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1[中]已知等腰$△ ABC$，建立适当的平面直角坐标系后，其三个顶点的坐标分别为$A(m,0)$，$B(m+4,2)$，$C(m+4,-3)$，则下列关于该三角形的三边关系正确的是（
A.$AC=BC≠AB$
B.$AB=AC≠BC$
C.$AB=BC≠AC$
D.$AB=AC=BC$
A
）A.$AC=BC≠AB$
B.$AB=AC≠BC$
C.$AB=BC≠AC$
D.$AB=AC=BC$
答案
【解析】建立平面直角坐标系如图所示,令BC交x轴于点D.
因为AD = 4, BD = 2, CD = 3,所以 BC = 5,$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$,所以AC=BC≠AB.故选A.解析
【分析】
首先观察三个顶点的坐标特征：点B和点C的横坐标相同，说明线段BC是垂直于x轴的竖直线段，可直接通过纵坐标差计算BC的长度；点A的横坐标为m，点B、C的横坐标为m+4，因此A到BC所在直线的水平距离AD为4。接下来分别在直角三角形ABD和直角三角形ACD中，利用勾股定理计算AB、AC的长度，最后比较三条边的长度即可得出三边关系。
【解析】
建立平面直角坐标系如图所示，令BC交x轴于点D。
由各点坐标可得：$AD=(m+4)-m=4$，$BD=2-0=2$，$CD=0-(-3)=3$，
因此$BC=2-(-3)=5$；
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$；
所以$AC=BC≠AB$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
坐标与线段长度转化，勾股定理，两点间距离计算
【点评】
本题将平面直角坐标系的坐标特征与勾股定理结合考查线段长度的计算，解题的关键是利用横坐标相同的点的连线平行于y轴的特点快速得到相关线段长度，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
首先观察三个顶点的坐标特征：点B和点C的横坐标相同，说明线段BC是垂直于x轴的竖直线段，可直接通过纵坐标差计算BC的长度；点A的横坐标为m，点B、C的横坐标为m+4，因此A到BC所在直线的水平距离AD为4。接下来分别在直角三角形ABD和直角三角形ACD中，利用勾股定理计算AB、AC的长度，最后比较三条边的长度即可得出三边关系。
【解析】
建立平面直角坐标系如图所示，令BC交x轴于点D。
由各点坐标可得：$AD=(m+4)-m=4$，$BD=2-0=2$，$CD=0-(-3)=3$，
因此$BC=2-(-3)=5$；
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$；
所以$AC=BC≠AB$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
坐标与线段长度转化，勾股定理，两点间距离计算
【点评】
本题将平面直角坐标系的坐标特征与勾股定理结合考查线段长度的计算，解题的关键是利用横坐标相同的点的连线平行于y轴的特点快速得到相关线段长度，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
2[中]数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，建立如图所示的直角坐标系，曲线C就是其中之一。给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C在第一、二象限中的任意一点到原点的距离大于1；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3。其中正确结论的序号是 (
A.①
B.②
C.①②
D.①②③
(第2题图)
(第3题图)
C
)A.①
B.②
C.①②
D.①②③
(第2题图)
(第3题图)
答案
【解析】①观察题图可得曲线C经过的整点有6个,①正确;②曲线C在第一、二象限中的任意一点到原点的距离大于1,坐标轴上的点不属于任何一个象限,②正确;③由题图可知,曲线C经过的点有(1,1),(-1,1),(0,1),(-1,0),(1,0),(0,-1),故在横轴以上的部分面积大于2,而横轴以下的部分面积大于1,所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3,③错误.故选C.
