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10. 如图是小明制作的风筝，为了平衡做成了轴对称图形.已知OC所在直线是对称轴，∠A=35°,∠BCO=30°,则∠AOB=
130°
.答案
130°
11.[2025荆门期中]如图,在$△ ABC$中,以点A为圆心,AC的长为半径作圆弧交BC于点D,连接AD,再分别以点B和点D为圆心,大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径作圆弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN交AB于点E,连接ED.若$AB=8$,$AC=5$,则$△ ADE$的周长为
13
.答案
13
12. 如图,等腰直角三角形ABC中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC=2$,$D$为$BC$的中点,$AD=\sqrt{5}$,$P$为$AB$上一个动点,则$PC+PD$的最小值为
$\sqrt{5}$
。答案
$\sqrt{5}$ 【点拨】作点D关于AB的对称点E,连接PE,BE,依据轴对称的性质,即可得到DB=EB,DP=EP,∠ABC=∠ABE=45°,根据PC+PD=PC+PE,可得当C,P,E在同一直线上时,PC+PE的最小值等于CE的长,根据全等三角形的对应边相等,即可得出PC+PD的最小值为$\sqrt{5}$.
三、解答题（共36分）
13.（10分）2025·杭州校级期中 情境题·生活应用 如图，计划在某小区建一个智能垃圾分类投放点P，需要满足以下条件：
（1）附近的两栋住宅楼A，B到智能垃圾分类投放点P的距离相等，需要作出
（2）点P到两条道路OM，ON的距离相等，需要作出
（3）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点P的位置.
13.（10分）2025·杭州校级期中 情境题·生活应用 如图，计划在某小区建一个智能垃圾分类投放点P，需要满足以下条件：
（1）附近的两栋住宅楼A，B到智能垃圾分类投放点P的距离相等，需要作出
垂直平分线
（填“角平分线”或“垂直平分线”）.（2）点P到两条道路OM，ON的距离相等，需要作出
角平分线
（填“角平分线”或“垂直平分线”）.（3）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点P的位置.
答案
(1)垂直平分线
(2)角平分线
(3)如图所示,点P即为所求。
14.（12分）新考法 逆向思维法 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证:CF=AD.
(2)若AD=2,AB=8,当BC的长为多少时,点B在线段AF的垂直平分线上?为什么?
(1)求证:CF=AD.
(2)若AD=2,AB=8,当BC的长为多少时,点B在线段AF的垂直平分线上?为什么?
答案
(1)【证明】
∵AD//BC,
∴∠ECF=∠ADE.
∵E为CD的中点,
∴CE=DE.
在△FEC和△AED中,$\begin{cases}∠FEC=∠AED,\\CE=DE,\\∠ECF=∠EDA,\end{cases}$
∴△FEC≌△AED(ASA).
∴CF=AD.
(2)【解】当BC=6时,点B在线段AF的垂直平分线上.
理由如下:
∵BC=6,AD=2,AB=8,
∴AB=BC+AD.
又
∵CF=AD,BC+CF=BF,
∴AB=BF.
∴点B在线段AF的垂直平分线上.
∵AD//BC,
∴∠ECF=∠ADE.
∵E为CD的中点,
∴CE=DE.
在△FEC和△AED中,$\begin{cases}∠FEC=∠AED,\\CE=DE,\\∠ECF=∠EDA,\end{cases}$
∴△FEC≌△AED(ASA).
∴CF=AD.
(2)【解】当BC=6时,点B在线段AF的垂直平分线上.
理由如下:
∵BC=6,AD=2,AB=8,
∴AB=BC+AD.
又
∵CF=AD,BC+CF=BF,
∴AB=BF.
∴点B在线段AF的垂直平分线上.
15.(14分)数学小组的同学发现,折纸中蕴含着许多数学问题.现有一张三角形纸片ABC,M,N分别是边AC,BC上的点,若沿直线MN折叠△ABC,点C的对应点为点D,且点D在直线AB的右侧.
(1)如图①所示,点D恰好在BC边上,则∠1与∠ACB的数量关系是
(2)如图②,点D在△ABC内部,记∠1=∠AMD,∠2=∠BND,试通过折痕MN的变化,探索∠1,∠2和∠ACB之间的数量关系.
(1)如图①所示,点D恰好在BC边上,则∠1与∠ACB的数量关系是
∠1=2∠ACB
;(2)如图②,点D在△ABC内部,记∠1=∠AMD,∠2=∠BND,试通过折痕MN的变化,探索∠1,∠2和∠ACB之间的数量关系.
答案
(1)∠1=2∠ACB
(2)由折叠可得∠DMN=∠CMN,∠DNM=∠CNM,∠D=∠ACB.
∵ ∠DMN + ∠CMN + ∠1 = 180°,∠DNM+∠CNM+∠2=180°，
∴2∠CMN+2∠CNM+∠1+∠2=360°.
∴2∠CMN+2∠CNM=360°-∠1-∠2.
∵∠D+∠DMN+∠DNM+∠CMN+∠CNM+∠ACB=360°,
∴2∠ACB+2∠CMN+2∠CNM=360°.
∴2∠CMN+2∠CNM=360°-2∠ACB.
∴∠1+∠2=2∠ACB.
(2)由折叠可得∠DMN=∠CMN,∠DNM=∠CNM,∠D=∠ACB.
∵ ∠DMN + ∠CMN + ∠1 = 180°,∠DNM+∠CNM+∠2=180°，
∴2∠CMN+2∠CNM+∠1+∠2=360°.
∴2∠CMN+2∠CNM=360°-∠1-∠2.
∵∠D+∠DMN+∠DNM+∠CMN+∠CNM+∠ACB=360°,
∴2∠ACB+2∠CMN+2∠CNM=360°.
∴2∠CMN+2∠CNM=360°-2∠ACB.
∴∠1+∠2=2∠ACB.
