处，能使“马”“炮”“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“车”“相”所在位置的格点构成的三角形相似.答案
【解析】设棋盘中各个小正方形的边长均为1.由题图可知,“帅”“车”“相”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为 4,2,$2\sqrt{5}$,“兵”“炮”所在位置的格点之间的距离为 2,“炮”与②所在位置的格点之间的距离为 1,“兵”与②所在位置的格点之间的距离为$\sqrt{5}$.
∵ $\frac{4}{2}=\frac{2}{1}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2$,
∴ “马”应该落在位置②处,故答案为②.
∵ $\frac{4}{2}=\frac{2}{1}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2$,
∴ “马”应该落在位置②处,故答案为②.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以利用相似三角形的判定定理“三边对应成比例的两个三角形相似”推导：首先设每个小正方形的边长为1，先用勾股定理算出“帅”“车”“相”构成的三角形的三边长；再算出“兵”和“炮”两点的距离；最后分别计算“马”落在四个候选位置时，“马”“炮”“兵”构成的三角形的三边长，找到三边与“帅”“车”“相”三角形三边对应成比例的位置即可。
【解析】
设棋盘中各个小正方形的边长均为1。
由题图可知，“帅”“车”“相”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为 4，2，$2\sqrt{5}$；“兵”“炮”所在位置的格点之间的距离为 2。
当“马”落在位置②时，“炮”与②所在位置的格点之间的距离为 1，“兵”与②所在位置的格点之间的距离为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
∵ $\frac{4}{2}=\frac{2}{1}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2$，两个三角形三边对应成比例，即两个三角形相似，
∴ “马”应该落在位置②处。
【答案】
②
【知识点】
相似三角形判定，勾股定理，网格线段计算
【点评】
本题结合象棋传统文化背景设计题目，既考查了相似三角形的判定方法，也考查了学生利用勾股定理计算网格中线段长度的能力，将传统文化与数学知识融合，趣味性和实用性较强。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以利用相似三角形的判定定理“三边对应成比例的两个三角形相似”推导：首先设每个小正方形的边长为1，先用勾股定理算出“帅”“车”“相”构成的三角形的三边长；再算出“兵”和“炮”两点的距离；最后分别计算“马”落在四个候选位置时，“马”“炮”“兵”构成的三角形的三边长，找到三边与“帅”“车”“相”三角形三边对应成比例的位置即可。
【解析】
设棋盘中各个小正方形的边长均为1。
由题图可知，“帅”“车”“相”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为 4，2，$2\sqrt{5}$；“兵”“炮”所在位置的格点之间的距离为 2。
当“马”落在位置②时，“炮”与②所在位置的格点之间的距离为 1，“兵”与②所在位置的格点之间的距离为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
∵ $\frac{4}{2}=\frac{2}{1}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2$，两个三角形三边对应成比例，即两个三角形相似，
∴ “马”应该落在位置②处。
【答案】
②
【知识点】
相似三角形判定，勾股定理，网格线段计算
【点评】
本题结合象棋传统文化背景设计题目，既考查了相似三角形的判定方法，也考查了学生利用勾股定理计算网格中线段长度的能力，将传统文化与数学知识融合，趣味性和实用性较强。
【难度系数】
0.6
3[2026浙江嘉兴期末]如图(1),△ABC内有一点O,点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点.
(1)求证:△ABC∽△DEF;
(2)如果点O在△ABC的外部(如图(2)),其他条件不变,请仿照图(1)画出图形,探讨(1)中的结论是否成立.
(1)求证:△ABC∽△DEF;
(2)如果点O在△ABC的外部(如图(2)),其他条件不变,请仿照图(1)画出图形,探讨(1)中的结论是否成立.
答案
(1)【证明】
∵ 点 D,E,F 分别为 OA,OB,OC 的中点,
∴ DE,EF,DF 分别是 △AOB,△BCO,△AOC 的中位线,
∴ $DE=\frac{1}{2}AB$,$EF=\frac{1}{2}BC$,$DF=\frac{1}{2}AC$,
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$,
∴ △ABC∽△DEF.