解析
【分析】
解题时需逐个判断三个结论的正确性：①判断整点数量时，先明确整点是横、纵坐标均为整数的点，结合图形找出所有符合要求的点，统计数量即可；②判断一二象限内点到原点的距离时，先明确坐标轴上的点不属于任何象限，再根据勾股定理计算点到原点的距离，结合图形位置判断距离与1的大小关系；③判断区域面积时，采用割补法，将心形区域分为横轴上方和下方两部分，分别估算两部分的最小面积，求和后与3比较即可。
【解析】
我们逐个分析三个结论：
①结合图形查找整点，可得曲线C经过的整点为(1,0)、(1,1)、(0,1)、(-1,1)、(-1,0)、(0,-1)，共6个，故①正确；
②坐标轴上的点不属于任何象限，第一、二象限内的点均不在坐标轴上，根据勾股定理，点$(x,y)$到原点的距离的平方为$x^2+y^2$，观察曲线可知，第一、二象限内的点对应的$x^2+y^2$都大于1，因此任意一点到原点的距离都大于1，故②正确；
③估算区域面积：横轴以上的区域包含了长为2、高为1的矩形（x从-1到1，y从0到1），面积为$2×1=2$，横轴下方还有一块突出的区域，面积明显大于1，因此心形区域的总面积大于$2+1=3$，故③错误。
综上，正确的结论为①②，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系概念，点到原点的距离，割补法估算面积
【点评】
本题结合趣味几何图形考查平面直角坐标系的相关应用，注重对数形结合思维的考查，需要学生结合图形直观分析，同时灵活运用基础的距离计算、面积估算方法判断结论。
【难度系数】
0.6
解题时需逐个判断三个结论的正确性：①判断整点数量时，先明确整点是横、纵坐标均为整数的点，结合图形找出所有符合要求的点，统计数量即可；②判断一二象限内点到原点的距离时，先明确坐标轴上的点不属于任何象限，再根据勾股定理计算点到原点的距离，结合图形位置判断距离与1的大小关系；③判断区域面积时，采用割补法，将心形区域分为横轴上方和下方两部分，分别估算两部分的最小面积，求和后与3比较即可。
【解析】
我们逐个分析三个结论：
①结合图形查找整点，可得曲线C经过的整点为(1,0)、(1,1)、(0,1)、(-1,1)、(-1,0)、(0,-1)，共6个，故①正确；
②坐标轴上的点不属于任何象限，第一、二象限内的点均不在坐标轴上，根据勾股定理，点$(x,y)$到原点的距离的平方为$x^2+y^2$，观察曲线可知，第一、二象限内的点对应的$x^2+y^2$都大于1，因此任意一点到原点的距离都大于1，故②正确；
③估算区域面积：横轴以上的区域包含了长为2、高为1的矩形（x从-1到1，y从0到1），面积为$2×1=2$，横轴下方还有一块突出的区域，面积明显大于1，因此心形区域的总面积大于$2+1=3$，故③错误。
综上，正确的结论为①②，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系概念，点到原点的距离，割补法估算面积
【点评】
本题结合趣味几何图形考查平面直角坐标系的相关应用，注重对数形结合思维的考查，需要学生结合图形直观分析，同时灵活运用基础的距离计算、面积估算方法判断结论。
【难度系数】
0.6
3[2026 山东济宁期末,中]如图是根据某学校的平面示意图建立的平面直角坐标系,学校的入口位于坐标原点 O,弘毅楼位于点 A(160,120),从弘毅楼出发沿射线 OA 方向前行 120 m是致远楼 B,以射线 OA 方向为基准,从致远楼B左转$90°$后直行 160 m 到博雅楼 C,则点 C 的坐标是
(160,320)
.答案
【解析】如图,连接AC.由题意可得AB=120 m,BC=160 m.在△ACB和△AOD中,
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ABC=∠ADO=90°, \\ BC=OD, \end{cases}$
所以△ACB≌△AOD(SAS),所以∠CAB=∠OAD.因为B,O,A在一条直线上,所以C,A,D也在一条直线上,所以$AC=AO=\sqrt{160^2+120^2}=200(m)$,所以CD=AC+AD=320 m,所以C点坐标为(160,320).故答案为(160,320).
