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1 已知抛物线 $y=x^2+(m+1)x-\frac{1}{4}m^2-1$（m为整数）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=OB，则m的值为（
A.$2+\sqrt{5}$
B.$2-\sqrt{5}$
C.2
D.$-2$
D
）A.$2+\sqrt{5}$
B.$2-\sqrt{5}$
C.2
D.$-2$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先求抛物线与y轴交点B的坐标，得到OB的长度；再根据OA=OB确定抛物线与x轴交点A的横坐标的两种可能情况，将A点坐标代入抛物线解析式求解m，最后结合m为整数的条件筛选出正确结果。也可直接代入选项验证，快速排除不符合条件的答案。
【解析】
步骤1：求点B坐标及OB长度
令$x=0$，代入抛物线解析式得：
$y = 0 + 0 - \frac{1}{4}m^2 -1 = -(\frac{1}{4}m^2 +1)$
∴点B坐标为$(0, -\frac{1}{4}m^2 -1)$，则$OB = \left|-\frac{1}{4}m^2 -1\right| = \frac{1}{4}m^2 +1$（$\frac{1}{4}m^2 +1＞0$恒成立）。
步骤2：根据OA=OB代入求解
∵OA=OB，
∴点A的横坐标为$\pm(\frac{1}{4}m^2 +1)$，代入解析式$y=0$：
① 若A点坐标为$(\frac{1}{4}m^2 +1, 0)$，代入后提取公因式$\frac{1}{4}m^2 +1$，得$(\frac{1}{4}m^2 +1)(\frac{1}{4}m^2 +m +1)=0$。
∵$\frac{1}{4}m^2 +1＞0$恒成立，
∴$\frac{1}{4}m^2 +m +1=0$，整理得$(m+2)^2=0$，解得$m=-2$，为整数，符合条件。
② 若A点坐标为$(-\frac{1}{4}m^2 -1, 0)$，代入后解得$m=2±2\sqrt{2}$，均为无理数，不符合m为整数的要求，舍去。
综上，$m=-2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、坐标与线段长度、一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数与几何线段的综合基础题，解题关键是掌握坐标和线段长度的转换规则，注意不要遗漏横坐标的正负情况，同时要结合题干的限定条件筛选答案，避免多解。
【难度系数】
0.6
解题时先求抛物线与y轴交点B的坐标，得到OB的长度；再根据OA=OB确定抛物线与x轴交点A的横坐标的两种可能情况，将A点坐标代入抛物线解析式求解m，最后结合m为整数的条件筛选出正确结果。也可直接代入选项验证，快速排除不符合条件的答案。
【解析】
步骤1：求点B坐标及OB长度
令$x=0$，代入抛物线解析式得：
$y = 0 + 0 - \frac{1}{4}m^2 -1 = -(\frac{1}{4}m^2 +1)$
∴点B坐标为$(0, -\frac{1}{4}m^2 -1)$，则$OB = \left|-\frac{1}{4}m^2 -1\right| = \frac{1}{4}m^2 +1$（$\frac{1}{4}m^2 +1＞0$恒成立）。
步骤2：根据OA=OB代入求解
∵OA=OB，
∴点A的横坐标为$\pm(\frac{1}{4}m^2 +1)$，代入解析式$y=0$：
① 若A点坐标为$(\frac{1}{4}m^2 +1, 0)$，代入后提取公因式$\frac{1}{4}m^2 +1$，得$(\frac{1}{4}m^2 +1)(\frac{1}{4}m^2 +m +1)=0$。
∵$\frac{1}{4}m^2 +1＞0$恒成立，
∴$\frac{1}{4}m^2 +m +1=0$，整理得$(m+2)^2=0$，解得$m=-2$，为整数，符合条件。
② 若A点坐标为$(-\frac{1}{4}m^2 -1, 0)$，代入后解得$m=2±2\sqrt{2}$，均为无理数，不符合m为整数的要求，舍去。
综上，$m=-2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、坐标与线段长度、一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数与几何线段的综合基础题，解题关键是掌握坐标和线段长度的转换规则，注意不要遗漏横坐标的正负情况，同时要结合题干的限定条件筛选答案，避免多解。
【难度系数】
0.6
2 如图，P是抛物线$y=-x^2 + x + 3$在第一象限内的点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为
8
。答案
2. 8
解析
【分析】
