14 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -6x + (2m +1)=0$有实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)如果方程的两个实数根为$x_1,x_2$，且$2x_1x_2 +x_1 +x_2 ≥20$，求$m$的取值范围.

14.(1)根据题意，得$b^2-4ac=(-6)^2-4(2m+1)≥0$，解得$m≤4$。
(2)根据题意，得$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=2m+1$。由$2x_1x_2+x_1+x_2≥20$，得$2(2m+1)+6≥20$，解得$m≥3$。又$m≤4$，所以$m$的取值范围为$3≤ m≤4$。

15 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (n+2)x - 2n^2 = 0$的两个解分别为$a_n, b_n$，求$\frac{2}{(a_1 - 2)(b_1 - 2)} + \frac{2}{(a_2 - 2)(b_2 - 2)} + \dots + \frac{2}{(a_{2025} - 2)(b_{2025} - 2)}$的值。

15.$\because x^2-(n+2)x-2n^2=0$的解为$a_n,b_n$，
利用根与系数的关系可用$n$表示出$a_n+b_n$和$a_nb_n$
$\therefore a_n+b_n=n+2$，$a_nb_n=-2n^2$，
$\therefore \dfrac{2}{(a_n-2)(b_n-2)}=\dfrac{2}{a_nb_n-2(a_n+b_n)+4}$
$=\dfrac{2}{-2n^2-2(n+2)+4}=-\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}$，
$\therefore \dfrac{2}{(a_1-2)(b_1-2)}+\dfrac{2}{(a_2-2)(b_2-2)}+\dots+$
$\dfrac{2}{(a_{2025}-2)(b_{2025}-2)}=\dfrac{1}{2}-1+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}+\dots+$
$\dfrac{1}{2026}-\dfrac{1}{2025}=\dfrac{1}{2026}-1=-\dfrac{2025}{2026}$。

16 新考法 研究探索型阅读理解题（2025·南京期中）如果关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx + n = 0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$，小普发现对于这个方程的两根，有$x_1 + x_2 = -m$，$x_1x_2 = n$。假设$x_1,x_2$在数轴上对应的点分别为$P_1,P_2$，点$P_1,P_2$之间的距离为$2$，$P_1P_2$的中点表示的数是$p$。
(1)当$m=\sqrt{5}$时，$p=$；
(2)根据小普的结论，求$m,n$；(结果用含$p$的代数式表示)
(3)如果$n$是一个正整数的平方，现保持$P_1P_2$的中点不变，$P_1,P_2$之间的距离变为$8$，对应的方程$x^2 + m_1x + n_1 = 0$中$n_1$也是一个正整数的平方，求$P_1P_2$的中点表示的数。

16.(1)$-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
解析：$\because P_1P_2$的中点表示的数是$p$，且$x_1+x_2=-m$，$\therefore$当$m=\sqrt{5}$时，$p=-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$。
中点公式$x=\dfrac{x_1+x_2}{2}$
(2)不妨设$x_1＜x_2$。
$\because$点$P_1,P_2$之间的距离为$2$，
$\therefore x_1=p-1$，$x_2=p+1$。
$\therefore x_1+x_2=p-1+p+1=-m$，$x_1· x_2=(p-1)(p+1)=n$。$\therefore m=-2p$，$n=p^2-1$。
(3)$\because n$是一个正整数的平方，保持$P_1P_2$的中点不变为$p$，$P_1,P_2$之间的距离变为$8$，
$\therefore$当$P_1P_2=2$时，$n=p^2-1=c^2$（$c$为正整数），
当$P_1P_2=8$时，$n_1=p^2-16=d^2$（$d$为正整数，且$d＜c$），
$\therefore c^2-d^2=15$，即$(c+d)(c-d)=15$。
$\therefore \begin{cases} c+d=15 \\ c-d=1 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} c+d=5 \\ c-d=3 \end{cases}$，
$\therefore \begin{cases} c_1=8 \\ d_1=7 \end{cases}$，$\begin{cases} c_2=4 \\ d_2=1 \end{cases}$。
$\therefore p_1=\sqrt{65}$，$p_2=-\sqrt{65}$，$p_3=\sqrt{17}$，$p_4=-\sqrt{17}$。