解析
【分析】
拿到题目先梳理已知条件：弘毅楼在A(160,120)，沿OA方向走120m到B，左转90°走160m到C，要求C点坐标。首先可通过勾股定理先算出OA的长度，再构造直角三角形，寻找全等三角形的条件：过A作x轴的垂线AD，可得AD=120m、OD=160m，刚好和AB、BC长度相等，且两个三角形的夹角都是直角，可通过SAS证全等，再根据角的关系推出C、A、D共线，就能确定C的横坐标，再计算纵坐标即可。
【解析】
如图，过点A作AD⊥x轴于点D，连接AC。由题意得AB=120 m，BC=160 m，∠ABC=90°。
∵A(160,120)，
∴OD=160m，AD=120m，∠ADO=90°。
由勾股定理计算OA长度：$OA=\sqrt{OD^2+AD^2}=\sqrt{160^2+120^2}=200(m)$。
在△ACB和△AOD中：
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ABC=∠ADO=90°, \\ BC=OD, \end{cases}$
∴△ACB≌△AOD(SAS)，
∴∠CAB=∠OAD，AC=AO=200m。
∵O、A、B在同一条直线上，
∴∠CAB+∠OAC=∠OAD+∠OAC=180°，即C、A、D三点共线，
∴C点横坐标与D相同为160，纵坐标为AD+AC=120+200=320。
【答案】
(160,320)
【知识点】
勾股定理，全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查几何知识的综合应用，解题关键是构造全等三角形确定点C的位置，将线段长度转化为坐标值，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
拿到题目先梳理已知条件：弘毅楼在A(160,120)，沿OA方向走120m到B，左转90°走160m到C，要求C点坐标。首先可通过勾股定理先算出OA的长度，再构造直角三角形，寻找全等三角形的条件：过A作x轴的垂线AD，可得AD=120m、OD=160m，刚好和AB、BC长度相等，且两个三角形的夹角都是直角，可通过SAS证全等，再根据角的关系推出C、A、D共线，就能确定C的横坐标，再计算纵坐标即可。
【解析】
如图，过点A作AD⊥x轴于点D，连接AC。由题意得AB=120 m，BC=160 m，∠ABC=90°。
∵A(160,120)，
∴OD=160m，AD=120m，∠ADO=90°。
由勾股定理计算OA长度：$OA=\sqrt{OD^2+AD^2}=\sqrt{160^2+120^2}=200(m)$。
在△ACB和△AOD中：
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ABC=∠ADO=90°, \\ BC=OD, \end{cases}$
∴△ACB≌△AOD(SAS)，
∴∠CAB=∠OAD，AC=AO=200m。
∵O、A、B在同一条直线上，
∴∠CAB+∠OAC=∠OAD+∠OAC=180°，即C、A、D三点共线，
∴C点横坐标与D相同为160，纵坐标为AD+AC=120+200=320。
【答案】
(160,320)
【知识点】
勾股定理，全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查几何知识的综合应用，解题关键是构造全等三角形确定点C的位置，将线段长度转化为坐标值，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
4[2025安徽黄山期中,中]有甲、乙、丙三人,他们所在的位置不同,他们三人都以相同的单位长度建立不同的平面直角坐标系.甲说:“如果以我为坐标原点,那么乙的位置是(4,3).”丙说:“如果以我为坐标原点,那么乙的位置是(-3,-4).”根据以上内容,回答问题:如果以丙为坐标原点,那么甲的位置是
(-7,-7)
.答案
【解析】以甲为坐标原点,乙的位置是(4,3),则以乙为坐标原点,甲的位置是(-4,-3).又因为以丙为坐标原点,乙的位置是(-3,-4),所以以丙为坐标原点,甲的位置是(-7,-7).故答案为(-7,-7).