(2)【解】画出图形如图所示,(1)中的结论成立. 理由:
∵ 点 D,E,F 分别为 OA,OB,OC 的中点,
∴ DE,EF,DF 分别是 △AOB,△BCO,△AOC 的中位线,
∴ $DE=\frac{1}{2}AB$,$EF=\frac{1}{2}BC$,$DF=\frac{1}{2}AC$,
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$,
∴ △ABC∽△DEF.
解析
【分析】
(1)要证明△ABC与△DEF相似，已知D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，可利用三角形中位线定理得到两个三角形对应边的比值关系，再根据三边对应成比例的相似判定定理即可证明结论。(2)当点O在△ABC外部时，中点的属性没有改变，三角形中位线定理仍然适用，因此可以沿用第一问的思路判断结论是否成立，再按要求画出对应图形即可。
【解析】
(1)证明：
∵ 点 D,E,F 分别为 OA,OB,OC 的中点，
∴ DE,EF,DF 分别是 △AOB、△BCO、△AOC的中位线，
由三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}AC$，
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$，
根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得△ABC∽△DEF。
(2)画出的图形如下：
(1)中的结论仍然成立，理由如下：
∵ 点 D,E,F 分别为 OA,OB,OC 的中点，
∴ DE,EF,DF 分别是 △AOB、△BCO、△AOC的中位线，
∴ $DE=\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}AC$，
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴ △ABC∽△DEF。
【答案】
(1)证明：
∵ 点 D,E,F 分别为 OA,OB,OC 的中点,
∴ DE,EF,DF 分别是 △AOB,△BCO,△AOC 的中位线,
∴ $DE=\frac{1}{2}AB$,$EF=\frac{1}{2}BC$,$DF=\frac{1}{2}AC$,
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$,
∴ △ABC∽△DEF.
(2)画出图形如图所示,(1)中的结论成立. 理由:
∵ 点 D,E,F 分别为 OA,OB,OC 的中点,
∴ DE,EF,DF 分别是 △AOB,△BCO,△AOC 的中位线,
∴ $DE=\frac{1}{2}AB$,$EF=\frac{1}{2}BC$,$DF=\frac{1}{2}AC$,
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$,
∴ △ABC∽△DEF.
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的SSS判定
【点评】
本题主要考查三角形中位线定理和相似三角形判定的应用，解题核心是抓住中点的性质，利用中位线得到两个三角形三边的比例关系，无论点O在三角形内部还是外部，中位线的性质均不发生改变，解题思路一致，属于基础题型，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.8
(1)要证明△ABC与△DEF相似，已知D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，可利用三角形中位线定理得到两个三角形对应边的比值关系，再根据三边对应成比例的相似判定定理即可证明结论。(2)当点O在△ABC外部时，中点的属性没有改变，三角形中位线定理仍然适用，因此可以沿用第一问的思路判断结论是否成立，再按要求画出对应图形即可。
【解析】
(1)证明：
∵ 点 D,E,F 分别为 OA,OB,OC 的中点，
∴ DE,EF,DF 分别是 △AOB、△BCO、△AOC的中位线，
由三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}AC$，
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$，
根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得△ABC∽△DEF。
(2)画出的图形如下：
(1)中的结论仍然成立，理由如下：
∵ 点 D,E,F 分别为 OA,OB,OC 的中点，
∴ DE,EF,DF 分别是 △AOB、△BCO、△AOC的中位线，
∴ $DE=\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}AC$，
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴ △ABC∽△DEF。
【答案】
(1)证明：
∵ 点 D,E,F 分别为 OA,OB,OC 的中点,
∴ DE,EF,DF 分别是 △AOB,△BCO,△AOC 的中位线,
∴ $DE=\frac{1}{2}AB$,$EF=\frac{1}{2}BC$,$DF=\frac{1}{2}AC$,
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$,
∴ △ABC∽△DEF.
(2)画出图形如图所示,(1)中的结论成立. 理由:
∵ 点 D,E,F 分别为 OA,OB,OC 的中点,
∴ DE,EF,DF 分别是 △AOB,△BCO,△AOC 的中位线,
∴ $DE=\frac{1}{2}AB$,$EF=\frac{1}{2}BC$,$DF=\frac{1}{2}AC$,
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$,
∴ △ABC∽△DEF.
