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1 [2025安徽安庆调研]当用公式法解方程$2x^2 -1=3x$时，$b^2 -4ac$的值为（
A.2
B.-3
C.17
D.-1
C
）A.2
B.-3
C.17
D.-1
答案
1.C 【解析】: 原方程可变形为 2x²-3x-1=0,
∴ a=2,b=-3,c=-1,
∴ b²-4ac= (-3)²-4×2×(-1)= 17.故选 C.
∴ a=2,b=-3,c=-1,
∴ b²-4ac= (-3)²-4×2×(-1)= 17.故选 C.
解析
【分析】
要计算一元二次方程根的判别式$b^2-4ac$，首先需要把方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），再准确找出对应系数$a$、$b$、$c$的值，最后代入判别式公式计算即可，注意移项时要变号，确定系数时不要漏掉符号。
【解析】
首先将原方程移项，整理为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 - 3x - 1 = 0$
根据一般形式可得：二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-1$
将$a$、$b$、$c$代入判别式公式$b^2-4ac$计算：
$b^2-4ac=(-3)^2 - 4×2×(-1)=9 + 8=17$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 根的判别式计算
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查一元二次方程根的判别式的求值，易错点为移项时符号处理错误，以及确定$a$、$b$、$c$系数时忽略负号，计算时要注意负数平方和含负号的乘法运算的符号规则。
【难度系数】
0.8
要计算一元二次方程根的判别式$b^2-4ac$，首先需要把方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），再准确找出对应系数$a$、$b$、$c$的值，最后代入判别式公式计算即可，注意移项时要变号，确定系数时不要漏掉符号。
【解析】
首先将原方程移项，整理为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 - 3x - 1 = 0$
根据一般形式可得：二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-1$
将$a$、$b$、$c$代入判别式公式$b^2-4ac$计算：
$b^2-4ac=(-3)^2 - 4×2×(-1)=9 + 8=17$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 根的判别式计算
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查一元二次方程根的判别式的求值，易错点为移项时符号处理错误，以及确定$a$、$b$、$c$系数时忽略负号，计算时要注意负数平方和含负号的乘法运算的符号规则。
【难度系数】
0.8
2[2025江苏南通调研]关于$x$的一元二次方程$(m^2 - 3)x^2 - (m + 1)x + 1 = 0$的根的判别式的值是12，求$m$的值.
答案
2.【解】根据题意得 $b^2-4ac=[-(m+1)]^2-4(m^2-3)×1=12$ 且 $m^2-3≠0$,
∴ $3m^2-2m-1=0$ 且 $m^2-3≠0$,
∴ $m=-\frac{1}{3}$或 $m=1$.
∴ $3m^2-2m-1=0$ 且 $m^2-3≠0$,
∴ $m=-\frac{1}{3}$或 $m=1$.
解析
【分析】
解题时首先要明确本题的两个核心条件：一是该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是容易遗漏的隐含前提；二是根的判别式的值为12。首先对应一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定本题中a、b、c的表达式，再代入根的判别式公式$\Delta=b^2-4ac=12$，得到关于m的方程，求解后排除使二次项系数为0的m值，即可得到最终结果。
【解析】
∵ 方程$(m^2 - 3)x^2 - (m + 1)x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$m^2 - 3 ≠ 0$
根据根的判别式的值为12，可得：
$\Delta = b^2 - 4ac = [-(m+1)]^2 - 4×(m^2-3)×1 = 12$
展开并整理方程：
$m^2 + 2m + 1 - 4m^2 + 12 = 12$
$-3m^2 + 2m + 1 = 0$，即$3m^2 - 2m - 1 = 0$
因式分解得：$(3m + 1)(m - 1) = 0$
解得：$m = -\frac{1}{3}$ 或 $m = 1$
检验：当$m = -\frac{1}{3}$时，$m^2 - 3 = \frac{1}{9} - 3 = -\frac{26}{9} ≠ 0$；当$m = 1$时，$m^2 - 3 = 1 - 3 = -2 ≠ 0$，均符合一元二次方程的定义。
【答案】
$m=-\frac{1}{3}$或$m=1$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式