解析
【分析】
要确定以丙为坐标原点时甲的位置，核心是抓住不同坐标系下两点的相对位置固定不变的特点。首先根据甲为原点时乙的坐标，推出甲相对于乙的坐标；再结合丙为原点时乙的坐标，将乙相对于丙的坐标和甲相对于乙的坐标叠加，即可得到甲相对于丙的坐标。
【解析】
第一步：已知以甲为坐标原点时，乙的位置是(4,3)，说明乙在甲的右侧4个单位、上方3个单位，反过来甲就在乙的左侧4个单位、下方3个单位，因此以乙为坐标原点时，甲的坐标为(-4,-3)。
第二步：已知以丙为坐标原点时，乙的位置是(-3,-4)，即乙相对于丙的坐标是(-3,-4)。要得到甲相对于丙的坐标，只需将乙相对于丙的坐标与甲相对于乙的坐标对应相加：
横坐标：$-3 + (-4) = -7$
纵坐标：$-4 + (-3) = -7$
因此以丙为坐标原点时，甲的位置是$(-7,-7)$。
【答案】
$(-7,-7)$
【知识点】
点的坐标表示；相对位置与坐标变换
【点评】
本题考查平面直角坐标系中坐标与相对位置的关系，解题关键是明确两点的相对位置不会随坐标系原点的改变而变化，通过坐标的简单加减即可求解，计算时要注意符号问题。
【难度系数】
0.6
要确定以丙为坐标原点时甲的位置，核心是抓住不同坐标系下两点的相对位置固定不变的特点。首先根据甲为原点时乙的坐标，推出甲相对于乙的坐标；再结合丙为原点时乙的坐标，将乙相对于丙的坐标和甲相对于乙的坐标叠加，即可得到甲相对于丙的坐标。
【解析】
第一步：已知以甲为坐标原点时，乙的位置是(4,3)，说明乙在甲的右侧4个单位、上方3个单位，反过来甲就在乙的左侧4个单位、下方3个单位，因此以乙为坐标原点时，甲的坐标为(-4,-3)。
第二步：已知以丙为坐标原点时，乙的位置是(-3,-4)，即乙相对于丙的坐标是(-3,-4)。要得到甲相对于丙的坐标，只需将乙相对于丙的坐标与甲相对于乙的坐标对应相加：
横坐标：$-3 + (-4) = -7$
纵坐标：$-4 + (-3) = -7$
因此以丙为坐标原点时，甲的位置是$(-7,-7)$。
【答案】
$(-7,-7)$
【知识点】
点的坐标表示；相对位置与坐标变换
【点评】
本题考查平面直角坐标系中坐标与相对位置的关系，解题关键是明确两点的相对位置不会随坐标系原点的改变而变化，通过坐标的简单加减即可求解，计算时要注意符号问题。
【难度系数】
0.6
5[中]如图(1)所示,已知四边形ABCD,∠A=90°,AB=3 m,BC=12 m,CD=13 m,DA=4 m.
(1)试说明:BD⊥CB.
(2)求四边形ABCD的面积.
(3)如图(2),以1 m为单位长度,以A为坐标原点,分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系,点P在y轴上,若$S_{△ PBD}=\frac{1}{4}S_{四边形ABCD}$,求点P的坐标.
刷素养 走向重高
(1)试说明:BD⊥CB.
(2)求四边形ABCD的面积.
(3)如图(2),以1 m为单位长度,以A为坐标原点,分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系,点P在y轴上,若$S_{△ PBD}=\frac{1}{4}S_{四边形ABCD}$,求点P的坐标.
刷素养 走向重高
答案
【解】(1)因为AD = 4 m,AB = 3 m,∠BAD = 90°,所以$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=5$ m.因为BC = 12 m,CD = 13 m,所以$BD^2+BC^2=5^2+12^2=13^2=CD^2$,所以BD⊥CB.
(2)$S_{四边形ABCD}=S_{△ABD}+S_{△BCD}=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×12×5=6+30=36(\mathrm{m}^2)$.
(3)因为$S_{△PBD}=\frac{1}{4}S_{四边形ABCD}$,所以$\frac{1}{2}·PD·AB=\frac{1}{4}×36$,即$\frac{1}{2}·PD×3=9$,解得PD=6.因为D(0,4),点P在y轴上,所以P的坐标为(0,-2)或(0,10).
(2)$S_{四边形ABCD}=S_{△ABD}+S_{△BCD}=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×12×5=6+30=36(\mathrm{m}^2)$.
(3)因为$S_{△PBD}=\frac{1}{4}S_{四边形ABCD}$,所以$\frac{1}{2}·PD·AB=\frac{1}{4}×36$,即$\frac{1}{2}·PD×3=9$,解得PD=6.因为D(0,4),点P在y轴上,所以P的坐标为(0,-2)或(0,10).
