1[2025湖北武汉质检]如图,已知正方形ABCD的边长为4,建立适当的平面直角坐标系,写出各个顶点的坐标.
(1)如果以点C为坐标原点,分别以CB,CD所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,那么各个顶点的坐标分别为A,B,C(0,0),D;
(2)如果以点A为坐标原点,分别以DA,AB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,那么各个顶点的坐标分别为A(0,0),B,C,D;
(3)如果以正方形的中心为坐标原点,分别以平行于DA,AB的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,那么各个顶点的坐标分别为A,B,C,D.

【解】因为正方形ABCD的边长为4,所以AB=BC=CD=DA=4.
(1)根据题意,得A(4,4),B(4,0),C(0,0),D(0,4).故答案为(4,4),(4,0),(0,4).
(2)根据题意,得A(0,0),B(0,-4),C(-4,-4),D(-4,0).故答案为(0,-4),(-4,-4),(-4,0).
(3)根据题意,得A(2,2),B(2,-2),C(-2,-2),D(-2,2).故答案为(2,2),(2,-2),(-2,-2),(-2,2).

【分析】
解决这道题首先要明确平面直角坐标系中点的坐标的确定规则：点的横坐标是该点到y轴的距离，x轴正方向右侧为正、左侧为负；纵坐标是该点到x轴的距离，y轴正方向上方为正、下方为负。已知正方形边长为4，各边长度都为4，我们只需根据每一问给出的坐标系原点、坐标轴的设定，依次判断每个顶点相对坐标轴的位置和距离，就能计算出对应坐标。
【解析】
已知正方形ABCD的边长为4，因此AB=BC=CD=DA=4。
(1) 以点C为坐标原点，CB所在直线为x轴、CD所在直线为y轴：
点C为原点，坐标(0,0)；
点B在x轴正半轴，距原点距离为4，故B(4,0)；
点D在y轴正半轴，距原点距离为4，故D(0,4)；
点A距y轴、x轴的距离均为4，且在第一象限，故A(4,4)。
(2) 以点A为坐标原点，DA所在直线为x轴、AB所在直线为y轴：
点A为原点，坐标(0,0)；
点B在y轴负半轴，距原点距离为4，故B(0,-4)；
点D在x轴负半轴，距原点距离为4，故D(-4,0)；
点C距y轴、x轴的距离均为4，且在第三象限，故C(-4,-4)。
(3) 以正方形中心为坐标原点，平行于DA、AB的直线分别为x轴、y轴：
正方形边长为4，中心到各边的距离为4÷2=2；
点A在第一象限，横纵坐标均为正，故A(2,2)；
点B在第四象限，横坐标为正、纵坐标为负，故B(2,-2)；
点C在第三象限，横纵坐标均为负，故C(-2,-2)；
点D在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正，故D(-2,2)。
【答案】
(1) (4,4)，(4,0)，(0,4)
(2) (0,-4)，(-4,-4)，(-4,0)
(3) (2,2)，(2,-2)，(-2,-2)，(-2,2)
【知识点】
平面直角坐标系，点的坐标确定，正方形的性质
【点评】
本题考查不同坐标系下点的坐标的求解，解题核心是明确坐标系的原点、正方向，结合图形边长特征判断点的位置，能帮助理解坐标系的相对性，即同一个点在不同坐标系下的坐标不同。
【难度系数】
0.8

2 如图,在长方形ABCD中,已知AB=6,AD=4,在长方形ABCD外画△ABE,使E点在CB延长线上,AE=10,请建立适当的平面直角坐标系,并求出各顶点的坐标.

【解】如图,以D为坐标原点,DC和AD所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系.易知A的坐标是(0,4),B的坐标是(6,4),C的坐标是(6,0),D的坐标是(0,0).因为E点在CB延长线上,所以∠ABE=90°.在Rt△AEB中,EB = √(AE²-AB²) = √(10²-6²)=8,则EC=4+8=12,所以E的坐标是(6,12).(建系方法不唯一,对应答案不唯一)