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的SSS判定
【点评】
本题主要考查三角形中位线定理和相似三角形判定的应用，解题核心是抓住中点的性质，利用中位线得到两个三角形三边的比例关系，无论点O在三角形内部还是外部，中位线的性质均不发生改变，解题思路一致，属于基础题型，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.8
4[2025广东广州校级质检]如图，四边形ABCD、四边形DCFE、四边形EFGH是边长相等的正方形，且点B,C,F,G在同一直线上，则∠1+∠2的度数为
45°
。答案
【解析】设正方形的边长为 a. 由勾股定理得$AC^2=a^2+a^2=2a^2$,
∴ $AC=\sqrt{2}a$. 同理可得 $AF=\sqrt{5}a$,$AG=\sqrt{10}a$.
∵ $\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{5}a}{\sqrt{10}a}$,即$\frac{AC}{CG}=\frac{CF}{AC}=\frac{AF}{AG}$,
∴ △ACF ∽ △GCA,
∴ ∠2 = ∠CAF.
∵ ∠ACB = ∠CAF+∠1=45°,
∴ ∠1+∠2=45°.
∴ $AC=\sqrt{2}a$. 同理可得 $AF=\sqrt{5}a$,$AG=\sqrt{10}a$.
∵ $\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{5}a}{\sqrt{10}a}$,即$\frac{AC}{CG}=\frac{CF}{AC}=\frac{AF}{AG}$,
∴ △ACF ∽ △GCA,
∴ ∠2 = ∠CAF.
∵ ∠ACB = ∠CAF+∠1=45°,
∴ ∠1+∠2=45°.
解析
【分析】
要计算∠1+∠2的度数，我们可以通过角的转化将两个角合并为一个已知的特殊角。首先三个正方形边长相等，我们可以先设正方形边长为a，用勾股定理求出图中相关线段的长度，再通过线段的比例关系证明三角形相似，把∠2转化为和它相等的角，最后结合三角形外角的性质就能求出两角之和。
【解析】
设正方形的边长为$a$。
由勾股定理得，在$Rt△ ABC$中：
$AC^2=AB^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2$，
∴ $AC=\sqrt{2}a$。
同理可得，$AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$，$AG=\sqrt{AB^2+BG^2}=\sqrt{a^2+(3a)^2}=\sqrt{10}a$。
计算线段比例：
$\frac{AC}{CG}=\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{CF}{AC}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AF}{AG}=\frac{\sqrt{5}a}{\sqrt{10}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{AC}{CG}=\frac{CF}{AC}=\frac{AF}{AG}$。
∴ $△ ACF ∽ △ GCA$（三边对应成比例的两个三角形相似），
∴ $∠ 2 = ∠ CAF$（相似三角形对应角相等）。
∵ $∠ ACB$是$△ ACF$的外角，且正方形对角线平分内角，$∠ ACB=45°$，
∴ $∠ ACB = ∠ CAF+∠ 1=45°$，
代入$∠ CAF=∠ 2$得：$∠1+∠2=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，三角形外角性质
【点评】
本题结合正方形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质考查角度计算，解题的关键是通过设边长表示线段长度，利用三边成比例证明相似，实现未知角到已知角的转化，是几何角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
要计算∠1+∠2的度数，我们可以通过角的转化将两个角合并为一个已知的特殊角。首先三个正方形边长相等，我们可以先设正方形边长为a，用勾股定理求出图中相关线段的长度，再通过线段的比例关系证明三角形相似，把∠2转化为和它相等的角，最后结合三角形外角的性质就能求出两角之和。
【解析】
设正方形的边长为$a$。
由勾股定理得，在$Rt△ ABC$中：
$AC^2=AB^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2$，
∴ $AC=\sqrt{2}a$。
同理可得，$AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$，$AG=\sqrt{AB^2+BG^2}=\sqrt{a^2+(3a)^2}=\sqrt{10}a$。
计算线段比例：
$\frac{AC}{CG}=\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{CF}{AC}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AF}{AG}=\frac{\sqrt{5}a}{\sqrt{10}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{AC}{CG}=\frac{CF}{AC}=\frac{AF}{AG}$。
∴ $△ ACF ∽ △ GCA$（三边对应成比例的两个三角形相似），
∴ $∠ 2 = ∠ CAF$（相似三角形对应角相等）。
∵ $∠ ACB$是$△ ACF$的外角，且正方形对角线平分内角，$∠ ACB=45°$，
∴ $∠ ACB = ∠ CAF+∠ 1=45°$，
代入$∠ CAF=∠ 2$得：$∠1+∠2=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，三角形外角性质
【点评】
本题结合正方形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质考查角度计算，解题的关键是通过设边长表示线段长度，利用三边成比例证明相似，实现未知角到已知角的转化，是几何角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
5 如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点F,点E在BD上,且$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$.