首先判断四边形OAPB是矩形，矩形周长=2×(长+宽)，其长、宽分别对应点P的横、纵坐标。我们可以设点P的横坐标为x，结合抛物线解析式表示出点P的纵坐标，进而列出周长关于x的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最大值即可，注意x的取值要满足点P在第一象限。
【解析】
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，∠AOB=90°，
∴四边形OAPB是矩形。
设点P的横坐标为x（x＞0，且点P在第一象限，故$y=-x^2+x+3＞0$），则P点坐标为$(x, -x^2 + x + 3)$，
∴$OA=x$，$AP=-x^2 + x + 3$，
矩形OAPB的周长$C=2(OA + AP)=2(x + (-x^2 + x + 3))$，
整理得：$C=-2x^2 +4x +6$，
该二次函数开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-2)}=1$，符合x的取值范围，
将x=1代入得：$C=-2×1^2 +4×1 +6=8$，
即四边形OAPB周长的最大值为8。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的最值，矩形的周长计算，二次函数的应用
【点评】
本题属于二次函数与几何图形的综合基础题，解题关键是将几何图形的周长问题转化为二次函数求最值问题，解题时需注意结合点的位置确定自变量的取值范围，确保所求最值符合题意。
【难度系数】
0.7
首先判断四边形OAPB是矩形，矩形周长=2×(长+宽)，其长、宽分别对应点P的横、纵坐标。我们可以设点P的横坐标为x，结合抛物线解析式表示出点P的纵坐标，进而列出周长关于x的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最大值即可，注意x的取值要满足点P在第一象限。
【解析】
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，∠AOB=90°，
∴四边形OAPB是矩形。
设点P的横坐标为x（x＞0，且点P在第一象限，故$y=-x^2+x+3＞0$），则P点坐标为$(x, -x^2 + x + 3)$，
∴$OA=x$，$AP=-x^2 + x + 3$，
矩形OAPB的周长$C=2(OA + AP)=2(x + (-x^2 + x + 3))$，
整理得：$C=-2x^2 +4x +6$，
该二次函数开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-2)}=1$，符合x的取值范围，
将x=1代入得：$C=-2×1^2 +4×1 +6=8$，
即四边形OAPB周长的最大值为8。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的最值，矩形的周长计算，二次函数的应用
【点评】
本题属于二次函数与几何图形的综合基础题，解题关键是将几何图形的周长问题转化为二次函数求最值问题，解题时需注意结合点的位置确定自变量的取值范围，确保所求最值符合题意。
【难度系数】
0.7
3 如图，抛物线 $ y = -x^2 + bx + c $ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为(-1,0)，与y轴交于点C(0,3)，作直线BC。动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m。当点P在线段OB上运动时，线段MN长的最大值为
$\frac{9}{4}$
。答案
3. $\frac{9}{4}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先需要求出抛物线和直线BC的解析式，再根据点P的横坐标m，分别表示出M、N两点的纵坐标，作差得到线段MN的长度关于m的函数表达式，最后结合m的取值范围，利用二次函数的性质求出最大值。步骤拆解：1. 代入已知点A、C的坐标求出抛物线的系数b、c，确定抛物线解析式；2. 求抛物线与x轴的交点B的坐标，再用B、C的坐标求出直线BC的解析式；3. 用含m的代数式表示M、N的纵坐标，作差得到MN的长度表达式；4. 利用二次函数性质求最大值。
【解析】
1. 求抛物线解析式
将$A(-1,0)$、$C(0,3)$代入$y=-x^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}-1 -b +c=0 \\c=3\end{cases}$
把$c=3$代入第一个方程，解得$b=2$，因此抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$。
2. 求点B坐标及直线BC解析式
令$y=-x^2+2x+3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，故B点坐标为$(3,0)$。
设直线BC的解析式为$y=kx+d$，代入$B(3,0)$、$C(0,3)$，得：