【分析】
解决本题首先要遵循简化计算的原则建立平面直角坐标系，优先选择图形的顶点为原点，图形的边为坐标轴，方便直接写出已知顶点的坐标。本题可选择点D为原点，DC、AD所在直线分别为x轴、y轴建系，先根据长方形的边长确定A、B、C、D四点的坐标，再利用E在CB延长线上的位置特征，得到△ABE为直角三角形，结合已知的AE、AB长度，用勾股定理计算BE的长度，最终推导得到E点的坐标，注意建系方法不唯一，对应坐标也会发生变化。
【解析】
解：以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图。
∵ 四边形ABCD是长方形，AB=6，AD=4，
∴ D(0,0)，A(0,4)，B(6,4)，C(6,0)。
∵ E在CB的延长线上，
∴ ∠ABE=90°，△ABE为直角三角形。
在Rt△ABE中，AE=10，AB=6，由勾股定理得：
$EB=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$
∴ E点的横坐标与B点相同为6，纵坐标为$4+8=12$，即E(6,12)。
注：建系方法不唯一，对应各点坐标随建系方式变化，上述为其中一种正确解法。
【答案】
以D为坐标原点，DC和AD所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系。A的坐标是(0,4)，B的坐标是(6,4)，C的坐标是(6,0)，D的坐标是(0,0)，E的坐标是(6,12)。(建系方法不唯一，对应答案不唯一)
【知识点】
平面直角坐标系建立；勾股定理；点的坐标确定
【点评】
本题考查平面直角坐标系的灵活应用，以及结合勾股定理求解未知点坐标的能力，建立坐标系时尽量让更多点落在坐标轴上，可简化坐标计算过程，属于坐标系应用的基础题型。
【难度系数】
0.7

3[2026山东临沂期末]一个平面直角坐标系的横轴和纵轴的单位长度相同,该平面直角坐标系中的点$M(1,1),N(4,0)$的位置如图所示,则该平面直角坐标系的原点可能是 ()

A.点A
B.点B
C.点C
D.点D

【解析】如图所示,该平面直角坐标系的原点可能是点B.故选B.

【分析】
要确定平面直角坐标系的原点，可结合已知点的坐标特征逐步排除错误选项：首先，点N(4,0)的纵坐标为0，说明N在x轴上，因此x轴是过N的水平直线，原点必然在x轴上，可先排除不在x轴上的点A、C；其次，点M(1,1)的横、纵坐标均为正数，说明M在第一象限，即M在y轴右侧、x轴上方，若原点为D，则M在D的左上方，横坐标为负，不符合M横坐标为正的特征，排除D，最终确定原点为点B。
【解析】
1. 分析点N的坐标特征：点N坐标为(4,0)，根据x轴上的点纵坐标为0的性质，可知N在x轴上，因此x轴为过点N的水平直线，原点一定在x轴上，排除不在x轴上的点A、C；
2. 分析点M的坐标特征：点M坐标为(1,1)，横、纵坐标均为正数，说明M属于第一象限的点，即M位于x轴上方、y轴右侧，且到y轴的水平距离为1个单位长度，到x轴的竖直距离为1个单位长度；
3. 验证剩余选项：若原点为点D，M位于D的左上方，横坐标为负数，与M横坐标为1矛盾，排除D；若原点为点B，此时y轴为过B的竖直直线，M在y轴右侧1个单位、x轴上方1个单位，坐标为(1,1)，N在y轴右侧4个单位、x轴上，坐标为(4,0)，完全符合已知条件。
故选B。

【答案】
B
【知识点】
平面直角坐标系的定义，点的坐标特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系的相关应用，解题关键是掌握坐标轴上点的坐标特点和各象限内点的坐标符号规律，结合已知点的坐标逐一验证排除错误选项即可求解。
【难度系数】
0.7

4[2025陕西商洛期末]某地的平面示意图如图所示，如果医院所在位置的坐标为(-1,0)，汽车站所在位置的坐标为(1,2)，则(0,3)所在的位置是（）

A.公园
B.学校
C.宠物店
D.水果店

【解析】如图,(0,3)所在的位置是学校.故选B.

【分析】
解题时首先要根据已知点坐标确定平面直角坐标系的核心要素：已知医院坐标为(-1,0)，说明该点纵坐标为0，位于x轴上，且每个小方格边长代表1个单位长度，由此可确定坐标系原点在医院右侧1个单位的位置，x轴向右为正方向、y轴向上为正方向；再用汽车站坐标(1,2)验证坐标系是否正确，确认无误后，根据坐标的定义，(0,3)表示横坐标为0（在y轴上）、纵坐标为3（沿y轴正方向距离原点3个单位），对应找到该点对应的场所即可。
【解析】
解：
∵医院所在位置的坐标为(-1,0)，
∴该点在x轴上，每个小方格的边长为1个单位长度，坐标系原点O在医院右侧1格处，x轴向右为正，y轴向上为正。
验证汽车站坐标(1,2)：该点在原点右侧1格、上方2格，与已知条件一致，坐标系建立正确。
坐标(0,3)的点横坐标为0，在y轴上，纵坐标为3，即从原点沿y轴正方向数3个单位，对应位置为学校。
故选B。

【答案】
B
【知识点】
坐标确定位置，平面直角坐标系，点的坐标
【点评】
本题考查利用已知点坐标反推平面直角坐标系，再判断目标点位置的能力，解题关键是准确确定原点位置和单位长度，属于坐标应用的基础题型。
【难度系数】
0.8

5[2025山西太原质检]无人驾驶飞机简称“无人机”，英文缩写为“UAV”，是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的，或者由机载计算机完全地或间歇地自主操作的不载人飞机. 如图，飞行中的三架无人机按要求悬停在同一高度，若无人机A,B的位置分别表示为(-1,3),(2,2)，则无人机C的位置表示为.

