登录
10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BCA=90°$,$CA=CB$,AD为边BC边上的中线,$CG⊥ AD$于点G,交AB于点F,过点B作BC的垂线交CG于点E.有下列结论:①$△ ADC≌△ CEB$;②$DF=EF$;③G为CF的中点;④F为EG的中点;⑤$∠ ADC=∠ BDF$.其中正确的结论为（
A.①②③
B.①③④
C.①②⑤
D.③④⑤
C
）A.①②③
B.①③④
C.①②⑤
D.③④⑤
答案
10.C 【点拨】
∵∠BCA=90°,CG⊥AD,
∴∠ECD+∠ADC=∠E+∠ECD=90°.
∴∠E=∠ADC.
∵BE⊥BC,
∴∠EBC=∠ACD=90°.在△ADC和△CEB中,
$\begin{cases}∠ACD=∠CBE,\\∠ADC=∠E,\\AC=BC,\end{cases}$
∴△ADC≌△CEB(AAS),故①正确;
∴CD=BE.
∵D为BC的中点,
∴BD=CD.
∴BE=CD=BD.
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴易得∠DBF=45°=∠EBF.在△BEF和△BDF中,
$\begin{cases}BE=BD,\\∠DBF=∠EBF,\\BF=BF,\end{cases}$
∴△BEF≌△BDF(SAS).
∴∠E=∠BDF,EF=DF,故②正确;假设G为CF的中点,
∴GF=GC.又
∵GD=GD,∠DGF=∠DGC=90°,
∴△DGF≌△DGC(SAS).
∴DF=DC.又
∵CD=BD,
∴DF=BD.
∵∠DBF=45°,
∴∠DBF=45°=∠BFD,
∴∠FDB=90°.
∵∠E=∠BDF,
∴∠E=90°,此与∠EBC=90°相矛盾,故假设错误,即G不是CF的中点,故③错误;在Rt△DFG中,DF＞FG,
∵EF=DF,
∴EF＞FG,
∴F不是EG的中点,故④错误;
∵∠E=∠ADC,∠E=∠BDF,
∴∠ADC=∠BDF,故⑤正确.故正确的有①②⑤.
∵∠BCA=90°,CG⊥AD,
∴∠ECD+∠ADC=∠E+∠ECD=90°.
∴∠E=∠ADC.
∵BE⊥BC,
∴∠EBC=∠ACD=90°.在△ADC和△CEB中,
$\begin{cases}∠ACD=∠CBE,\\∠ADC=∠E,\\AC=BC,\end{cases}$
∴△ADC≌△CEB(AAS),故①正确;
∴CD=BE.
∵D为BC的中点,
∴BD=CD.
∴BE=CD=BD.
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴易得∠DBF=45°=∠EBF.在△BEF和△BDF中,
$\begin{cases}BE=BD,\\∠DBF=∠EBF,\\BF=BF,\end{cases}$
∴△BEF≌△BDF(SAS).
∴∠E=∠BDF,EF=DF,故②正确;假设G为CF的中点,
∴GF=GC.又
∵GD=GD,∠DGF=∠DGC=90°,
∴△DGF≌△DGC(SAS).
∴DF=DC.又
∵CD=BD,
∴DF=BD.
∵∠DBF=45°,
∴∠DBF=45°=∠BFD,
∴∠FDB=90°.
∵∠E=∠BDF,
∴∠E=90°,此与∠EBC=90°相矛盾,故假设错误,即G不是CF的中点,故③错误;在Rt△DFG中,DF＞FG,
∵EF=DF,
∴EF＞FG,
∴F不是EG的中点,故④错误;
∵∠E=∠ADC,∠E=∠BDF,
∴∠ADC=∠BDF,故⑤正确.故正确的有①②⑤.
11. 新考向 数学文化 “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图①所示的三等分角仪能三等分任意一个角。如图②，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O点转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠DCE的度数是
50
°。答案
11.50 【点拨】设∠O=x°,
∵OC=CD,
∴∠O=∠CDO=x°.
∵CD=DE,
∴∠DEC=∠DCE=∠O+∠CDO=2x°.
∴∠BDE=∠O+∠DEC=x°+2x°=3x°=75°.
∴x°=25°.
∴∠DCE=2x°=50°.
点方法 (1)等边对等角的使用前提是必须在同一个三角形中；
(2)利用三角形的外角是解决此类问题的关键；
(3)牵涉到角的倍分运算,尽量使用方程思想解答.
∵OC=CD,
∴∠O=∠CDO=x°.
∵CD=DE,
∴∠DEC=∠DCE=∠O+∠CDO=2x°.
∴∠BDE=∠O+∠DEC=x°+2x°=3x°=75°.
∴x°=25°.
∴∠DCE=2x°=50°.
点方法 (1)等边对等角的使用前提是必须在同一个三角形中；
(2)利用三角形的外角是解决此类问题的关键；
(3)牵涉到角的倍分运算,尽量使用方程思想解答.
12. [2025宿迁期中] 如图,在$△ ABA_1$中,$∠ B=20°$,$AB=A_1B$,在$A_1B$上取一点$C$,延长$AA_1$到点$A_2$,使得$A_1A_2=A_1C$;在$A_2C$上取一点$D$,延长$A_1A_2$到点$A_3$,使得$A_2A_3=A_2D$;$···$,按此做法进行下去,$∠ A_{2025}$的度数为
$\frac{80°}{2^{2024}}$
.答案
12.$\frac{80°}{2^{2024}}$ 【点拨】
∵在△ABA₁中,∠B=20°,AB=A₁B,
∴∠BA₁A=$\frac{180°-∠B}{2}$=$\frac{180°-20°}{2}$=80°;
∵A₁A₂=A₁C,∠BA₁A是△A₁A₂C的外角,
∴∠A₁A₂C=$\frac{80°}{2}$=40°;同理可得,∠A₂A₃D=20°=$(\frac{1}{2})^2×80°$,∠A₃A₄E=10°=$(\frac{1}{2})^3×80°$,….