解析
【分析】
(1) 要证明BD⊥CB，可借助勾股定理的逆定理：先在Rt△ABD中利用勾股定理算出BD的长度，再验证BD、BC、CD的长度是否满足勾股定理的逆用条件，若满足则△BCD为直角三角形，即可得证垂直。
(2) 四边形ABCD是不规则图形，可采用割补法将其拆分为两个直角三角形△ABD和△BCD，分别计算两个三角形的面积再求和，即可得到四边形的总面积。
(3) 先根据面积关系求出△PBD的面积，点P在y轴上，△PBD的边PD落在y轴上，PD边上的高就是点B到y轴的距离（即AB的长度），据此列方程求出PD的长度，再结合点D的坐标，分P在D的上方、下方两种情况讨论，即可得到P的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 证明：在Rt△ABD中，∠A=90°，AB=3 m，AD=4 m，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$ m。
已知BC=12 m，CD=13 m，
计算得$BD^2+BC^2=5^2+12^2=169=13^2=CD^2$，
根据勾股定理的逆定理，△BCD是直角三角形，且∠CBD=90°，
∴BD⊥CB。
(2) 解：四边形ABCD的面积为△ABD和△BCD的面积之和，
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×AB×AD=\frac{1}{2}×3×4=6$ m²，
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×BD×BC=\frac{1}{2}×5×12=30$ m²，
∴$S_{四边形ABCD}=6+30=36$ m²。
(3) 解：由题意得$S_{△ PBD}=\frac{1}{4}S_{四边形ABCD}=\frac{1}{4}×36=9$ m²，
∵点P在y轴上，△PBD的边PD在y轴上，PD边上的高为点B到y轴的距离，即AB=3 m，
∴$S_{△ PBD}=\frac{1}{2}×PD×AB=9$，代入AB=3得：
$\frac{1}{2}×PD×3=9$，解得PD=6。
由坐标系建立规则可知点D坐标为(0,4)，点P在y轴上：
当P在D点下方时，P的纵坐标为$4-6=-2$，即P(0,-2)；
当P在D点上方时，P的纵坐标为$4+6=10$，即P(0,10)。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $36\ \mathrm{m}^2$；
(3) $(0,-2)$或$(0,10)$
【知识点】
勾股定理及逆定理，割补法求面积，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题综合考查勾股相关定理与平面直角坐标系的应用，解题时要掌握不规则图形转化为规则图形计算面积的方法，第三问需注意分类讨论点P的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明BD⊥CB，可借助勾股定理的逆定理：先在Rt△ABD中利用勾股定理算出BD的长度，再验证BD、BC、CD的长度是否满足勾股定理的逆用条件，若满足则△BCD为直角三角形，即可得证垂直。
(2) 四边形ABCD是不规则图形，可采用割补法将其拆分为两个直角三角形△ABD和△BCD，分别计算两个三角形的面积再求和，即可得到四边形的总面积。
(3) 先根据面积关系求出△PBD的面积，点P在y轴上，△PBD的边PD落在y轴上，PD边上的高就是点B到y轴的距离（即AB的长度），据此列方程求出PD的长度，再结合点D的坐标，分P在D的上方、下方两种情况讨论，即可得到P的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 证明：在Rt△ABD中，∠A=90°，AB=3 m，AD=4 m，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$ m。
已知BC=12 m，CD=13 m，
计算得$BD^2+BC^2=5^2+12^2=169=13^2=CD^2$，
根据勾股定理的逆定理，△BCD是直角三角形，且∠CBD=90°，
∴BD⊥CB。
(2) 解：四边形ABCD的面积为△ABD和△BCD的面积之和，
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×AB×AD=\frac{1}{2}×3×4=6$ m²，
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×BD×BC=\frac{1}{2}×5×12=30$ m²，
