14. (10 分)[2024 广安] 先化简$(a+1-\dfrac{3}{a-1})÷\dfrac{a^2+4a+4}{a-1}$，再从$-2,0,1,2$中选取一个适合的数代入求值.

14.【解】$(a+1-\dfrac{3}{a-1})÷\dfrac{a^2+4a+4}{a-1}=(\dfrac{a^2-1}{a-1}-\dfrac{3}{a-1})÷\dfrac{(a+2)^2}{a-1}=\dfrac{(a+2)(a-2)}{a-1}·\dfrac{a-1}{(a+2)^2}=\dfrac{a-2}{a+2}$.
$\because a≠1$且$a≠-2$,$\therefore$当$a=0$时,原式$=-1$.(所选数不唯一)

15.（12分）真实情境题 航空航天 2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功.某航模店看准商机，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比购进“神舟”模型的数量多4个，且每个“天宫”模型的成本比每个“神舟”模型的成本少20％.“神舟”和“天宫”模型的成本各为多少元？

15.【解】设“神舟”模型的成本为每个$x$元,则“天宫”模型的成本为每个$(1-20\%)x$元,
根据题意,得$\dfrac{320}{(1-20\%)x}-\dfrac{320}{x}=4$,解得$x=20$,
经检验,$x=20$是原方程的解,且符合题意,
$\therefore(1-20\%)x=16$.
答:“神舟”模型的成本为每个20元,“天宫”模型的成本为每个16元.

16.（12分）新考法 作差比较法 若$a＞0$，$M=\frac{a}{a+1}$，$N=\frac{a+1}{a+2}$。
（1）当$a=4$时，计算$M$，$N$的值；
（2）猜想$M$与$N$的大小关系，并证明你的猜想。

16.【解】(1)当$a=4$时,$M=\dfrac{4}{4+1}=\dfrac{4}{5}$,$N=\dfrac{4+1}{4+2}=\dfrac{5}{6}$.
(2)猜想:$M＜N$.证明如下:
$N-M=\dfrac{a+1}{a+2}-\dfrac{a}{a+1}=\dfrac{(a+1)^2-a(a+2)}{(a+2)(a+1)}=\dfrac{1}{(a+2)(a+1)}$.
$\because a＞0$,$\therefore(a+2)(a+1)＞0$.
$\therefore N-M=\dfrac{1}{(a+2)(a+1)}＞0$,即$M＜N$.

17.（12分）新考向 数学文化《几何原本》中的“几何代数法”是指用几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据.在意大利数学家斐波那契编写的《计算之书》中频繁运用了这种方法.例如，运用面积关系将分式方程转化为整式方程，从而求解分式方程.
例：《计算之书》中记载了一道题，译文如下：一组人平分90枚硬币，每人分得若干，若再加上6人，平分120枚硬币，则第二次每人所得与第一次相同.求第一次分硬币的人数.设第一次分硬币的人数为$ x $，则可列方程为$ \frac{90}{x} = \frac{120}{x+6} $.
解：构造如图所示的图形，$ BC=x $，$ CE=6 $，矩形$ ABCD $的面积为90，矩形$ ABEF $的面积为120，则$ CD=\frac{90}{x} $，$ EF=\frac{120}{x+6} $.显然$ CD=EF $.根据图形可知，$ \frac{S_{\mathrm{矩形}ABCD}}{S_{\mathrm{矩形}CEFD}} = \frac{BC · CD}{CE · CD} = \frac{BC}{CE} $.
$ \therefore \frac{90}{120 - 90} = \frac{x}{6} $（将分式方程转化成了整式方程），解得$ x=18 $.
$ \therefore $第一次分硬币的人数为18.

请仿照材料中的方法，通过构造图形，求分式方程$ \frac{2}{x+3} = \frac{1}{x-1} $的解.

17.【解】构造如图所示的图形,$BC=x$,$CE=3$,$CG=1$,矩形$ABGH$的面积为1,矩形$ABEF$的面积为2,
则$EF=\dfrac{2}{x+3}$,$GH=\dfrac{1}{x-1}$.
显然$EF=GH$.
根据图形可知,$\dfrac{S_{\mathrm{矩形}ABEF}}{S_{\mathrm{矩形}EFHG}}=\dfrac{EF· BE}{EF· GE}=\dfrac{BE}{GE}$.
$\therefore\dfrac{2}{2-1}=\dfrac{x+3}{1+3}$,解得$x=5$.