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一、填空题
1. 易错题 [内江中考]如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,E,F分别是边AD,CD上的动点,连接BE,EF,G为BE的中点,H为EF的中点,连接GH,则GH长的最大值是
1. 易错题 [内江中考]如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,E,F分别是边AD,CD上的动点,连接BE,EF,G为BE的中点,H为EF的中点,连接GH,则GH长的最大值是
5
.答案
1. 5
2. [甘孜中考]如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,则AC的长为
8
.答案
2. 8
3. 如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE.若∠ADB=30°,则∠E=
15
°.答案
3. 15
4. 如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P为边AB上任意一点,过点P作PE⊥AC,PF⊥BD,垂足分别为E,F,则PE+PF的值为
4.8
.答案
4. 4.8
5. 如图,把矩形纸片ABCD沿对角线折叠,点C的对应点为E,BE交AD于点F.若BC=9 cm,CD=3 cm,则涂色部分的面积为
7.5
cm².答案
5. 7.5
二、解答题
6. 如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,点A落在点P处,折痕为EF.
(1) 求证: $△ PDE ≌ △ CDF$;
(2) 若 $CD=4\ \mathrm{cm}, EF=5\ \mathrm{cm}$, 求 $BC$ 的长.
6. 如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,点A落在点P处,折痕为EF.
(1) 求证: $△ PDE ≌ △ CDF$;
(2) 若 $CD=4\ \mathrm{cm}, EF=5\ \mathrm{cm}$, 求 $BC$ 的长.
答案
6. (1)
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠A=∠ADC=∠B=∠C=90°,AB=CD. 由折叠,得AB=PD,∠A=∠P=90°,∠B=∠PDF=90°,
∴ PD=CD.
∵ ∠PDF = ∠ADC,
∴ 易得 ∠PDE = ∠CDF. 在△PDE 和 △CDF 中, ∠P = ∠C, PD = CD, ∠PDE = ∠CDF,
∴ △PDE≌△CDF
(2) 过点E作 EG⊥BC于点G.
∴ ∠EGF = 90°,易得 EG = CD = 4 cm. 在Rt△EGF 中,由勾股定理,得 FG = 3 cm. 设 CF = x cm,易得 DE = GC = (x+3) cm,PE = AE = BG = x cm,BC = (2x + 3) cm.
∵ 易得 AD//BC,
∴ ∠DEF = ∠BFE. 由折叠,得∠BFE = ∠DFE,
∴ ∠DEF = ∠DFE.
∴ DE = DF = (x+3)cm. 在Rt△CDF 中,由勾股定理,得 DF² = CD² + CF²,
∴ (x+3)² = x² + 4².
∴ x = 7/6.
∴ BC = 16/3 cm
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠A=∠ADC=∠B=∠C=90°,AB=CD. 由折叠,得AB=PD,∠A=∠P=90°,∠B=∠PDF=90°,
∴ PD=CD.
∵ ∠PDF = ∠ADC,
∴ 易得 ∠PDE = ∠CDF. 在△PDE 和 △CDF 中, ∠P = ∠C, PD = CD, ∠PDE = ∠CDF,
∴ △PDE≌△CDF
(2) 过点E作 EG⊥BC于点G.
∴ ∠EGF = 90°,易得 EG = CD = 4 cm. 在Rt△EGF 中,由勾股定理,得 FG = 3 cm. 设 CF = x cm,易得 DE = GC = (x+3) cm,PE = AE = BG = x cm,BC = (2x + 3) cm.
∵ 易得 AD//BC,
∴ ∠DEF = ∠BFE. 由折叠,得∠BFE = ∠DFE,
∴ ∠DEF = ∠DFE.
∴ DE = DF = (x+3)cm. 在Rt△CDF 中,由勾股定理,得 DF² = CD² + CF²,
∴ (x+3)² = x² + 4².
∴ x = 7/6.
∴ BC = 16/3 cm