∴$S_{四边形ABCD}=6+30=36$ m²。
(3) 解：由题意得$S_{△ PBD}=\frac{1}{4}S_{四边形ABCD}=\frac{1}{4}×36=9$ m²，
∵点P在y轴上，△PBD的边PD在y轴上，PD边上的高为点B到y轴的距离，即AB=3 m，
∴$S_{△ PBD}=\frac{1}{2}×PD×AB=9$，代入AB=3得：
$\frac{1}{2}×PD×3=9$，解得PD=6。
由坐标系建立规则可知点D坐标为(0,4)，点P在y轴上：
当P在D点下方时，P的纵坐标为$4-6=-2$，即P(0,-2)；
当P在D点上方时，P的纵坐标为$4+6=10$，即P(0,10)。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $36\ \mathrm{m}^2$；
(3) $(0,-2)$或$(0,10)$
【知识点】
勾股定理及逆定理，割补法求面积，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题综合考查勾股相关定理与平面直角坐标系的应用，解题时要掌握不规则图形转化为规则图形计算面积的方法，第三问需注意分类讨论点P的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.65
6 核心素养 推理能力 [2026 海南临高质量检，中]如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为(0,6)，且点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动。
(1)求点B的坐标。
(2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标。
(3)当点P移动到距离x轴4个单位长度时，求点P移动的时间。
(4)当过点C的直线CM把长方形OABC的周长分成4:6的两部分，且M为直线CM与长方形的边的交点时，直接写出点M的坐标。
(1)求点B的坐标。
(2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标。
(3)当点P移动到距离x轴4个单位长度时，求点P移动的时间。
(4)当过点C的直线CM把长方形OABC的周长分成4:6的两部分，且M为直线CM与长方形的边的交点时，直接写出点M的坐标。
答案
【解】(1)因为点A的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,6),所以OA=4,OC=6.由长方形的性质可得OA=CB=4,AB=OC=6,∠OAB=90°,所以AB⊥OA,所以B(4,6).
(2)当点P移动4秒时,点P移动了8个单位长度.因为OA=4,AB=6,所以移动4秒时,点P在AB上,且AP=8-4=4,所以点P的坐标为(4,4).
(3)当点P移动到距离x轴4个单位长度时,点P的纵坐标为4.设点P的移动时间为t秒.①当点P在AB上时,点P的移动距离为4+4=8,则$t=\frac{8}{2}=4$;②当点P在OC上时,点P的移动距离为4+6+4+6-4=16,则$t=\frac{16}{2}=8$.所以点P移动的时间为4秒或8秒.
(4)点M的坐标为(2,0)或(4,2).由题可知长方形OABC的周长为4+4+6+6=20.如图(1),当点M在OA上时,因为直线CM把长方形OABC的周长分成4:6两部分,所以OC+OM=$20×\frac{4}{4+6}=8$,所以OM=2,所以点M的坐标为(2,0);如图(2),当点M在AB上时,$BC+BM=20×\frac{4}{4+6}=8$,所以BM=4,所以AM=2,所以点M的坐标为(4,2).综上所述,点M的坐标为(2,0)或(4,2).
解析
【分析】
(1)求点B坐标时，利用长方形对边平行且相等的性质，已知A(4,0)、C(0,6)，可得OA长为4、OC长为6，点B横坐标与点A相同，纵坐标与点C相同，即可推出B的坐标。
(2)先根据速度和时间计算点P的移动总路程，对比OA、AB的长度判断点P的位置，进而求出对应坐标。
(3)点P距离x轴4个单位长度即纵坐标为4，分两种情况讨论：①点P在AB边上；②点P在OC边上，分别计算两种情况的总路程，除以速度即可得到移动时间。
(4)先计算长方形周长，按4:6的比例求出两部分周长的长度，再分M在OA上、M在AB上两种情况，分别计算对应线段长度，得出M的坐标。
【解析】
(1)
∵点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为(0,6)，
∴OA=4，OC=6。
由长方形的性质可得OA=CB=4，AB=OC=6，∠OAB=90°，即AB⊥OA，