3. 解一元二次方程
【点评】
本题重点考查一元二次方程根的判别式的应用，易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，解题时需先明确前提条件，再列方程求解，最后要验证所得解是否满足前提要求。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确本题的两个核心条件：一是该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是容易遗漏的隐含前提；二是根的判别式的值为12。首先对应一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定本题中a、b、c的表达式，再代入根的判别式公式$\Delta=b^2-4ac=12$，得到关于m的方程，求解后排除使二次项系数为0的m值，即可得到最终结果。
【解析】
∵ 方程$(m^2 - 3)x^2 - (m + 1)x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$m^2 - 3 ≠ 0$
根据根的判别式的值为12，可得：
$\Delta = b^2 - 4ac = [-(m+1)]^2 - 4×(m^2-3)×1 = 12$
展开并整理方程：
$m^2 + 2m + 1 - 4m^2 + 12 = 12$
$-3m^2 + 2m + 1 = 0$，即$3m^2 - 2m - 1 = 0$
因式分解得：$(3m + 1)(m - 1) = 0$
解得：$m = -\frac{1}{3}$ 或 $m = 1$
检验：当$m = -\frac{1}{3}$时，$m^2 - 3 = \frac{1}{9} - 3 = -\frac{26}{9} ≠ 0$；当$m = 1$时，$m^2 - 3 = 1 - 3 = -2 ≠ 0$，均符合一元二次方程的定义。
【答案】
$m=-\frac{1}{3}$或$m=1$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式
3. 解一元二次方程
【点评】
本题重点考查一元二次方程根的判别式的应用，易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，解题时需先明确前提条件，再列方程求解，最后要验证所得解是否满足前提要求。
【难度系数】
0.7
3 [2026 浙江杭州调研]下列关于x的一元二次方程有实数根的是 (
A.$x^2 - x + 1 = 0$
B.$3x^2 - 2x + 1 = 0$
C.$\sqrt{2}x^2 = \sqrt{3}x - 1$
D.$4x^2 + 5 = 4\sqrt{5}x$
D
)A.$x^2 - x + 1 = 0$
B.$3x^2 - 2x + 1 = 0$
C.$\sqrt{2}x^2 = \sqrt{3}x - 1$
D.$4x^2 + 5 = 4\sqrt{5}x$
答案
3.D 【解析】A 选项,方程 $x^2 - x + 1 = 0,b^2-4ac = (-1)^2-4×1×1=-3＜0$,故没有实数根,不符合题意；B 选项,方程 $3x^2 - 2x + 1 = 0,b^2-4ac= (-2)^2-4×3×1=-8＜0$,故没有实数根,不符合题意；C 选项,方程$\sqrt{2}x^2 = \sqrt{3}x - 1$ 可化为$\sqrt{2}x^2-\sqrt{3}x+1=0$,则 $b^2-4ac= (-\sqrt{3})^2-4×\sqrt{2}×1=3-4\sqrt{2}＜0$,故没有实数根,不符合题意；D 选项,方程 $4x^2 + 5 = 4\sqrt{5}x$ 可化为 $4x^2-4\sqrt{5}x+5=0$,则 $b^2-4ac= (-4\sqrt{5})^2-4×4×5=0$,有两个相等的实数根,符合题意. 故选 D.
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有实数根，核心依据是根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时方程有实数根，$\Delta＜0$时无实数根。解题时首先将各选项方程整理为一元二次方程的一般形式，准确确定$a、b、c$的取值（尤其注意$b$的符号），再分别计算判别式，判断其与0的大小关系，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：方程为$x^2 - x + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=1$，代入判别式得：
$\Delta=(-1)^2-4×1×1=1-4=-3＜0$，方程没有实数根，不符合题意；
B选项：方程为$3x^2 - 2x + 1 = 0$，其中$a=3$，$b=-2$，$c=1$，代入判别式得：
$\Delta=(-2)^2-4×3×1=4-12=-8＜0$，方程没有实数根，不符合题意；
C选项：先将方程整理为一般形式：$\sqrt{2}x^2 - \sqrt{3}x + 1 = 0$，其中$a=\sqrt{2}$，$b=-\sqrt{3}$，$c=1$，代入判别式得：
$\Delta=(-\sqrt{3})^2-4×\sqrt{2}×1=3-4\sqrt{2}＜0$，方程没有实数根，不符合题意；
D选项：先将方程整理为一般形式：$4x^2 - 4\sqrt{5}x + 5 = 0$，其中$a=4$，$b=-4\sqrt{5}$，$c=5$，代入判别式得：