(1)∠BAE与∠CAD相等吗?为什么?
(2)试判断△ABE与△ACD是否相似,并说明理由.
(1)∠BAE与∠CAD相等吗?为什么?
(2)试判断△ABE与△ACD是否相似,并说明理由.
答案
(1)∠BAE 与 ∠CAD 相等. 理由如下:
∵ $\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$,
∴ △ABC∽△AED,
∴ ∠BAC = ∠EAD,
∴ ∠BAE = ∠CAD.
(2)△ABE 与 △ACD 相似. 理由:
∵ $\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$,
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$.
在△ABE 与 △ACD 中,$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$,∠BAE = ∠CAD,
∴ △ABE∽△ACD.
∵ $\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$,
∴ △ABC∽△AED,
∴ ∠BAC = ∠EAD,
∴ ∠BAE = ∠CAD.
(2)△ABE 与 △ACD 相似. 理由:
∵ $\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$,
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$.
在△ABE 与 △ACD 中,$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$,∠BAE = ∠CAD,
∴ △ABE∽△ACD.
解析
【分析】
(1)要判断∠BAE与∠CAD是否相等，首先观察已知给出三组边对应成比例，可先依据“三边成比例的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED，得到对应角∠BAC=∠EAD，再将两个等角同时减去公共角∠EAC，即可推出∠BAE=∠CAD。
(2)要判断△ABE与△ACD是否相似，已经由第一问得到一组对应角∠BAE=∠CAD，接下来只需将已知的边的比例式变形，得到夹这组等角的两组边对应成比例，即可依据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两三角形相似。
【解析】
(1) 要证∠BAE=∠CAD，可先证∠BAC=∠EAD：
已知$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$，根据三边成比例的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ AED$。
由相似三角形对应角相等，得$∠ BAC = ∠ EAD$。
根据等式的性质，两边同时减去$∠ EAC$，得$∠ BAC - ∠ EAC = ∠ EAD - ∠ EAC$，即$∠ BAE = ∠ CAD$。
(2) 要证△ABE∽△ACD，先找对应边成比例和夹角相等：
由$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，根据比例的基本性质交叉变形，可得$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$。
在$△ ABE$和$△ ACD$中，$\begin{cases}\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD} \\∠ BAE = ∠ CAD \end{cases}$，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ABE ∽ △ ACD$。
【答案】
(1)∠BAE 与 ∠CAD 相等. 理由如下:
∵ $\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$,
∴ △ABC∽△AED,
∴ ∠BAC = ∠EAD,
∴ ∠BAE = ∠CAD.
(2)△ABE 与 △ACD 相似. 理由:
∵ $\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$,
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$.
在△ABE 与 △ACD 中,$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$,∠BAE = ∠CAD,
∴ △ABE∽△ACD.