∴点B的横坐标与A相同为4，纵坐标与C相同为6，即$B(4,6)$。
(2) 点P的速度为每秒2个单位长度，移动4秒时，总路程为$2×4=8$个单位长度。
∵OA=4，AB=6，$OA＜8＜OA+AB$，
∴此时点P在AB边上，$AP=总路程-OA=8-4=4$，
∴点P的坐标为$(4,4)$。
(3) 点P距离x轴4个单位长度时，其纵坐标为4，设移动时间为t秒，分两种情况：
① 当点P在AB边上时，移动的总路程为$OA+AP=4+4=8$，
∴$t=8÷2=4$；
② 当点P在OC边上时，移动的总路程为$OA+AB+BC+(OC-4)=4+6+4+2=16$，
∴$t=16÷2=8$。
综上，点P移动的时间为4秒或8秒。
(4) 长方形OABC的周长为$2×(4+6)=20$，
直线CM把周长分成4:6的两部分，则较短部分的长度为$20×\frac{4}{4+6}=8$，分两种情况：
① 如图(1)，当点M在OA边上时，$OC+OM=8$，
∵OC=6，
∴$OM=8-6=2$，
∴$M(2,0)$；
② 如图(2)，当点M在AB边上时，$BC+BM=8$，
∵BC=4，
∴$BM=8-4=4$，
∴$AM=AB-BM=6-4=2$，
∴$M(4,2)$。
综上，点M的坐标为$(2,0)$或$(4,2)$。
【答案】
(1) $B(4,6)$
(2) 点$P$的坐标为$(4,4)$
(3) 点$P$移动的时间为4秒或8秒
(4) 点$M$的坐标为$(2,0)$或$(4,2)$
【知识点】
平面直角坐标系，矩形的性质，动点分类讨论
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何图形结合的典型题型，以矩形为载体考察动点的坐标、运动时间计算，需要结合分类讨论思想分析不同位置的情况，有助于提升逻辑推理和分析问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1)求点B坐标时，利用长方形对边平行且相等的性质，已知A(4,0)、C(0,6)，可得OA长为4、OC长为6，点B横坐标与点A相同，纵坐标与点C相同，即可推出B的坐标。
(2)先根据速度和时间计算点P的移动总路程，对比OA、AB的长度判断点P的位置，进而求出对应坐标。
(3)点P距离x轴4个单位长度即纵坐标为4，分两种情况讨论：①点P在AB边上；②点P在OC边上，分别计算两种情况的总路程，除以速度即可得到移动时间。
(4)先计算长方形周长，按4:6的比例求出两部分周长的长度，再分M在OA上、M在AB上两种情况，分别计算对应线段长度，得出M的坐标。
【解析】
(1)
∵点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为(0,6)，
∴OA=4，OC=6。
由长方形的性质可得OA=CB=4，AB=OC=6，∠OAB=90°，即AB⊥OA，
∴点B的横坐标与A相同为4，纵坐标与C相同为6，即$B(4,6)$。
(2) 点P的速度为每秒2个单位长度，移动4秒时，总路程为$2×4=8$个单位长度。
∵OA=4，AB=6，$OA＜8＜OA+AB$，
∴此时点P在AB边上，$AP=总路程-OA=8-4=4$，
∴点P的坐标为$(4,4)$。
(3) 点P距离x轴4个单位长度时，其纵坐标为4，设移动时间为t秒，分两种情况：
① 当点P在AB边上时，移动的总路程为$OA+AP=4+4=8$，
∴$t=8÷2=4$；
② 当点P在OC边上时，移动的总路程为$OA+AB+BC+(OC-4)=4+6+4+2=16$，
∴$t=16÷2=8$。
综上，点P移动的时间为4秒或8秒。
(4) 长方形OABC的周长为$2×(4+6)=20$，
直线CM把周长分成4:6的两部分，则较短部分的长度为$20×\frac{4}{4+6}=8$，分两种情况：
① 如图(1)，当点M在OA边上时，$OC+OM=8$，
∵OC=6，
∴$OM=8-6=2$，
∴$M(2,0)$；
② 如图(2)，当点M在AB边上时，$BC+BM=8$，
∵BC=4，
∴$BM=8-4=4$，
∴$AM=AB-BM=6-4=2$，
∴$M(4,2)$。
综上，点M的坐标为$(2,0)$或$(4,2)$。
【答案】
(1) $B(4,6)$
(2) 点$P$的坐标为$(4,4)$
(3) 点$P$移动的时间为4秒或8秒
(4) 点$M$的坐标为$(2,0)$或$(4,2)$
【知识点】
平面直角坐标系，矩形的性质，动点分类讨论
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何图形结合的典型题型，以矩形为载体考察动点的坐标、运动时间计算，需要结合分类讨论思想分析不同位置的情况，有助于提升逻辑推理和分析问题的能力。
【难度系数】
0.65