$\Delta=(-4\sqrt{5})^2-4×4×5=80-80=0$，方程有两个相等的实数根，符合题意。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程实根判断的基础题型，核心考查判别式的计算与应用，解题时要注意先将方程化为一般形式，避免因$a、b、c$取值错误导致判别式计算失误，是一元二次方程章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否有实数根，核心依据是根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时方程有实数根，$\Delta＜0$时无实数根。解题时首先将各选项方程整理为一元二次方程的一般形式，准确确定$a、b、c$的取值（尤其注意$b$的符号），再分别计算判别式，判断其与0的大小关系，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：方程为$x^2 - x + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=1$，代入判别式得：
$\Delta=(-1)^2-4×1×1=1-4=-3＜0$，方程没有实数根，不符合题意；
B选项：方程为$3x^2 - 2x + 1 = 0$，其中$a=3$，$b=-2$，$c=1$，代入判别式得：
$\Delta=(-2)^2-4×3×1=4-12=-8＜0$，方程没有实数根，不符合题意；
C选项：先将方程整理为一般形式：$\sqrt{2}x^2 - \sqrt{3}x + 1 = 0$，其中$a=\sqrt{2}$，$b=-\sqrt{3}$，$c=1$，代入判别式得：
$\Delta=(-\sqrt{3})^2-4×\sqrt{2}×1=3-4\sqrt{2}＜0$，方程没有实数根，不符合题意；
D选项：先将方程整理为一般形式：$4x^2 - 4\sqrt{5}x + 5 = 0$，其中$a=4$，$b=-4\sqrt{5}$，$c=5$，代入判别式得：
$\Delta=(-4\sqrt{5})^2-4×4×5=80-80=0$，方程有两个相等的实数根，符合题意。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程实根判断的基础题型，核心考查判别式的计算与应用，解题时要注意先将方程化为一般形式，避免因$a、b、c$取值错误导致判别式计算失误，是一元二次方程章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
4[2025江苏南京调研]已知函数$y=kx+b$的图象如图所示，则一元二次方程$bx^2 + x - k = 0$的根的情况是（
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
C
）A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
答案
4.C 【解析】由函数图象可知一次函数 $y=kx+b$ 的图象经过第二、三、四象限,
∴ $k＜0,b＜0$,
∴ $bk＞0$,
∴ 在一元二次方程 $bx^2 + x - k = 0$ 中,$1^2-4b · (-k)= 1+4bk＞1$,
∴ 一元二次方程 $bx^2 + x - k = 0$ 有两个不相等的实数根,故选 C.
∴ $k＜0,b＜0$,
∴ $bk＞0$,
∴ 在一元二次方程 $bx^2 + x - k = 0$ 中,$1^2-4b · (-k)= 1+4bk＞1$,
∴ 一元二次方程 $bx^2 + x - k = 0$ 有两个不相等的实数根,故选 C.
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，核心是计算根的判别式Δ的符号，因此需要先确定方程中系数k、b的正负。首先结合一次函数图象的性质，通过图象经过的象限推导k和b的符号，再将符号代入判别式计算Δ的正负，即可得出根的情况。
【解析】
1. 由一次函数$y=kx+b$的图象经过第二、三、四象限，可得：直线从左上向右下倾斜，斜率小于0，即$k＜0$；图象与y轴交于负半轴，截距小于0，即$b＜0$。
2. 对于一元二次方程$bx^2 + x - k = 0$，其根的判别式$\Delta = 1^2 - 4 · b · (-k) = 1 + 4bk$。
3. 因为$k＜0$，$b＜0$，根据有理数乘法法则，同号相乘得正，因此$bk＞0$，则$1+4bk ＞ 1 ＞ 0$。
4. 判别式$\Delta＞0$，说明该一元二次方程有两个不相等的实数根。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、有理数乘法符号法则
【点评】
本题是一次函数与一元二次方程的基础综合题，考查数形结合思想的应用，解题关键是先通过一次函数图象得到系数符号，再利用判别式判断根的情况。
【难度系数】
0.7
要判断一元二次方程根的情况，核心是计算根的判别式Δ的符号，因此需要先确定方程中系数k、b的正负。首先结合一次函数图象的性质，通过图象经过的象限推导k和b的符号，再将符号代入判别式计算Δ的正负，即可得出根的情况。
【解析】
1. 由一次函数$y=kx+b$的图象经过第二、三、四象限，可得：直线从左上向右下倾斜，斜率小于0，即$k＜0$；图象与y轴交于负半轴，截距小于0，即$b＜0$。
2. 对于一元二次方程$bx^2 + x - k = 0$，其根的判别式$\Delta = 1^2 - 4 · b · (-k) = 1 + 4bk$。
