登录
1. [2025石家庄长安区期中] 下列各式：$\frac{x}{π + 2}$，$\frac{5p^2}{q}$，$\frac{a^2 - b^2}{2}$，$\frac{1}{m + n}$，其中分式共有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
2. 下列分式中，是最简分式的是 （
A.$\frac{2xy}{4x^2}$
B.$\frac{a^2 + b^2}{a + b}$
C.$\frac{2 - x}{4 - x^2}$
D.$\frac{3 - x}{x^2 - 6x + 9}$
B
）A.$\frac{2xy}{4x^2}$
B.$\frac{a^2 + b^2}{a + b}$
C.$\frac{2 - x}{4 - x^2}$
D.$\frac{3 - x}{x^2 - 6x + 9}$
答案
2.B
3. 若$ P=\frac{n}{m} $，则下列各式的值与$ P $的值一定相等的是（
A.$\frac{n-2}{m-2}$
B.$\frac{n+2}{m+2}$
C.$\frac{2n}{2m}$
D.$\frac{n^2}{m^2}$
C
）A.$\frac{n-2}{m-2}$
B.$\frac{n+2}{m+2}$
C.$\frac{2n}{2m}$
D.$\frac{n^2}{m^2}$
答案
3.C
4. [2024 天津] 计算$\frac{3x}{x-1} - \frac{3}{x-1}$的结果等于（
A.3
B.$x$
C.$\frac{x}{x-1}$
D.$\frac{3}{x^2 -1}$
A
）A.3
B.$x$
C.$\frac{x}{x-1}$
D.$\frac{3}{x^2 -1}$
答案
4.A
5. 2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻$≤ 8$ nm技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展.已知8纳米$=0.000\ 000\ 008$米，$0.000\ 000\ 008$用科学记数法可表示为（
A.$8× 10^{9}$
B.$8× 10^{-9}$
C.$8× 10^{10}$
D.$8× 10^{-10}$
B
）A.$8× 10^{9}$
B.$8× 10^{-9}$
C.$8× 10^{10}$
D.$8× 10^{-10}$
答案
5.B
6. 如果分式方程$\frac{2}{a(x-1)}=3$的解为$x=5$，那么a的值为（
A.$-\frac{1}{6}$
B.6
C.$\frac{1}{6}$
D.$-6$
C
）A.$-\frac{1}{6}$
B.6
C.$\frac{1}{6}$
D.$-6$
答案
6.C
7. 若关于$x$的方程$\frac{x}{x-1} - \frac{k}{x^2 -1} = \frac{x}{x+1}$没有增根，则$k$的值满足（
A.$k=2$
B.$k=-2$
C.$k=1$
D.$k≠±2$
D
）A.$k=2$
B.$k=-2$
C.$k=1$
D.$k≠±2$
答案
7.D
8. 设$ p=\frac{a}{a+1}-\frac{b}{b+1}, q=\frac{1}{a+1}-\frac{1}{b+1} $，则$ p,q $的关系是（
A.$ p=q $
B.$ p＞q $
C.$ p+q=0 $
D.$ p＜q $
C
）A.$ p=q $
B.$ p＞q $
C.$ p+q=0 $
D.$ p＜q $
答案
8.C
9. 计算：$2^{-1}+(π -1)^0=$
$\frac{3}{2}$
.答案
9.$\frac{3}{2}$
10.若分式$\frac{a^2 -4}{a+2}$的值为零，则a的值是
2
。答案
10.2
11. /情境题 生活应用/ 随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等。设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程为
$\frac{10}{x}=\frac{12}{x+0.4}$
。答案
11.$\frac{10}{x}=\frac{12}{x+0.4}$
12. [2024 重庆] 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}\dfrac{4x-1}{3}＜x+1,\\2(x+1)≥ -x+a\end{cases}$至少有2个整数解，且关于$y$的分式方程$\dfrac{a-1}{y-1}=2-\dfrac{3}{1-y}$的解为非负整数，则所有满足条件的整数$a$的值之和为________。
答案
12. 16 【点拨】$\begin{cases}\dfrac{4x-1}{3}＜x+1,①\\2(x+1)≥ -x+a,②\end{cases}$
解不等式①,得$x＜4$,解不等式②,得$x≥\dfrac{a-2}{3}$.$\therefore$该不等式组的解集为$\dfrac{a-2}{3}≤ x＜4$.$\because$该不等式组至少有2个整数解,$\therefore\dfrac{a-2}{3}≤2$,解得$a≤8$.解分式方程$\dfrac{a-1}{y-1}=2-\dfrac{3}{1-y}$,得$y=\dfrac{a-2}{2}$.
$\because$关于$y$的分式方程的解为非负整数,$\therefore\dfrac{a-2}{2}≥0$且$\dfrac{a-2}{2}≠1$,$a-2$是偶数,解得$a≥2$且$a≠4$,$a$是偶数.
$\therefore2≤ a≤8$且$a≠4$,$a$是偶数,$\therefore$符合条件的$a$的值为2,6,8.$\therefore$所有满足条件的整数$a$的值之和是$2+6+8=16$.
解不等式①,得$x＜4$,解不等式②,得$x≥\dfrac{a-2}{3}$.$\therefore$该不等式组的解集为$\dfrac{a-2}{3}≤ x＜4$.$\because$该不等式组至少有2个整数解,$\therefore\dfrac{a-2}{3}≤2$,解得$a≤8$.解分式方程$\dfrac{a-1}{y-1}=2-\dfrac{3}{1-y}$,得$y=\dfrac{a-2}{2}$.
$\because$关于$y$的分式方程的解为非负整数,$\therefore\dfrac{a-2}{2}≥0$且$\dfrac{a-2}{2}≠1$,$a-2$是偶数,解得$a≥2$且$a≠4$,$a$是偶数.
$\therefore2≤ a≤8$且$a≠4$,$a$是偶数,$\therefore$符合条件的$a$的值为2,6,8.$\therefore$所有满足条件的整数$a$的值之和是$2+6+8=16$.
三、解答题（共56分）
13.（10分）(1)化简：$(\dfrac{y^2}{x} + x - 2y) ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x}$；
(2)解方程：$\dfrac{1}{x - 2} + 3 = \dfrac{x + 1}{2 - x}$。
13.（10分）(1)化简：$(\dfrac{y^2}{x} + x - 2y) ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x}$；
(2)解方程：$\dfrac{1}{x - 2} + 3 = \dfrac{x + 1}{2 - x}$。
答案
13.【解】(1)原式$=\dfrac{y^2 + x^2 - 2xy}{x}·\dfrac{x}{x^2 - y^2}=\dfrac{(x-y)^2}{x}·\dfrac{x}{(x+y)(x-y)}=\dfrac{x-y}{x+y}$.
(2)方程两边同乘$(x-2)$,得$1+3(x-2)=-x-1$,解得$x=1$.
经检验,$x=1$是原方程的解.所以原分式方程的解是$x=1$.
(2)方程两边同乘$(x-2)$,得$1+3(x-2)=-x-1$,解得$x=1$.
经检验,$x=1$是原方程的解.所以原分式方程的解是$x=1$.