$\begin{cases}d=3 \\3k+d=0\end{cases}$
解得$k=-1$，因此直线BC解析式为$y=-x+3$。
3. 表示线段MN的长度
点P在线段OB上，横坐标为m，故$0≤ m≤3$。
因为$PM⊥ x$轴，所以M、N的横坐标均为m，代入对应解析式得：
M的纵坐标为$-m^2+2m+3$，N的纵坐标为$-m+3$。
因此$MN=(-m^2+2m+3)-(-m+3)=-m^2+3m$。
4. 求MN的最大值
$MN=-m^2+3m$是开口向下的二次函数，对称轴为$m=\frac{3}{2}$，在$0≤ m≤3$范围内。
将$m=\frac{3}{2}$代入得最大值：$MN_{max}=-(\frac{3}{2})^2+3×\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$。
【答案】
$\frac{9}{4}$
【知识点】
二次函数解析式求解，一次函数解析式求解，二次函数最值
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的常规综合题，核心是将线段长度转化为含参数的二次函数表达式，再利用二次函数性质求解最值，是二次函数综合类题的基础考法。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先需要求出抛物线和直线BC的解析式，再根据点P的横坐标m，分别表示出M、N两点的纵坐标，作差得到线段MN的长度关于m的函数表达式，最后结合m的取值范围，利用二次函数的性质求出最大值。步骤拆解：1. 代入已知点A、C的坐标求出抛物线的系数b、c，确定抛物线解析式；2. 求抛物线与x轴的交点B的坐标，再用B、C的坐标求出直线BC的解析式；3. 用含m的代数式表示M、N的纵坐标，作差得到MN的长度表达式；4. 利用二次函数性质求最大值。
【解析】
1. 求抛物线解析式
将$A(-1,0)$、$C(0,3)$代入$y=-x^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}-1 -b +c=0 \\c=3\end{cases}$
把$c=3$代入第一个方程，解得$b=2$，因此抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$。
2. 求点B坐标及直线BC解析式
令$y=-x^2+2x+3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，故B点坐标为$(3,0)$。
设直线BC的解析式为$y=kx+d$，代入$B(3,0)$、$C(0,3)$，得：
$\begin{cases}d=3 \\3k+d=0\end{cases}$
解得$k=-1$，因此直线BC解析式为$y=-x+3$。
3. 表示线段MN的长度
点P在线段OB上，横坐标为m，故$0≤ m≤3$。
因为$PM⊥ x$轴，所以M、N的横坐标均为m，代入对应解析式得：
M的纵坐标为$-m^2+2m+3$，N的纵坐标为$-m+3$。
因此$MN=(-m^2+2m+3)-(-m+3)=-m^2+3m$。
4. 求MN的最大值
$MN=-m^2+3m$是开口向下的二次函数，对称轴为$m=\frac{3}{2}$，在$0≤ m≤3$范围内。
将$m=\frac{3}{2}$代入得最大值：$MN_{max}=-(\frac{3}{2})^2+3×\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$。
【答案】
$\frac{9}{4}$
【知识点】
二次函数解析式求解，一次函数解析式求解，二次函数最值
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的常规综合题，核心是将线段长度转化为含参数的二次函数表达式，再利用二次函数性质求解最值，是二次函数综合类题的基础考法。
【难度系数】
0.7
4 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=6\ \mathrm{cm}$,$BC=12\ \mathrm{cm}$.动点$P$从点$A$开始沿$AB$向点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度运动(不与点$B$重合),动点$Q$从点$B$开始沿$BC$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$C$运动(不与点$C$重合).如果点$P$,$Q$同时出发,那么当四边形$APQC$的面积最小时,要经过
3
s.答案
4. 3 【解析】设点 P,Q 同时出发,经过 t s 后,四边形 APQC的面积为 S cm²,则 $S=\frac{1}{2}×12×6-\frac{1}{2}(6-t)×2t=t^2-6t+36=(t-3)^2+27.$
∴ 当 t=3 时,S 取得最小值,即要经过 3 s,四边形 APQC 的面积最小.