3. 因为$k＜0$，$b＜0$，根据有理数乘法法则，同号相乘得正，因此$bk＞0$，则$1+4bk ＞ 1 ＞ 0$。
4. 判别式$\Delta＞0$，说明该一元二次方程有两个不相等的实数根。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、有理数乘法符号法则
【点评】
本题是一次函数与一元二次方程的基础综合题，考查数形结合思想的应用，解题关键是先通过一次函数图象得到系数符号，再利用判别式判断根的情况。
【难度系数】
0.7
5 若关于x的方程$kx^2 -6x +9=0$有实数根，则k的取值范围是 （
A.$k＜1$
B.$k≤1$
C.$k＜1$且$k≠0$
D.$k≤1$且$k≠0$
B
）A.$k＜1$
B.$k≤1$
C.$k＜1$且$k≠0$
D.$k≤1$且$k≠0$
答案
5.B 【解析】
解析
【分析】
题干仅说明是关于x的方程，未限定为一元二次方程，因此需分类讨论：①当k=0时，方程为一元一次方程，直接求解判断是否有实根；②当k≠0时，方程为一元二次方程，有实根的条件是根的判别式Δ≥0，求解该情况下k的取值范围，最后合并两种情况的结果即可得到最终k的取值范围。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$k=0$时，原方程化为一元一次方程：$-6x + 9 = 0$，解得$x=\frac{3}{2}$，有实数根，符合题意；
2. 当$k≠0$时，原方程是一元二次方程，
∵方程有实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，
其中$a=k$，$b=-6$，$c=9$，代入得：
$\Delta = (-6)^2 - 4× k×9 = 36 - 36k ≥ 0$，
解得$k≤1$，结合$k≠0$的前提，此时$k$的取值范围为$k≤1$且$k≠0$。
综合上述两种情况，将$k=0$和$k≤1$且$k≠0$合并，可得$k$的取值范围是$k≤1$，因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 根的判别式应用
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略未明确方程类型的条件，直接默认方程为一元二次方程，错误添加$k≠0$的限制错选D。遇到含参数的方程有实根类问题时，若未明确方程次数，一定要分一次方程和二次方程两类情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
题干仅说明是关于x的方程，未限定为一元二次方程，因此需分类讨论：①当k=0时，方程为一元一次方程，直接求解判断是否有实根；②当k≠0时，方程为一元二次方程，有实根的条件是根的判别式Δ≥0，求解该情况下k的取值范围，最后合并两种情况的结果即可得到最终k的取值范围。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$k=0$时，原方程化为一元一次方程：$-6x + 9 = 0$，解得$x=\frac{3}{2}$，有实数根，符合题意；
2. 当$k≠0$时，原方程是一元二次方程，
∵方程有实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，
其中$a=k$，$b=-6$，$c=9$，代入得：
$\Delta = (-6)^2 - 4× k×9 = 36 - 36k ≥ 0$，
解得$k≤1$，结合$k≠0$的前提，此时$k$的取值范围为$k≤1$且$k≠0$。
综合上述两种情况，将$k=0$和$k≤1$且$k≠0$合并，可得$k$的取值范围是$k≤1$，因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 根的判别式应用
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略未明确方程类型的条件，直接默认方程为一元二次方程，错误添加$k≠0$的限制错选D。遇到含参数的方程有实根类问题时，若未明确方程次数，一定要分一次方程和二次方程两类情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
6 已知关于x的方程$x^2-(2k-2)x+k^2-1=0$有两个实数根，则$\sqrt{(k-1)^2} - (\sqrt{2-k})^2$的化简结果是 （
建议用时25分钟 答案D23
A.-1
B.1
C.-1-2k
D.2k-3
A
）建议用时25分钟 答案D23
A.-1
B.1
C.-1-2k
D.2k-3
答案
6.A 【解析】
∵ 关于 x 的方程 $x^2-(2k-2)x+k^2-1=0$ 有两个实数根,
∴ $b^2-4ac=[-(2k-2)]^2-4×1×(k^2-1)≥0$,整理得$-8k+8≥0$,
∴ $k≤1$,
∴ $k-1≤0,2-k＞0$,
∴ $\sqrt{(k-1)^2} - (\sqrt{2-k})^2=-(k-1)-(2-k)= -1$.故选 A.
∵ 关于 x 的方程 $x^2-(2k-2)x+k^2-1=0$ 有两个实数根,
∴ $b^2-4ac=[-(2k-2)]^2-4×1×(k^2-1)≥0$,整理得$-8k+8≥0$,
∴ $k≤1$,
∴ $k-1≤0,2-k＞0$,
∴ $\sqrt{(k-1)^2} - (\sqrt{2-k})^2=-(k-1)-(2-k)= -1$.故选 A.