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形相关知识的基础综合题，核心考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题时要注意结合已知条件选择合适的判定定理，同时要熟练掌握角的等量转化和比例式的变形方法，是相似章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
(1)要判断∠BAE与∠CAD是否相等，首先观察已知给出三组边对应成比例，可先依据“三边成比例的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED，得到对应角∠BAC=∠EAD，再将两个等角同时减去公共角∠EAC，即可推出∠BAE=∠CAD。
(2)要判断△ABE与△ACD是否相似，已经由第一问得到一组对应角∠BAE=∠CAD，接下来只需将已知的边的比例式变形，得到夹这组等角的两组边对应成比例，即可依据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两三角形相似。
【解析】
(1) 要证∠BAE=∠CAD，可先证∠BAC=∠EAD：
已知$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$，根据三边成比例的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ AED$。
由相似三角形对应角相等，得$∠ BAC = ∠ EAD$。
根据等式的性质，两边同时减去$∠ EAC$，得$∠ BAC - ∠ EAC = ∠ EAD - ∠ EAC$，即$∠ BAE = ∠ CAD$。
(2) 要证△ABE∽△ACD，先找对应边成比例和夹角相等：
由$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，根据比例的基本性质交叉变形，可得$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$。
在$△ ABE$和$△ ACD$中，$\begin{cases}\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD} \\∠ BAE = ∠ CAD \end{cases}$，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ABE ∽ △ ACD$。
【答案】
(1)∠BAE 与 ∠CAD 相等. 理由如下:
∵ $\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$,
∴ △ABC∽△AED,
∴ ∠BAC = ∠EAD,
∴ ∠BAE = ∠CAD.
(2)△ABE 与 △ACD 相似. 理由:
∵ $\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$,
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$.
在△ABE 与 △ACD 中,$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$,∠BAE = ∠CAD,
∴ △ABE∽△ACD.
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形相关知识的基础综合题，核心考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题时要注意结合已知条件选择合适的判定定理，同时要熟练掌握角的等量转化和比例式的变形方法，是相似章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
6[2026江苏宿迁期末]如图，AD，$A_1D_1$分别是$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$的中线，且$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AD}{A_1D_1}$，判断$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$是否相似，并说明理由。
刷易错……小心有坑~
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答案
【解】△ABC∽△A₁B₁C₁. 理由如下:
如图,延长 AD 到 M,使 AM=2AD,延长 A₁D₁ 到 M₁,使 A₁M₁=2A₁D₁,连接 BM,B₁M₁,
∴ DM=AD,$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AM}{A_1M_1}$.
∵ AD 是△ABC 的中线,
∴ BD=CD.
在△ADC 和 △MDB 中,$\begin{cases} AD=DM, \\ ∠CDA=∠BDM, \\ CD=BD, \end{cases}$
∴ △ADC≅△MDB(SAS),
∴ BM=CA,∠M=∠CAD.
同理得△A₁D₁C₁≅△M₁D₁B₁(SAS),
∴ A₁C₁=M₁B₁,∠M₁=∠C₁A₁D₁,
∴ $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AM}{A_1M_1}=\frac{BM}{B_1M_1}$,
∴ △ABM∽△A₁B₁M₁,
∴ ∠BAM=∠B₁A₁M₁,∠M=∠M₁,
∴ ∠CAD=∠C₁A₁D₁,
∴ ∠BAC=∠B₁A₁C₁.
∵ $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$,
∴ △ABC∽△A₁B₁C₁.
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，已知两组对应边的比相等，若能证明它们的夹角∠BAC=∠B₁A₁C₁，即可通过“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”完成判定。题目给出了中线的比例关系，遇到中线类问题优先考虑倍长中线法构造全等三角形，可将AC、A₁C₁分别转化为BM、B₁M₁，把已知的三组边的比例关系集中到△ABM和△A₁B₁M₁中，先证明这两个三角形相似得到对应角相等，进而推导顶角相等，最终完成原三角形相似的证明。
【解析】
△ABC∽△A₁B₁C₁，理由如下：
如图，延长AD到M，使AM=2AD，延长A₁D₁到M₁，使A₁M₁=2A₁D₁，连接BM、B₁M₁，
可得DM=AD，因此$\frac{AM}{A_1M_1}=\frac{2AD}{2A_1D_1}=\frac{AD}{A_1D_1}$，即$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AM}{A_1M_1}$。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△MDB中：
$\begin{cases} AD=DM \\ ∠CDA=∠BDM \\ CD=BD \end{cases}$
∴△ADC≅△MDB（SAS），
∴BM=CA，∠M=∠CAD。
同理可证△A₁D₁C₁≅△M₁D₁B₁（SAS），
∴A₁C₁=M₁B₁，∠M₁=∠C₁A₁D₁。
结合已知$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$，可得$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BM}{B_1M_1}=\frac{AM}{A_1M_1}$，
∴△ABM∽△A₁B₁M₁（三边成比例的两个三角形相似），
∴∠BAM=∠B₁A₁M₁，∠M=∠M₁，
∴∠CAD=∠C₁A₁D₁，
因此∠BAM+∠CAD=∠B₁A₁M₁+∠C₁A₁D₁，即∠BAC=∠B₁A₁C₁。
又
∵$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$，
∴△ABC∽△A₁B₁C₁（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
△ABC∽△A₁B₁C₁. 理由如下:
如图,延长 AD 到 M,使 AM=2AD,延长 A₁D₁ 到 M₁,使 A₁M₁=2A₁D₁,连接 BM,B₁M₁,
∴ DM=AD,$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AM}{A_1M_1}$.