∴ 当 t=3 时,S 取得最小值,即要经过 3 s,四边形 APQC 的面积最小.
解析
【分析】
首先，四边形APQC为不规则图形，直接求面积难度较大，观察图形可得：四边形APQC的面积=Rt△ABC的面积-Rt△PBQ的面积，其中Rt△ABC的面积是固定值。我们可以设运动时间为t s，先根据点P、Q的运动速度和方向，用含t的代数式表示出PB、BQ的长度，再写出Rt△PBQ的面积表达式，进而得到四边形APQC的面积关于t的函数关系式，最后利用二次函数的最值性质，结合t的取值范围（点P不与B重合、点Q不与C重合，故0＜t＜6），即可求出面积最小时对应的t值。
【解析】
设经过t s时，四边形APQC的面积为S cm²，其中0＜t＜6。
由题意得：$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = 2t\ \mathrm{cm}$，
∴ $PB = AB - AP = (6 - t)\ \mathrm{cm}$，
∵ Rt△ABC的面积为：$\frac{1}{2}×AB×BC=\frac{1}{2}×6×12=36\ \mathrm{cm}^2$，
Rt△PBQ的面积为：$\frac{1}{2}×PB×BQ=\frac{1}{2}(6-t)×2t=(6t-t^2)\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S = 36 - (6t - t^2) = t^2 - 6t + 36$，
对函数配方得：$S=(t-3)^2 + 27$，
∵ 二次项系数$1＞0$，
∴ 该二次函数图象开口向上，当$t=3$时，S取得最小值，
且$t=3$满足$0＜t＜6$，符合运动要求。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的应用；配方法求最值；动点面积计算
【点评】
本题是二次函数与几何动点结合的基础题，解题的核心是利用割补法将不规则四边形的面积转化为两个规则三角形的面积差，再结合二次函数的性质求解最值，掌握基础的面积计算方法和二次函数最值的求法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
首先，四边形APQC为不规则图形，直接求面积难度较大，观察图形可得：四边形APQC的面积=Rt△ABC的面积-Rt△PBQ的面积，其中Rt△ABC的面积是固定值。我们可以设运动时间为t s，先根据点P、Q的运动速度和方向，用含t的代数式表示出PB、BQ的长度，再写出Rt△PBQ的面积表达式，进而得到四边形APQC的面积关于t的函数关系式，最后利用二次函数的最值性质，结合t的取值范围（点P不与B重合、点Q不与C重合，故0＜t＜6），即可求出面积最小时对应的t值。
【解析】
设经过t s时，四边形APQC的面积为S cm²，其中0＜t＜6。
由题意得：$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = 2t\ \mathrm{cm}$，
∴ $PB = AB - AP = (6 - t)\ \mathrm{cm}$，
∵ Rt△ABC的面积为：$\frac{1}{2}×AB×BC=\frac{1}{2}×6×12=36\ \mathrm{cm}^2$，
Rt△PBQ的面积为：$\frac{1}{2}×PB×BQ=\frac{1}{2}(6-t)×2t=(6t-t^2)\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S = 36 - (6t - t^2) = t^2 - 6t + 36$，
对函数配方得：$S=(t-3)^2 + 27$，
∵ 二次项系数$1＞0$，
∴ 该二次函数图象开口向上，当$t=3$时，S取得最小值，
且$t=3$满足$0＜t＜6$，符合运动要求。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的应用；配方法求最值；动点面积计算
【点评】
本题是二次函数与几何动点结合的基础题，解题的核心是利用割补法将不规则四边形的面积转化为两个规则三角形的面积差，再结合二次函数的性质求解最值，掌握基础的面积计算方法和二次函数最值的求法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
5 新考向 存在性问题 [2025 龙东地区]如图，抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 交x轴于点A，B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为(3,－4)。
(1) 求b，c的值。
(2) 在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积与△ABC的面积相等？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由。
(1) 求b，c的值。
(2) 在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积与△ABC的面积相等？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由。
答案
5. (1)
∵ 抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的顶点坐标为(3,－4),
∴ $y=(x-3)^2-4=x^2-6x+5.$
∴ $b=-6,c=5$ (2) 存在 对于$y=x^2-6x+5$,当$y=0$时,$x^2-6x+5=0$,解得$x_1=1,x_2=5$;当$x=0$时,$y=5.$
∴ $OB=OC=5,AB=5-1=4.$
∵ $∠COB=90°$,
∴ $∠OBC=∠OCB=45°.$ 如图,过点 B 作 x 轴的垂线,在x轴上方的垂线上截取 $BD=BA=4$,连接 AD 与 BC 交于点 E.