解析
【分析】
要解决这道题，需分两步思考：第一步，根据一元二次方程有两个实数根的条件，利用根的判别式Δ≥0求出k的取值范围，这是后续化简二次根式的前提；第二步，根据二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$、$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，结合k的取值范围判断被开方数的正负，去掉绝对值和根号后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
∵ 关于x的方程$x^2-(2k-2)x+k^2-1=0$有两个实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，其中$a=1$，$b=-(2k-2)$，$c=k^2-1$，
代入得：$\Delta = [-(2k-2)]^2 - 4×1×(k^2-1) ≥ 0$，
展开整理：$4k^2 - 8k + 4 - 4k^2 + 4 ≥ 0$，即$-8k + 8 ≥ 0$，
解得：$k ≤ 1$。
由此可得：$k-1 ≤ 0$，$2-k = 2 - k ＞ 0$（因为k≤1，所以2-k≥1＞0），
根据二次根式的性质化简：
$\sqrt{(k-1)^2} - (\sqrt{2-k})^2 = |k-1| - (2-k)$，
因为$k-1≤0$，所以$|k-1|=-(k-1)$，
代入得：$-(k-1) - (2-k) = -k + 1 - 2 + k = -1$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程根的情况与二次根式化简结合考查，解题的核心是先通过根的判别式确定参数k的取值范围，再结合二次根式的性质正确化简，需注意去绝对值时的符号判断，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需分两步思考：第一步，根据一元二次方程有两个实数根的条件，利用根的判别式Δ≥0求出k的取值范围，这是后续化简二次根式的前提；第二步，根据二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$、$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，结合k的取值范围判断被开方数的正负，去掉绝对值和根号后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
∵ 关于x的方程$x^2-(2k-2)x+k^2-1=0$有两个实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，其中$a=1$，$b=-(2k-2)$，$c=k^2-1$，
代入得：$\Delta = [-(2k-2)]^2 - 4×1×(k^2-1) ≥ 0$，
展开整理：$4k^2 - 8k + 4 - 4k^2 + 4 ≥ 0$，即$-8k + 8 ≥ 0$，
解得：$k ≤ 1$。
由此可得：$k-1 ≤ 0$，$2-k = 2 - k ＞ 0$（因为k≤1，所以2-k≥1＞0），
根据二次根式的性质化简：
$\sqrt{(k-1)^2} - (\sqrt{2-k})^2 = |k-1| - (2-k)$，
因为$k-1≤0$，所以$|k-1|=-(k-1)$，
代入得：$-(k-1) - (2-k) = -k + 1 - 2 + k = -1$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程根的情况与二次根式化简结合考查，解题的核心是先通过根的判别式确定参数k的取值范围，再结合二次根式的性质正确化简，需注意去绝对值时的符号判断，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.6
7 新考向开放性试题 请填写一个常数,使得关于x的方程$x^2 - 2x +$
0(答案不唯一)
$= 0$有两个不相等的实数根.答案
7.0(答案不唯一) 【解析】$a=1,b=-2$.
∵ $b^2-4ac= (-2)^2-4×1×c＞0$,
∴ $c＜1$. 故答案为 0(答案不唯一).
∵ $b^2-4ac= (-2)^2-4×1×c＞0$,
∴ $c＜1$. 故答案为 0(答案不唯一).
