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1. [2025广安期中]已知$△ ABC$是等腰三角形，若$∠ A=40°$，则$△ ABC$的顶角度数是（
A.$40°$
B.$100°$
C.$40°$或$100°$
D.以上都不正确
C
）A.$40°$
B.$100°$
C.$40°$或$100°$
D.以上都不正确
答案
1.C
2. 如图，AB//CD，在AD上截取AE=AB，连接BE，当∠B=65°时，∠D的度数是 （
A.65°
B.55°
C.50°
D.45°
（第2题）
C
）A.65°
B.55°
C.50°
D.45°
（第2题）答案
2.C
3. 情境题 生活应用 如图是两名同学玩跷跷板的场景，如图
是跷跷板示意图，支柱OC与地面垂直，O是AB的中点，AB绕着点O上下转动。当A端落地时，$∠ OAC=25°$，则跷跷板上下可转动的最大角度$∠ A'OA$是（
A.$45°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$75°$
是跷跷板示意图，支柱OC与地面垂直，O是AB的中点，AB绕着点O上下转动。当A端落地时，$∠ OAC=25°$，则跷跷板上下可转动的最大角度$∠ A'OA$是（B
）A.$45°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
3.B
4.[2025长沙天心区期中]“一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉.前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄.饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳.此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔.”其中“一亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”.如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形$ABC$，$AB=AC$，$D$是边$BC$上的一点.下列条件不能说明$AD$是$△ ABC$的角平分线的是 （
A.$∠ DAB=∠ DAC$
B.$AD⊥ BD$
C.$BC=2AD$
D.$△ ABD$与$△ ACD$的周长相等
C
）A.$∠ DAB=∠ DAC$
B.$AD⊥ BD$
C.$BC=2AD$
D.$△ ABD$与$△ ACD$的周长相等
答案
4.C
5. [母题 教材P79例1] 如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，∠A=40°，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，连接BE，则∠ABE=
30
°。答案
5.30
6. 新视角 新定义题 定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为
6
.答案
6.6 【点拨】
∵等腰三角形ABC是“倍长三角形”,
∴AB=2BC或BC=2AB.若AB=2BC=6,则△ABC的三边长分别是6,6,3,符合题意,
∴腰AB的长为6;若BC=3=2AB,则AB=1.5,则△ABC的三边长分别是1.5,1.5,3,
∵1.5+1.5=3,
∴此时不能构成三角形,这种情况不存在.综上所述,腰AB的长是6.
∵等腰三角形ABC是“倍长三角形”,
∴AB=2BC或BC=2AB.若AB=2BC=6,则△ABC的三边长分别是6,6,3,符合题意,
∴腰AB的长为6;若BC=3=2AB,则AB=1.5,则△ABC的三边长分别是1.5,1.5,3,
∵1.5+1.5=3,
∴此时不能构成三角形,这种情况不存在.综上所述,腰AB的长是6.
7. 母题 教材 P86 习题 T14 小琳想要证明命题:等腰三角形两腰上的中线相等.请你将该命题的已知与求证补充完整,并完成证明过程.
已知:如图,在△ABC中,
求证:
已知:如图,在△ABC中,
AB=AC
,MC,NB分别为AB边与AC边上的中线,求证:
CM=BN
.答案
7.【解】AB=AC;CM=BN
证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵CM是AB边上的中线,BN是AC边上的中线,
∴MB=$\frac{1}{2}$AB,CN=$\frac{1}{2}$AC.又
∵AB=AC,
∴MB=CN.
又
∵BC=CB,
∴△MBC≌△NCB(SAS).
∴CM=BN.
证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵CM是AB边上的中线,BN是AC边上的中线,
∴MB=$\frac{1}{2}$AB,CN=$\frac{1}{2}$AC.又
∵AB=AC,
∴MB=CN.
又
∵BC=CB,
∴△MBC≌△NCB(SAS).
∴CM=BN.
8. [2025天津和平区期中] 如图,已知O是四边形ABCD内一点,$OA=OB=OC$,$∠ABC=∠ADC=70°$,则$∠DAO+∠DCO$的大小是 (
A.$70°$
B.$110°$
C.$140°$
D.$150°$
D
)A.$70°$
B.$110°$
C.$140°$
D.$150°$
答案
8.D 【点拨】
∵OA=OB=OC,
∴∠ABO=∠BAO,∠OBC=∠OCB.
∵∠ABC=70°,
∴∠AOB+∠BOC=360°-2(∠ABO+∠OBC)=220°.
∴∠AOC=360°-220°=140°.
∵∠OAD+∠ADC+∠OCD+∠AOC=360°,∠ADC=70°,
∴∠DAO+∠DCO=150°.故选D.
∵OA=OB=OC,
∴∠ABO=∠BAO,∠OBC=∠OCB.
∵∠ABC=70°,
∴∠AOB+∠BOC=360°-2(∠ABO+∠OBC)=220°.
∴∠AOC=360°-220°=140°.
∵∠OAD+∠ADC+∠OCD+∠AOC=360°,∠ADC=70°,
∴∠DAO+∠DCO=150°.故选D.
9. 已知$a,b,c$分别是等腰三角形$ABC$三边的长，且满足$ac=12-bc$，若$a,b,c$均为整数，则这样的等腰三角形$ABC$有（
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
B
）A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
9.B 【点拨】
∵ac=12-bc,
∴ac+bc=12.
∴(a+b)c=12.
∵12=1×12=2×6=3×4,a+b＞c,
∴$\begin{cases}a+b=12,\\c=1\end{cases}$或$\begin{cases}a+b=6,\\c=2\end{cases}$ 或$\begin{cases}a+b=4,\\c=3\end{cases}$.当$\begin{cases}a+b=12,\\c=1\end{cases}$时,三边长分别为1,6,6;当$\begin{cases}a+b=6,\\c=2\end{cases}$时,三边长分别为2,3,3;当$\begin{cases}a+b=4,\\c=3\end{cases}$时,三边长分别为3,2,2或3,3,1.综上,这样的等腰三角形ABC一共有4个.故选B.
∵ac=12-bc,
∴ac+bc=12.
∴(a+b)c=12.
∵12=1×12=2×6=3×4,a+b＞c,
∴$\begin{cases}a+b=12,\\c=1\end{cases}$或$\begin{cases}a+b=6,\\c=2\end{cases}$ 或$\begin{cases}a+b=4,\\c=3\end{cases}$.当$\begin{cases}a+b=12,\\c=1\end{cases}$时,三边长分别为1,6,6;当$\begin{cases}a+b=6,\\c=2\end{cases}$时,三边长分别为2,3,3;当$\begin{cases}a+b=4,\\c=3\end{cases}$时,三边长分别为3,2,2或3,3,1.综上,这样的等腰三角形ABC一共有4个.故选B.