∴以Aₙ为顶点的锐角的度数为$(\frac{1}{2})^{n-1}×80°$,当n=2025时,∠A₂₀₂₅=$(\frac{1}{2})^{2025-1}×80°$=$\frac{80°}{2^{2024}}$.
∵在△ABA₁中,∠B=20°,AB=A₁B,
∴∠BA₁A=$\frac{180°-∠B}{2}$=$\frac{180°-20°}{2}$=80°;
∵A₁A₂=A₁C,∠BA₁A是△A₁A₂C的外角,
∴∠A₁A₂C=$\frac{80°}{2}$=40°;同理可得,∠A₂A₃D=20°=$(\frac{1}{2})^2×80°$,∠A₃A₄E=10°=$(\frac{1}{2})^3×80°$,….
∴以Aₙ为顶点的锐角的度数为$(\frac{1}{2})^{n-1}×80°$,当n=2025时,∠A₂₀₂₅=$(\frac{1}{2})^{2025-1}×80°$=$\frac{80°}{2^{2024}}$.
13.如图,在$△ ABC$中,AD是$∠ BAC$的平分线,AD的垂直平分线交AB于点F,交BC的延长线于点E,连接DF,AE.
(1)求证:$AC// FD$;
(2)$∠ B$与$∠ CAE$的大小是否相等？若相等,请给予证明;若不相等,请说明理由.
(1)求证:$AC// FD$;
(2)$∠ B$与$∠ CAE$的大小是否相等？若相等,请给予证明;若不相等,请说明理由.
答案
13.(1)【证明】
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠CAD=∠BAD.
∵AD的垂直平分线交AB于点F,
∴AF=DF.
∴∠FDA=∠BAD.
∴∠FDA=∠CAD.
∴AC//FD.
(2)【解】∠B=∠CAE.证明如下:
∵AD的垂直平分线交BC的延长线于点E,
∴AE=DE.
∴∠ADE=∠EAD.
∵∠ADE=∠B+∠BAD,∠EAD=∠CAD+∠CAE,∠CAD=∠BAD,
∴∠B=∠CAE.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠CAD=∠BAD.
∵AD的垂直平分线交AB于点F,
∴AF=DF.
∴∠FDA=∠BAD.
∴∠FDA=∠CAD.
∴AC//FD.
(2)【解】∠B=∠CAE.证明如下:
∵AD的垂直平分线交BC的延长线于点E,
∴AE=DE.
∴∠ADE=∠EAD.
∵∠ADE=∠B+∠BAD,∠EAD=∠CAD+∠CAE,∠CAD=∠BAD,
∴∠B=∠CAE.
14.【探究与发现】如图①,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ BAC=90°,AB=AC$,点 $D$ 在底边 $BC$ 上,点 $E$ 在 $AC$ 上,连接 $AD$,使 $AE=AD$,连接 $DE$.
(1)当$∠ BAD=60°$时,求$∠ CDE$的度数;
(2)当点 $D$ 在 $BC$(点 $B,C$ 除外)上运动时,试猜想并探究$∠ BAD$与$∠ CDE$的数量关系;
(3)【深入探究】若$∠ BAC≠90°$,其他条件与题干相同,试就图②探究$∠ BAD$与$∠ CDE$的数量关系.
(1)当$∠ BAD=60°$时,求$∠ CDE$的度数;
(2)当点 $D$ 在 $BC$(点 $B,C$ 除外)上运动时,试猜想并探究$∠ BAD$与$∠ CDE$的数量关系;
(3)【深入探究】若$∠ BAC≠90°$,其他条件与题干相同,试就图②探究$∠ BAD$与$∠ CDE$的数量关系.
答案
14.【解】(1)
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠C=45°.
∵∠BAD=60°,
∴∠DAE=30°.
又
∵AD=AE,
∴∠AED=75°.
∴∠CDE=∠AED-∠C=30°.
(2)猜想:∠BAD=2∠CDE.探究如下:设∠BAD=x,则∠CAD=90°-x.又
∵AE=AD,
∴∠AED=45°+$\frac{1}{2}x$.
又
∵∠C=45°,
∴∠CDE=$\frac{1}{2}x$.
∴∠BAD=2∠CDE.
(3)设∠CDE=x,∠C=y.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=y.
易知∠AED=y+x.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=y+x.
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE,
∴y+∠BAD=y+x+x.
∴∠BAD=2x.
∴∠BAD=2∠CDE.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠C=45°.
∵∠BAD=60°,
∴∠DAE=30°.
又
∵AD=AE,
∴∠AED=75°.
∴∠CDE=∠AED-∠C=30°.
(2)猜想:∠BAD=2∠CDE.探究如下:设∠BAD=x,则∠CAD=90°-x.又
∵AE=AD,
∴∠AED=45°+$\frac{1}{2}x$.
又
∵∠C=45°,
∴∠CDE=$\frac{1}{2}x$.
∴∠BAD=2∠CDE.
(3)设∠CDE=x,∠C=y.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=y.
易知∠AED=y+x.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=y+x.
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE,
∴y+∠BAD=y+x+x.
∴∠BAD=2x.
∴∠BAD=2∠CDE.