解析
【分析】
要使一元二次方程有两个不相等的实数根，需结合一元二次方程根的判别式的性质求解：第一步，明确对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根；第二步，确定题中方程的$a=1$、$b=-2$，设待填常数为$c$，代入判别式列出关于$c$的不等式；第三步，解不等式得到$c$的取值范围，在范围内任选一个常数即可。
【解析】
设要填写的常数为$c$，则方程为$x^2-2x+c=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$。
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，
代入得：$(-2)^2 - 4×1×c ＞ 0$，
计算得：$4 - 4c ＞ 0$，
解得：$c ＜ 1$。
因此填写任意小于1的常数均满足要求。
【答案】
0(答案不唯一)
【知识点】
1. 根的判别式与根的关系
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题为开放性基础题，核心考查一元二次方程根的个数和判别式的对应关系，只需根据判别式列不等式求出未知常数的取值范围即可写出答案，灵活性较强。
【难度系数】
0.8
要使一元二次方程有两个不相等的实数根，需结合一元二次方程根的判别式的性质求解：第一步，明确对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根；第二步，确定题中方程的$a=1$、$b=-2$，设待填常数为$c$，代入判别式列出关于$c$的不等式；第三步，解不等式得到$c$的取值范围，在范围内任选一个常数即可。
【解析】
设要填写的常数为$c$，则方程为$x^2-2x+c=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$。
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，
代入得：$(-2)^2 - 4×1×c ＞ 0$，
计算得：$4 - 4c ＞ 0$，
解得：$c ＜ 1$。
因此填写任意小于1的常数均满足要求。
【答案】
0(答案不唯一)
【知识点】
1. 根的判别式与根的关系
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题为开放性基础题，核心考查一元二次方程根的个数和判别式的对应关系，只需根据判别式列不等式求出未知常数的取值范围即可写出答案，灵活性较强。
【难度系数】
0.8
8 在$△ ABC$中，$BC=2$，$AB=2\sqrt{3}$，$AC=b$，且关于$x$的方程$x^2 - 4x + b = 0$有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为
2
。答案
8.2 【解析】
∵ 关于 x 的方程 $x^2 - 4x + b = 0$ 有两个相等的实数根,
∴ $(-4)^2-4×1×b=16-4b=0$,
∴ $b=4$,
∴ $AC=4$.
∵ $BC=2$,$AB=2\sqrt{3}$ ,
∴ $BC^2+AB^2= 2^2+(2\sqrt{3} )^2 = 16$. 又
∵ $AC^2= 16$,
∴ $BC^2+AB^2= AC^2$,
∴ $△ABC$ 是直角三角形,且 AC 是斜边,
∴ AC 边上的中线长为$\frac{1}{2} AC= 2$. 故答案为 2.
∵ 关于 x 的方程 $x^2 - 4x + b = 0$ 有两个相等的实数根,
∴ $(-4)^2-4×1×b=16-4b=0$,
∴ $b=4$,
∴ $AC=4$.
∵ $BC=2$,$AB=2\sqrt{3}$ ,
∴ $BC^2+AB^2= 2^2+(2\sqrt{3} )^2 = 16$. 又
∵ $AC^2= 16$,
∴ $BC^2+AB^2= AC^2$,
∴ $△ABC$ 是直角三角形,且 AC 是斜边,
∴ AC 边上的中线长为$\frac{1}{2} AC= 2$. 故答案为 2.
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式与根的对应关系，当Δ=0时方程有两个相等实根，因此可列等式求出参数b的值，即AC的边长；第二步，得到△ABC的三条边长后，通过计算验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，用勾股定理的逆定理判断三角形的形状；第三步，若判定为直角三角形，可利用直角三角形斜边中线的性质，直接求出AC边上的中线长。
【解析】
∵ 关于x的方程$x^2 - 4x + b = 0$有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1× b = 16 - 4b = 0$，
解得$b=4$，即$AC=4$。
已知$BC=2$，$AB=2\sqrt{3}$，计算得：
$BC^2 + AB^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16$，
又$AC^2 = 4^2 = 16$，
∴ $BC^2 + AB^2 = AC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，且AC为斜边。
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得AC边上的中线长为$\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×4 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的判别式；勾股定理逆定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于代数与几何结合的基础综合题，将一元二次方程根的情况和三角形的边长、性质关联起来，解题时需要逐步推导，先求出未知边长，再判断三角形形状，最后利用特殊三角形的性质求解，侧重考查基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步思考：第一步，已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式与根的对应关系，当Δ=0时方程有两个相等实根，因此可列等式求出参数b的值，即AC的边长；第二步，得到△ABC的三条边长后，通过计算验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，用勾股定理的逆定理判断三角形的形状；第三步，若判定为直角三角形，可利用直角三角形斜边中线的性质，直接求出AC边上的中线长。
【解析】
∵ 关于x的方程$x^2 - 4x + b = 0$有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1× b = 16 - 4b = 0$，
解得$b=4$，即$AC=4$。
已知$BC=2$，$AB=2\sqrt{3}$，计算得：
$BC^2 + AB^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16$，
又$AC^2 = 4^2 = 16$，
∴ $BC^2 + AB^2 = AC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，且AC为斜边。
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得AC边上的中线长为$\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×4 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的判别式；勾股定理逆定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于代数与几何结合的基础综合题，将一元二次方程根的情况和三角形的边长、性质关联起来，解题时需要逐步推导，先求出未知边长，再判断三角形形状，最后利用特殊三角形的性质求解，侧重考查基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
9[2025江苏宿迁期中]已知关于x的一元二次方程$x^2 + mx - 2m - 4 = 0$.