【解析】如图所示,无人机C的位置表示为(0,1).故答案为(0,1).

【分析】
解题时首先根据已知的A、B两点的坐标，明确该平面直角坐标系的规则：横坐标向右为正、向左为负，纵坐标向上为正、向下为负，且每个小方格的边长代表1个单位长度。再观察点C的位置，分别确定它的横、纵坐标即可：先看点C在水平方向（x轴方向）的位置，得到横坐标；再看点C在竖直方向（y轴方向）的位置，得到纵坐标，组合起来就是C的坐标。
【解析】
已知无人机A、B的位置分别为(-1,3)、(2,2)，可得该平面直角坐标系中每个小方格的边长为1个单位长度，x轴向右为正方向，y轴向上为正方向。
观察点C的位置：
1. 点C在y轴上，因此横坐标为0；
2. 点C在x轴上方，距离x轴1个单位长度，因此纵坐标为1。
综上，无人机C的位置表示为(0,1)。
【答案】
(0,1)
【知识点】
平面直角坐标系；点的坐标表示
【点评】
本题结合无人机悬停的实际场景，考查根据已知点坐标确定未知点坐标的能力，解题核心是掌握平面直角坐标系中坐标和点的对应关系，难度较低。
【难度系数】
0.8

6[2025 贵州六盘水期末]在平面直角坐标系中，用线段依次连接点$(-3,0),(0,3),(3,0),(-3,0)$，得到的图形的面积是（）

A.$\frac{9}{2}$
B.$9$
C.$9\sqrt{2}$
D.$\frac{9\sqrt{2}}{2}$

【解析】如图所示,得到的图形是三角形,该三角形的面积为$\frac{1}{2}×3×6=9$.故选B.

【分析】
首先判断连接给定坐标点后得到的图形为三角形，接下来确定三角形的底和高：x轴上两点(-3,0)和(3,0)的距离为三角形的底，顶点(0,3)到x轴的距离为三角形的高，最后代入三角形面积公式计算即可得出答案。
【解析】
依次连接点$(-3,0),(0,3),(3,0),(-3,0)$，得到的图形是三角形：
1. 求底边长：x轴上两点$(-3,0)$和$(3,0)$的距离为$3 - (-3) = 6$，即三角形底边长为6；
2. 求高：顶点$(0,3)$到x轴的距离为3，即三角形的高为3；
3. 计算面积：根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得$S=\frac{1}{2}×6×3=9$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
坐标的特征，三角形面积计算，坐标轴两点距离
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形面积计算的基础题，解题关键是结合点的坐标特征快速确定三角形的底和高，不需要复杂计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8

7[2025云南昆明期末]在如图所示的网格中画出合适的平面直角坐标系,并在平面直角坐标系中描出下列各点:$A(-2,1),B(2,-2),C(2,3),D(0,1)$,连接$AB,BD,DC,CA$.求所连线段围成图形的面积.

【解】如图所示,连接AD,所连线段围成图形的面积为$\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×3=2+3=5$.

【分析】
解题时首先按照题目给出的点坐标建立平面直角坐标系并描点连线得到所求图形。观察图形特征，发现A、D两点纵坐标相同，线段AD为水平线段，可将四边形分割为以AD为公共底的两个三角形，分别计算两个三角形的面积后求和，即可得到所求图形的总面积。
【解析】
1. 按照给定坐标建立平面直角坐标系，依次描出$A(-2,1)$、$B(2,-2)$、$C(2,3)$、$D(0,1)$，连接$AB、BD、DC、CA$得到目标四边形。
2. 观察得A、D两点纵坐标均为1，因此AD平行于x轴，AD的长度为$|0 - (-2)|=2$。
3. 连接AD，将四边形分为$△ ADC$和$△ ADB$两部分：
点C到直线$AD$（$y=1$）的垂直距离为$3-1=2$，因此$△ ADC$的面积为$\frac{1}{2} × AD × 2 = \frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$；
点B到直线$AD$（$y=1$）的垂直距离为$1 - (-2)=3$，因此$△ ADB$的面积为$\frac{1}{2} × AD × 3 = \frac{1}{2} × 2 × 3 = 3$。
4. 所求图形的总面积为两个三角形面积之和：$2+3=5$。
【答案】
如图所示,连接AD,所连线段围成图形的面积为$\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×3=2+3=5$.
【知识点】
1. 坐标系描点作图
2. 坐标与线段长度
3. 割补法求面积
【点评】
本题既考查平面直角坐标系的基础作图能力，又考查不规则图形面积的计算技巧，通过分割为两个同底的三角形可大幅简化计算，解题核心是观察到AD的水平特征找到公共底。
【难度系数】
0.7