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1(2026·青海西宁城东区期中)若关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$的两个实数根分别为$x_1 = -2, x_2 = 4$，则$b + c$的值是(
A.$-10$
B.$10$
C.$-6$
D.$-1$
A
).A.$-10$
B.$10$
C.$-6$
D.$-1$
答案
1.A
2(2025·扬州仪征期末)已知关于$x$的方程$x^2 -6x +8 -t=0$有两个实数根$x_1,x_2$，且$(x_1 -2)·(x_2 -2)=-6$，则$t=$
6
。答案
2.6
3 (2025·苏州太仓期末)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 +6x -m=0$有两个不相等的实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)若其中一个根是另一个根的2倍,求$m$的值.
(1)求$m$的取值范围；
(2)若其中一个根是另一个根的2倍,求$m$的值.
答案
3.(1)
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 +6x -m=0$有两个不相等的实数根，
∴$b^2 -4ac＞0,∴36+4m＞0,∴m＞-9.$
(2)设一个根为$a$,则另一个根为$2a$,
∴$a+2a=-6,∴a=-2,∴$两根分别为$-2,-4.$
∵$-2×(-4)=-m,∴m=-8.$
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 +6x -m=0$有两个不相等的实数根，
∴$b^2 -4ac＞0,∴36+4m＞0,∴m＞-9.$
(2)设一个根为$a$,则另一个根为$2a$,
∴$a+2a=-6,∴a=-2,∴$两根分别为$-2,-4.$
∵$-2×(-4)=-m,∴m=-8.$
4 (2025·福建泉州永春期末)已知关于$x$的方程$x^2 + mx + 225 = 0$.
(1)若方程有两个相等的实数根,求$m$的值;
(2)若方程的两个实数根分别为$11+a$与$11-b$,且$a,b$为正整数,求证:$a-b$能被4整除.
(1)若方程有两个相等的实数根,求$m$的值;
(2)若方程的两个实数根分别为$11+a$与$11-b$,且$a,b$为正整数,求证:$a-b$能被4整除.
答案
4.(1)
∵方程$x^2 +mx +225=0$有两个相等的实数根，
∴$m^2 -4×225=0,∴m=±30.$
(2)
∵方程的两个实数根分别为$11+a$与$11-b$，
∴$(11+a)(11-b)=225=15×15=1×225=3×75=5×45=9×25.$
又$a,b$为正整数,$∴11+a＞11-b.$
∴符合题意的$(a,b)$为$(214,10)、(64,8)、(34,6)、(14,2)$，
∴$a-b=204$或$56$或$28$或$12,∴a-b$能被4整除.
∵方程$x^2 +mx +225=0$有两个相等的实数根，
∴$m^2 -4×225=0,∴m=±30.$
(2)
∵方程的两个实数根分别为$11+a$与$11-b$，
∴$(11+a)(11-b)=225=15×15=1×225=3×75=5×45=9×25.$
又$a,b$为正整数,$∴11+a＞11-b.$
∴符合题意的$(a,b)$为$(214,10)、(64,8)、(34,6)、(14,2)$，
∴$a-b=204$或$56$或$28$或$12,∴a-b$能被4整除.
5(2026·南京求真中学月考)已知$m,n$是方程$x^2 + x -4=0$的两个实数根，则$m(1+n)-n^2$的值是(
A.$-7$
B.$7$
C.$-9$
D.$9$
C
).A.$-7$
B.$7$
C.$-9$
D.$9$
答案
5.C
6(2025·镇江丹阳八中期中)若$m$，$n$为方程$x^2 + 2024x -1=0$的两根，则$(m^2 + 2025m -1)(n^2 + 2025n -1)$的值为(
A.1
B.$-1$
C.$-4049$
D.$4049$
B
).A.1
B.$-1$
C.$-4049$
D.$4049$
答案
6.B
7(2025·潍坊三模)已知方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两根分别为$m,n$，则$m^2 - \frac{2025}{n}$的值为
-1
。答案
7.$-1$
8 换元法（2026·无锡宜兴升溪中学月考）若关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根之和为2，两根之积为$-4$，则关于$y$的方程$a(y-2)^2+b(y-2)+c=0(a≠0)$的两根之积是
4
。答案
8.4 [解析]设关于$x$的方程$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$的两个根为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=2,x_1x_2=-4$，
∴关于$y$的方程的两根为$y_1=x_1+2,y_2=x_2+2$，
∴$y_1y_2=(x_1+2)(x_2+2)=x_1x_2+2(x_1+x_2)+4=-4+2×2+4=4.$
∴关于$y$的方程的两根为$y_1=x_1+2,y_2=x_2+2$，
∴$y_1y_2=(x_1+2)(x_2+2)=x_1x_2+2(x_1+x_2)+4=-4+2×2+4=4.$
9(2025·扬州江都区期末)已知$a$，$b$是一元二次方程$x^2 + 4x - 1 = 0$的两个实数根，则$a^2 + ab + 4a$的值为
0
。答案
9.0
10(2026·扬州宝应期末)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - x + 2m - 4 = 0$。
(1)当$m=1$时，求该一元二次方程的解；
(2)若方程有两个不等实数根且满足$(x_1 - 3)·(x_2 - 3)=m^2 -1$，求$m$的值。
(1)当$m=1$时，求该一元二次方程的解；
(2)若方程有两个不等实数根且满足$(x_1 - 3)·(x_2 - 3)=m^2 -1$，求$m$的值。
答案
10.(1)由题意,当$m=1$时,可得一元二次方程为$x^2 -x -2=0.$
∴$(x-2)(x+1)=0.∴x=-1$或$x=2.$
(2)由题意,
∵一元二次方程$x^2 -x +2m -4=0$的两实数根为$x_1,x_2,∴b^2 -4ac=1-4(2m-4)＞0,$即$m＜\frac{17}{8}$，
$x_1+x_2=1,x_1x_2=2m-4.$
又$(x_1-3)(x_2-3)=m^2 -1$，
∴$x_1x_2 -3(x_1+x_2)+9=m^2 -1,$
∴$2m-4-3+9=m^2 -1,$
∴$m=-1$或$m=3$(舍去),$∴m=-1.$
∴$(x-2)(x+1)=0.∴x=-1$或$x=2.$
(2)由题意,
∵一元二次方程$x^2 -x +2m -4=0$的两实数根为$x_1,x_2,∴b^2 -4ac=1-4(2m-4)＞0,$即$m＜\frac{17}{8}$，
$x_1+x_2=1,x_1x_2=2m-4.$
又$(x_1-3)(x_2-3)=m^2 -1$，
∴$x_1x_2 -3(x_1+x_2)+9=m^2 -1,$
∴$2m-4-3+9=m^2 -1,$
∴$m=-1$或$m=3$(舍去),$∴m=-1.$