(1)求证:无论$m$取何值,方程总有实数根;
(2)若方程有一个根为$-4$,求$m$的值.
刷易错 小心有坑~
(1)求证:无论$m$取何值,方程总有实数根;
(2)若方程有一个根为$-4$,求$m$的值.
刷易错 小心有坑~
答案
9. (1)【证明】$b^2-4ac=m^2-4×1×(-2m-4)= m^2+8m+16=(m+4)^2≥0$,
∴ 无论 $m$ 取何值,方程总有实数根.(2)【解】
∵ 方程有一个根为$-4$,
∴ $16-4m-2m-4= 0$,解得 $m=2$.
∴ 无论 $m$ 取何值,方程总有实数根.(2)【解】
∵ 方程有一个根为$-4$,
∴ $16-4m-2m-4= 0$,解得 $m=2$.
解析
【分析】
(1)要证明一元二次方程无论m取何值都有实数根，需利用一元二次方程根的判别式判断：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$则方程总有实数根。首先确定本题中$a=1、b=m、c=-2m-4$，代入判别式化简后判断其取值范围即可完成证明。
(2)已知方程的一个根，根据方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将$x=-4$代入原方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
(1)【证明】在一元二次方程$x^2 + mx - 2m - 4 = 0$中，$a=1，b=m，c=-2m-4$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac=m^2-4×1×(-2m-4)$
$= m^2+8m+16=(m+4)^2$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$(m+4)^2≥0$，
∴ 无论$m$取何值，$\Delta≥0$，即方程总有实数根。
(2)【解】
∵ 方程有一个根为$-4$，
∴ 将$x=-4$代入原方程得：$(-4)^2 + m×(-4) -2m -4= 0$，
整理得$16-4m-2m-4= 0$，即$12-6m=0$，
解得$m=2$。
【答案】
(1)无论$m$取何值，方程总有实数根，得证；
(2)$m=2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规题，第一问核心是正确计算判别式并通过配方判断符号，第二问关键是掌握方程的根满足方程的性质，代入即可转化为参数方程求解，掌握基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
(1)要证明一元二次方程无论m取何值都有实数根，需利用一元二次方程根的判别式判断：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$则方程总有实数根。首先确定本题中$a=1、b=m、c=-2m-4$，代入判别式化简后判断其取值范围即可完成证明。
(2)已知方程的一个根，根据方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将$x=-4$代入原方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
(1)【证明】在一元二次方程$x^2 + mx - 2m - 4 = 0$中，$a=1，b=m，c=-2m-4$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac=m^2-4×1×(-2m-4)$
$= m^2+8m+16=(m+4)^2$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$(m+4)^2≥0$，
∴ 无论$m$取何值，$\Delta≥0$，即方程总有实数根。
(2)【解】
∵ 方程有一个根为$-4$，
∴ 将$x=-4$代入原方程得：$(-4)^2 + m×(-4) -2m -4= 0$，
整理得$16-4m-2m-4= 0$，即$12-6m=0$，
解得$m=2$。
【答案】
(1)无论$m$取何值，方程总有实数根，得证；
(2)$m=2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规题，第一问核心是正确计算判别式并通过配方判断符号，第二问关键是掌握方程的根满足方程的性质，代入即可转化为参数方程求解，掌握基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
10[2025江苏无锡调研]已知关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^2 +2mx +m+3=0$,当方程满足以下条件时,分别求出$m$的取值范围.
(1)方程有两个相等的实数根；
(2)方程有两个不相等的实数根；
(3)方程无实数根.
(1)方程有两个相等的实数根；
(2)方程有两个不相等的实数根；
(3)方程无实数根.
答案
10.【解】(1)
∵ 关于 x 的一元二次方程 $(m-2)x^2+2mx+m+3=0$ 有两个相等的实数根,
∴ $\begin{cases}(2m)^2-4(m-2)(m+3)=0, \\ m-2≠0,\end{cases}$ 解得 $m=6$.(2)
∵ 关于 x 的一元二次方程 $(m-2)x^2+2mx+m+3=0$ 有两个不相等的实数根,
∴ $\begin{cases}(2m)^2-4(m-2)(m+3)＞0, \\ m-2≠0,\end{cases}$ 解得 $m＜6$ 且 $m≠2$.(3)
∵ 关于 x 的一元二次方程 $(m-2)x^2+2mx+m+3=0$ 没有实数根,
∴ $\begin{cases}(2m)^2-4(m-2)(m+3)＜0, \\ m-2≠0,\end{cases}$ 解得 $m＞6$.