∴ $D(5,4),∠DBC=90°-∠OBC=45°=∠OBC.$
∴ $BC⊥AD,ED=EA.$ 过点 D 作 BC 的平行线与抛物线的交点即为 P,连接 PC,PB.
∵ $S_{△BCP}=\frac{1}{2}BC·DE,S_{△BCA}=\frac{1}{2}BC·AE$,
∴ $S_{△BCA}=S_{△BCP}.$ 设直线 $BC:y=mx+n$,则 $\begin{cases}5m+n=0,\\n=5,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}m=-1,\\n=5.\end{cases}$
∴ 直线 $BC:y=-x+5.$
∵ $BC// PD$,
∴ 设直线 $PD:y=-x+q$,将 $D(5,4)$ 代入,得 $-5+q=4$,解得 $q=9.$
∴ 直线 $PD:y=-x+9$,与抛物线对应的函数解析式联立,得 $\begin{cases}y=-x+9,\\y=x^2-6x+5.\end{cases}$ 整理,得 $x^2-5x-4=0$,解得 $x=\frac{5+\sqrt{41}}{2}$ 或 $x=\frac{5-\sqrt{41}}{2}.$
∴ 点 P 的横坐标为 $\frac{5+\sqrt{41}}{2}$ 或 $\frac{5-\sqrt{41}}{2}$
解析
【分析】
(1) 已知抛物线的顶点坐标，可先写出抛物线的顶点式，再将顶点式展开为一般式，对比系数就能直接求出b、c的值，是求解二次函数系数的常用方法。
(2) 要判断是否存在点P使得△PBC和△ABC面积相等，先求出A、B、C三点坐标，观察发现两个三角形有公共底BC，因此只要BC边上的高相等，两个三角形面积就相等。先求出直线BC的解析式，根据平行线间距离相等的性质，作BC的平行线使其到BC的距离等于点A到BC的距离，该平行线与抛物线的交点即为所求P点，最后联立方程求解即可。
【解析】
(1)
∵ 抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的顶点坐标为(3,－4)，
∴ 抛物线的顶点式为 $y=(x-3)^2-4$，
展开得 $y=x^2-6x+5$，
对比一般式可得 $b=-6$，$c=5$。
(2) 存在，理由如下：
对于抛物线 $y=x^2-6x+5$，
令 $y=0$，即 $x^2-6x+5=0$，解得 $x_1=1$，$x_2=5$，
∵ 点A在点B左侧，
∴ A(1,0)，B(5,0)，
令 $x=0$，得 $y=5$，
∴ C(0,5)。
∴ $OB=OC=5$，$AB=5-1=4$，
∵ $∠COB=90°$，
∴ $∠OBC=∠OCB=45°$。
如图，过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取 $BD=BA=4$，则D(5,4)，
可得 $∠DBC=90°-∠OBC=45°=∠OBC$，即BC垂直平分AD，点A、D到直线BC的距离相等。
过点D作BC的平行线，该直线上的点到BC的距离均等于A到BC的距离，与抛物线的交点即为满足条件的点P，此时△PBC和△ABC同底等高，面积相等。
设直线BC的解析式为 $y=mx+n$，将B(5,0)、C(0,5)代入得：
$\begin{cases}5m+n=0\\n=5\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m=-1\\n=5\end{cases}$，即直线BC的解析式为 $y=-x+5$。
∵ $BC// PD$，设直线PD的解析式为 $y=-x+q$，将D(5,4)代入得 $-5+q=4$，解得 $q=9$，
∴ 直线PD的解析式为 $y=-x+9$。
联立直线PD与抛物线的解析式：
$\begin{cases}y=-x+9\\y=x^2-6x+5\end{cases}$，
整理得 $x^2-5x-4=0$，解得 $x=\frac{5+\sqrt{41}}{2}$ 或 $x=\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，两个解对应的点均在x轴上方，即为点P的横坐标。
