一、填空题
1. 如图，P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1=∠2，则∠BPC的度数为。

1. 135°

2. 如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,连接BE,CE,则∠BEC的度数为.

2. 30°

3. 如图,点E在正方形ABCD的边AB上,以BE为边向正方形ABCD的外部作正方形BEFG,连接DF,M,N分别是DC,DF的中点,连接MN.若AB=7,BE=5,则MN的长为.

3. 6.5

4. 一题多解 如图,在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED,过点D作DF⊥BC,垂足为F,则DF的长为.

4. √3+1 解析：解法一 延长 DA,BC 交于点 G.
∵ 四边形 ABED 为正方形,
∴ ∠BAD = 90°,AB = AD=2.
∴ ∠BAG = 90°.
∵ △ABC 为等边三角形,
∴ ∠ABC = 60°.
∴ ∠G = 30°.
∴ 在 Rt△BAG 中,
BG=2AB=4,AG=√(BG²-AB²)=2√3.
∴ DG = AD + AG = 2+2√3. 在 Rt△DFG 中,∠G = 30°,
∴ DF = 1/2 DG=1+√3.
解法二 过点 E 作 EG⊥DF 于点 G,作 EH⊥BC 于点 H.
∵ △ABC 是边长为 2 的等边三角形,
∴ AB=2,∠ABC=60°. 又
∵ 四边形 ABED 是正方形,
∴ BE=DE=AB=2,∠ABE = ∠BED = 90°.
∴ ∠EBH = 30°.
在 Rt△EBH 中,易得 EH=1,BH=√3. 易得四边形 EGFH 是矩形,
∴ FG = EH = 1,且 ∠BEH+∠BEG = 90°. 又
∵ ∠DEG+∠BEG=90°,
∴ ∠BEH=∠DEG.
在 △BEH 和 △DEG 中, ∠BHE = ∠DGE, ∠BEH = ∠DEG,BE = DE,
∴ △BEH≌△DEG.
∴ BH = DG = √3.
∴ DF=DG+FG=√3+1.

5. 如图，正方形ABCD的边长为8，E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE，BC于点H，G，则BG= .

5. 1

二、解答题
6. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，$BD=10$，$DE=BF$，连接AE，AF，CE，CF.
（1）求证：$△ ADE≌△ CBF$；
（2）若四边形AECF的周长为$4\sqrt{34}$，求EF的长.

6. (1)
∵ 四边形 ABCD 为正方形,
∴ AD=BC,BC//AD.
∴ ∠ADE=∠CBF. 在 △ADE 和 △CBF 中,AD = CB, ∠ADE = ∠CBF, DE = BF,
∴ △ADE ≌ △CBF
(2) 连接 AC 交 BD 于点 O,
∵ 四边形 ABCD 为正方形,BD = 10,
∴ BD 垂直平分 AC,OA=OC=OB=OD=1/2 BD=5.
∴ AF=CF,AE=CE. 由(1)可知,△ADE≌△CBF,
∴ AE=CF.
∴ AF=CF=AE=CE.
∴ 四边形 AECF 是菱形.
∴ EF=2OF.
∵ 四边形 AECF 的周长为 4AF=4√34,
∴ AF=√34. 在 Rt△AOF 中,由勾股定理,得 OF=√(AF²-OA²)=3,
∴ EF=2OF=6