∵ AD 是△ABC 的中线,
∴ BD=CD.
在△ADC 和 △MDB 中,$\begin{cases} AD=DM, \\ ∠CDA=∠BDM, \\ CD=BD, \end{cases}$
∴ △ADC≅△MDB(SAS),
∴ BM=CA,∠M=∠CAD.
同理得△A₁D₁C₁≅△M₁D₁B₁(SAS),
∴ A₁C₁=M₁B₁,∠M₁=∠C₁A₁D₁,
∴ $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AM}{A_1M_1}=\frac{BM}{B_1M_1}$,
∴ △ABM∽△A₁B₁M₁,
∴ ∠BAM=∠B₁A₁M₁,∠M=∠M₁,
∴ ∠CAD=∠C₁A₁D₁,
∴ ∠BAC=∠B₁A₁C₁.
∵ $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$,
∴ △ABC∽△A₁B₁C₁.
【知识点】
相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的典型综合题，核心考查倍长中线辅助线的构造方法，解题时通过倍长中线将分散的边的比例关系集中到新的三角形中，先证小三角形相似推导角相等，再利用相似判定定理证明原三角形相似，需要熟练掌握全等、相似的判定方法，具备一定的辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
要判断两个三角形是否相似，已知两组对应边的比相等，若能证明它们的夹角∠BAC=∠B₁A₁C₁，即可通过“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”完成判定。题目给出了中线的比例关系，遇到中线类问题优先考虑倍长中线法构造全等三角形，可将AC、A₁C₁分别转化为BM、B₁M₁，把已知的三组边的比例关系集中到△ABM和△A₁B₁M₁中，先证明这两个三角形相似得到对应角相等，进而推导顶角相等，最终完成原三角形相似的证明。
【解析】
△ABC∽△A₁B₁C₁，理由如下：
如图，延长AD到M，使AM=2AD，延长A₁D₁到M₁，使A₁M₁=2A₁D₁，连接BM、B₁M₁，
可得DM=AD，因此$\frac{AM}{A_1M_1}=\frac{2AD}{2A_1D_1}=\frac{AD}{A_1D_1}$，即$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AM}{A_1M_1}$。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△MDB中：
$\begin{cases} AD=DM \\ ∠CDA=∠BDM \\ CD=BD \end{cases}$
∴△ADC≅△MDB（SAS），
∴BM=CA，∠M=∠CAD。
同理可证△A₁D₁C₁≅△M₁D₁B₁（SAS），
∴A₁C₁=M₁B₁，∠M₁=∠C₁A₁D₁。
结合已知$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$，可得$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BM}{B_1M_1}=\frac{AM}{A_1M_1}$，
∴△ABM∽△A₁B₁M₁（三边成比例的两个三角形相似），
∴∠BAM=∠B₁A₁M₁，∠M=∠M₁，
∴∠CAD=∠C₁A₁D₁，
因此∠BAM+∠CAD=∠B₁A₁M₁+∠C₁A₁D₁，即∠BAC=∠B₁A₁C₁。
又
∵$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$，
∴△ABC∽△A₁B₁C₁（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
△ABC∽△A₁B₁C₁. 理由如下:
如图,延长 AD 到 M,使 AM=2AD,延长 A₁D₁ 到 M₁,使 A₁M₁=2A₁D₁,连接 BM,B₁M₁,
∴ DM=AD,$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AM}{A_1M_1}$.
∵ AD 是△ABC 的中线,
∴ BD=CD.