【答案】
(1) $b=-6,c=5$；
(2) 存在，点P的横坐标为 $\frac{5+\sqrt{41}}{2}$ 或 $\frac{5-\sqrt{41}}{2}$
【知识点】
1.二次函数顶点式应用
2.一次函数解析式求解
3.二次函数面积存在性问题
【点评】
本题第一问为基础题，考查二次函数顶点式与一般式的转换，熟练掌握二次函数顶点式即可快速求解；第二问是典型的二次函数几何综合题，利用同底等高的三角形面积相等的性质，将面积相等问题转化为平行线交点问题，结合方程思想求解，对知识综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 已知抛物线的顶点坐标，可先写出抛物线的顶点式，再将顶点式展开为一般式，对比系数就能直接求出b、c的值，是求解二次函数系数的常用方法。
(2) 要判断是否存在点P使得△PBC和△ABC面积相等，先求出A、B、C三点坐标，观察发现两个三角形有公共底BC，因此只要BC边上的高相等，两个三角形面积就相等。先求出直线BC的解析式，根据平行线间距离相等的性质，作BC的平行线使其到BC的距离等于点A到BC的距离，该平行线与抛物线的交点即为所求P点，最后联立方程求解即可。
【解析】
(1)
∵ 抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的顶点坐标为(3,－4)，
∴ 抛物线的顶点式为 $y=(x-3)^2-4$，
展开得 $y=x^2-6x+5$，
对比一般式可得 $b=-6$，$c=5$。
(2) 存在，理由如下：
对于抛物线 $y=x^2-6x+5$，
令 $y=0$，即 $x^2-6x+5=0$，解得 $x_1=1$，$x_2=5$，
∵ 点A在点B左侧，
∴ A(1,0)，B(5,0)，
令 $x=0$，得 $y=5$，
∴ C(0,5)。
∴ $OB=OC=5$，$AB=5-1=4$，
∵ $∠COB=90°$，
∴ $∠OBC=∠OCB=45°$。
如图，过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取 $BD=BA=4$，则D(5,4)，
可得 $∠DBC=90°-∠OBC=45°=∠OBC$，即BC垂直平分AD，点A、D到直线BC的距离相等。
过点D作BC的平行线，该直线上的点到BC的距离均等于A到BC的距离，与抛物线的交点即为满足条件的点P，此时△PBC和△ABC同底等高，面积相等。
设直线BC的解析式为 $y=mx+n$，将B(5,0)、C(0,5)代入得：
$\begin{cases}5m+n=0\\n=5\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m=-1\\n=5\end{cases}$，即直线BC的解析式为 $y=-x+5$。
∵ $BC// PD$，设直线PD的解析式为 $y=-x+q$，将D(5,4)代入得 $-5+q=4$，解得 $q=9$，
∴ 直线PD的解析式为 $y=-x+9$。
联立直线PD与抛物线的解析式：
$\begin{cases}y=-x+9\\y=x^2-6x+5\end{cases}$，
整理得 $x^2-5x-4=0$，解得 $x=\frac{5+\sqrt{41}}{2}$ 或 $x=\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，两个解对应的点均在x轴上方，即为点P的横坐标。
【答案】
(1) $b=-6,c=5$；
(2) 存在，点P的横坐标为 $\frac{5+\sqrt{41}}{2}$ 或 $\frac{5-\sqrt{41}}{2}$
【知识点】
1.二次函数顶点式应用
2.一次函数解析式求解
3.二次函数面积存在性问题
【点评】
本题第一问为基础题，考查二次函数顶点式与一般式的转换，熟练掌握二次函数顶点式即可快速求解；第二问是典型的二次函数几何综合题，利用同底等高的三角形面积相等的性质，将面积相等问题转化为平行线交点问题，结合方程思想求解，对知识综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