∵ 关于 x 的一元二次方程 $(m-2)x^2+2mx+m+3=0$ 有两个相等的实数根,
∴ $\begin{cases}(2m)^2-4(m-2)(m+3)=0, \\ m-2≠0,\end{cases}$ 解得 $m=6$.(2)
∵ 关于 x 的一元二次方程 $(m-2)x^2+2mx+m+3=0$ 有两个不相等的实数根,
∴ $\begin{cases}(2m)^2-4(m-2)(m+3)＞0, \\ m-2≠0,\end{cases}$ 解得 $m＜6$ 且 $m≠2$.(3)
∵ 关于 x 的一元二次方程 $(m-2)x^2+2mx+m+3=0$ 没有实数根,
∴ $\begin{cases}(2m)^2-4(m-2)(m+3)＜0, \\ m-2≠0,\end{cases}$ 解得 $m＞6$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题需明确两个核心前提：一是一元二次方程的二次项系数不能为0，即本题中$m-2≠0$；二是根的判别式$\Delta=b^2-4ac$与根的对应关系：$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。解题步骤为：先确定$m≠2$的限制条件，再计算判别式$\Delta$，根据每个小问的根的情况列方程或不等式，求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
已知方程为一元二次方程，因此首先满足二次项系数不为0，即$m-2≠0$，$m≠2$。
计算根的判别式：$\Delta=(2m)^2-4(m-2)(m+3)=4m^2-4(m^2+m-6)=-4m+24$。
(1) 当方程有两个相等的实数根时，需满足$\Delta=0$且$m≠2$：
$\begin{cases}-4m+24=0 \\ m≠2\end{cases}$
解得$m=6$。
(2) 当方程有两个不相等的实数根时，需满足$\Delta＞0$且$m≠2$：
$\begin{cases}-4m+24＞0 \\ m≠2\end{cases}$
解不等式$-4m+24＞0$得$m＜6$，结合$m≠2$，最终得$m＜6$且$m≠2$。
(3) 当方程无实数根时，需满足$\Delta＜0$且$m≠2$：
$\begin{cases}-4m+24＜0 \\ m≠2\end{cases}$
解不等式$-4m+24＜0$得$m＞6$，满足$m≠2$的前提，最终得$m＞6$。
【答案】
(1) $m=6$；(2) $m＜6$且$m≠2$；(3) $m＞6$
【知识点】
1. 一元二次方程定义 2. 根的判别式应用 3. 不等式求解
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，易错点为遗漏一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，熟练掌握判别式与方程根的三类对应关系即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题需明确两个核心前提：一是一元二次方程的二次项系数不能为0，即本题中$m-2≠0$；二是根的判别式$\Delta=b^2-4ac$与根的对应关系：$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。解题步骤为：先确定$m≠2$的限制条件，再计算判别式$\Delta$，根据每个小问的根的情况列方程或不等式，求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
已知方程为一元二次方程，因此首先满足二次项系数不为0，即$m-2≠0$，$m≠2$。
计算根的判别式：$\Delta=(2m)^2-4(m-2)(m+3)=4m^2-4(m^2+m-6)=-4m+24$。
(1) 当方程有两个相等的实数根时，需满足$\Delta=0$且$m≠2$：
$\begin{cases}-4m+24=0 \\ m≠2\end{cases}$
解得$m=6$。
(2) 当方程有两个不相等的实数根时，需满足$\Delta＞0$且$m≠2$：
$\begin{cases}-4m+24＞0 \\ m≠2\end{cases}$
解不等式$-4m+24＞0$得$m＜6$，结合$m≠2$，最终得$m＜6$且$m≠2$。
(3) 当方程无实数根时，需满足$\Delta＜0$且$m≠2$：
$\begin{cases}-4m+24＜0 \\ m≠2\end{cases}$
解不等式$-4m+24＜0$得$m＞6$，满足$m≠2$的前提，最终得$m＞6$。
【答案】
(1) $m=6$；(2) $m＜6$且$m≠2$；(3) $m＞6$
【知识点】
1. 一元二次方程定义 2. 根的判别式应用 3. 不等式求解
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，易错点为遗漏一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，熟练掌握判别式与方程根的三类对应关系即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