在△ADC 和 △MDB 中,$\begin{cases} AD=DM, \\ ∠CDA=∠BDM, \\ CD=BD, \end{cases}$
∴ △ADC≅△MDB(SAS),
∴ BM=CA,∠M=∠CAD.
同理得△A₁D₁C₁≅△M₁D₁B₁(SAS),
∴ A₁C₁=M₁B₁,∠M₁=∠C₁A₁D₁,
∴ $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AM}{A_1M_1}=\frac{BM}{B_1M_1}$,
∴ △ABM∽△A₁B₁M₁,
∴ ∠BAM=∠B₁A₁M₁,∠M=∠M₁,
∴ ∠CAD=∠C₁A₁D₁,
∴ ∠BAC=∠B₁A₁C₁.
∵ $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$,
∴ △ABC∽△A₁B₁C₁.
【知识点】
相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的典型综合题，核心考查倍长中线辅助线的构造方法，解题时通过倍长中线将分散的边的比例关系集中到新的三角形中，先证小三角形相似推导角相等，再利用相似判定定理证明原三角形相似，需要熟练掌握全等、相似的判定方法，具备一定的辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
7 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的三边长分别是3,4,x，那么x的值为
5或√7
.答案
【解析】两条边长分别是6和8的直角三角形有两种情况,一种是6和8为直角边长,那么根据勾股定理可知斜边长为 10; 另一种是 6 是直角边长,8 是斜边长,那么根据勾股定理可知另一条直角边长为 $2\sqrt{7}$.
所以另一个与它相似的直角三角形也有两种情况,第一种是$\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{10}{x}$, 解得 x = 5; 第二种是$\frac{6}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{x}=\frac{8}{4}$,解得$x=\sqrt{7}$. 综上,x=5 或$\sqrt{7}$.
所以另一个与它相似的直角三角形也有两种情况,第一种是$\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{10}{x}$, 解得 x = 5; 第二种是$\frac{6}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{x}=\frac{8}{4}$,解得$x=\sqrt{7}$. 综上,x=5 或$\sqrt{7}$.
解析
【分析】
解题首先要明确：已知直角三角形的两条边长为6和8，但未说明这两条边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论，先求出第一个直角三角形的第三边长；其次，两个直角三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，结合相似比即可求出x的取值，注意两种情况都要考虑，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论原直角三角形的边长：
① 当6和8为原直角三角形的两条直角边时，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵两个直角三角形相似，相似比为$\frac{6}{3}=2$，
∴$\frac{10}{x}=2$，解得$x=5$；
② 当6为原直角三角形的直角边，8为斜边长时，根据勾股定理，另一条直角边长为$\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
∵两个直角三角形相似，相似比为$\frac{8}{4}=2$，
∴$\frac{2\sqrt{7}}{x}=2$，解得$x=\sqrt{7}$。
综上，$x$的值为5或$\sqrt{7}$。
【答案】
$5$或$\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理、相似三角形的性质、分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略原直角三角形边长的两种可能情况，仅默认6和8都是直角边从而漏解。解题时需先明确不确定边长的可能情况，再结合相似三角形的性质计算，培养分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确：已知直角三角形的两条边长为6和8，但未说明这两条边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论，先求出第一个直角三角形的第三边长；其次，两个直角三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，结合相似比即可求出x的取值，注意两种情况都要考虑，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论原直角三角形的边长：
① 当6和8为原直角三角形的两条直角边时，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵两个直角三角形相似，相似比为$\frac{6}{3}=2$，
∴$\frac{10}{x}=2$，解得$x=5$；
② 当6为原直角三角形的直角边，8为斜边长时，根据勾股定理，另一条直角边长为$\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
∵两个直角三角形相似，相似比为$\frac{8}{4}=2$，
∴$\frac{2\sqrt{7}}{x}=2$，解得$x=\sqrt{7}$。
综上，$x$的值为5或$\sqrt{7}$。
【答案】
$5$或$\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理、相似三角形的性质、分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略原直角三角形边长的两种可能情况，仅默认6和8都是直角边从而漏解。解题时需先明确不确定边长的可能情况，再结合相似三角形的性质计算，培养分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.6
