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1 已知方程$(m-1)x^2 + 2x = 1$是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为(
A.$m=1$
B.$m≠1$
C.$m=0$
D.$m≠0$
B
).A.$m=1$
B.$m≠1$
C.$m=0$
D.$m≠0$
答案
1.B
2 若关于x的一元二次方程$(k-3)x^2 +5x +k^2 -9=0$的常数项为0，则k值为
-3
。答案
2.-3
3 若一元二次方程$x^2 + x - 3 = 0$的一个根为$m$，则$5 - m^2 - m$的值是（
A.2
B.3
C.4
D.5
A
）。A.2
B.3
C.4
D.5
答案
3.A
4 若a是一元二次方程$x^2 - 3x +1=0$的一个根，则$\frac{a^2 +1}{a}$的值为
3
。答案
4.3
5 先化简，再求值：$\dfrac{m - 3}{3m^2 - 6m} ÷ (m + 2 - \dfrac{5}{m - 2})$，其中$m$是方程$x^2 + 3x - 1 = 0$的根。
答案
$\frac{m - 3}{3m^2 - 6m} ÷ (m + 2 - \frac{5}{m - 2}) = \frac{m - 3}{3m(m - 2)} ÷ \frac{m^2 - 4 - 5}{m - 2} = \frac{m - 3}{3m(m - 2)} × \frac{m - 2}{(m + 3)(m - 3)} = \frac{1}{3(m^2 + 3m)}.$
$\because m$是方程$x^2 + 3x - 1 = 0$的根，
$\therefore m^2 + 3m - 1 = 0,$
$\therefore m^2 + 3m = 1, \therefore 原式 = \frac{1}{3×1} = \frac{1}{3}.$
$\because m$是方程$x^2 + 3x - 1 = 0$的根，
$\therefore m^2 + 3m - 1 = 0,$
$\therefore m^2 + 3m = 1, \therefore 原式 = \frac{1}{3×1} = \frac{1}{3}.$
6 若关于$x$的一元二次方程$kx^2 -2x -1=0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是(
A.$k＞-1$
B.$k＞-1$且$k≠0$
C.$k＜1$
D.$k＜1$且$k≠0$
B
).A.$k＞-1$
B.$k＞-1$且$k≠0$
C.$k＜1$
D.$k＜1$且$k≠0$
答案
6.B
7 已知关于$x$的一元二次方程$(1-2k)x^2 - 2\sqrt{k+1}x = 1.$
(1)若此方程有两个不相等的实数根,求$k$的取值范围;
(2)若此方程有两个相等实数根,请求出这个实数根.
(1)若此方程有两个不相等的实数根,求$k$的取值范围;
(2)若此方程有两个相等实数根,请求出这个实数根.
答案
(1)原方程可变为$(1-2k)x^2 - 2\sqrt{k+1}x - 1 = 0.$
$\because$关于$x$的一元二次方程$(1-2k)x^2 - 2\sqrt{k+1}x = 1$有两个不相等的实数根，
$\therefore (-2\sqrt{k+1})^2 - 4(1-2k)×(-1) ＞ 0,$解得$k ＜ 2.$
又$1-2k≠0, k+1≥0,$
解得$k≠\frac{1}{2}, k≥-1, \therefore -1≤k＜2$且$k≠\frac{1}{2}.$
(2)根据题意知$(-2\sqrt{k+1})^2 - 4(1-2k)×(-1) = 0,$解得$k=2,$
则方程为$-3x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0,$即$3x^2 + 2\sqrt{3}x + 1 = 0,$则$(\sqrt{3}x + 1)^2 = 0, \therefore \sqrt{3}x + 1 = 0,$解得$x_1 = x_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$
$\because$关于$x$的一元二次方程$(1-2k)x^2 - 2\sqrt{k+1}x = 1$有两个不相等的实数根，
$\therefore (-2\sqrt{k+1})^2 - 4(1-2k)×(-1) ＞ 0,$解得$k ＜ 2.$
又$1-2k≠0, k+1≥0,$
解得$k≠\frac{1}{2}, k≥-1, \therefore -1≤k＜2$且$k≠\frac{1}{2}.$
(2)根据题意知$(-2\sqrt{k+1})^2 - 4(1-2k)×(-1) = 0,$解得$k=2,$
则方程为$-3x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0,$即$3x^2 + 2\sqrt{3}x + 1 = 0,$则$(\sqrt{3}x + 1)^2 = 0, \therefore \sqrt{3}x + 1 = 0,$解得$x_1 = x_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$
8 已知$α,β$是关于$x$的方程$x^2+(2a-3)x+a^2=0$的两个不相等的实数根，且满足$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=1$，则$a$的值是(
A.$-3$或1
B.$-1$或3
C.$-3$
D.1
C
).A.$-3$或1
B.$-1$或3
C.$-3$
D.1
答案
8.C
9 方程$x^2 + 2x + m - 1 = 0$是关于$x$的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为$x_1, x_2$。
(1)求$m$的取值范围；
(2)若$x_1^2 + x_2^2 + 3x_1x_2 - 1 = 0$，求$m$的值。
(1)求$m$的取值范围；
(2)若$x_1^2 + x_2^2 + 3x_1x_2 - 1 = 0$，求$m$的值。
答案
(1)由题意，得$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(m - 1) ≥ 0,$即$4 - 4(m - 1) ≥ 0,$解得$m ≤ 2,$
则$m$的取值范围为$m ≤ 2.$
(2)由根与系数的关系知，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2, x_1x_2 = m - 1,$若$x_1^2 + x_2^2 + 3x_1x_2 - 1 = 0,$则$(x_1 + x_2)^2 + x_1x_2 - 1 = 0,$
$\therefore (-2)^2 + (m - 1) - 1 = 0,$即$m + 2 = 0,$解得$m = -2,$
由(1)可知$m ≤ 2,$
$\therefore m = -2$符合题意，因此$m$的值为$-2.$
则$m$的取值范围为$m ≤ 2.$
(2)由根与系数的关系知，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2, x_1x_2 = m - 1,$若$x_1^2 + x_2^2 + 3x_1x_2 - 1 = 0,$则$(x_1 + x_2)^2 + x_1x_2 - 1 = 0,$
$\therefore (-2)^2 + (m - 1) - 1 = 0,$即$m + 2 = 0,$解得$m = -2,$
由(1)可知$m ≤ 2,$
$\therefore m = -2$符合题意，因此$m$的值为$-2.$
