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1. (2025·巴中中考)从地面竖直向上抛出一小球,小球高度$h$(m)与小球运动时间$t$(s)之间的关系式是$h=30t-5t^2(0≤t≤6)$.有下列结论:
①小球运动时间是1 s时,高度为25 m;
②小球运动中高度可以是50 m;
③当$3≤t≤6$时,高度$h$随着时间$t$的增大而减小.
其中正确结论的个数是 (
A.0
B.1
C.2
D.3
①小球运动时间是1 s时,高度为25 m;
②小球运动中高度可以是50 m;
③当$3≤t≤6$时,高度$h$随着时间$t$的增大而减小.
其中正确结论的个数是 (
C
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
解析:①当 t = 1 时,h = 30 - 5 = 25(m),故①正确;②h = 30t - 5t² = -5(t² - 6t) = -5(t - 3)² + 45,
∵ -5 ＜ 0,
∴ 当 t = 3 时,h 有最大值,最大值为 45 m,故②错误;③由②可知,二次函数的图象开口向下,对称轴为直线 t = 3,
∴ 当 3 ≤ t ≤ 6 时,高度 h 随着时间 t 的增大而减小,故③正确,
∴ 正确结论有 2 个,故选 C.
∵ -5 ＜ 0,
∴ 当 t = 3 时,h 有最大值,最大值为 45 m,故②错误;③由②可知,二次函数的图象开口向下,对称轴为直线 t = 3,
∴ 当 3 ≤ t ≤ 6 时,高度 h 随着时间 t 的增大而减小,故③正确,
∴ 正确结论有 2 个,故选 C.
2. (2026·安庆月考)如图,一抛物线形拱桥,当拱顶到水面的距离为2 m时,水面宽度为4 m,那么水位上涨1 m时,水面的宽度为 (
A.$2\sqrt{2}$ m
B.$\sqrt{2}$ m
C.$(\sqrt{6}-2)$ m
D.$(2\sqrt{6}-2)$ m
A
)A.$2\sqrt{2}$ m
B.$\sqrt{2}$ m
C.$(\sqrt{6}-2)$ m
D.$(2\sqrt{6}-2)$ m
答案
解析:以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系,如图:
设抛物线解析式为 y = ax²,观察图形可知抛物线经过点B(2,-2),
∴ -2 = a·2²,
∴ a = -1/2,
∴ 抛物线解析式为 y = -1/2 x²,
∴ 当水位上涨 1 m 时,即当 y = -2 + 1 = -1 时,-1/2 x² = -1,
∴ x₁ = √2,x₂ = -√2,
∴ 水面的宽度为 2√2 m.故选 A.
3. (2025·平顶山期末)如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅在调试时发现:喷头高$\frac{4}{3}$ m时,水柱落点距O点2 m;喷头高4 m时,水柱落点距O点3 m.那么喷头高
20
m时,水柱落点距O点6 m.答案
解析:由题意可知,在调整喷头高度的过程中,水柱的形状不发生变化,对称轴也不变,
∴ 二次项系数和一次项系数都不变,当喷头高4/3 m时,可设 y = ax² + bx + 4/3,将(2,0)代入关系式,得 4a + 2b + 4/3 = 0;当喷头高度为 4 m 时,可设 y = ax² + bx + 4,将(3,0)代入关系式得 9a + 3b + 4 = 0.联立,得
$\begin{cases}4a+2b+\dfrac{4}{3}=0,\\9a+3b+4=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{2}{3},\\b=\dfrac{2}{3}.\end{cases}$
设喷头高为 h 时,水柱落点距 O 点 6 m,此时的关系式为 y = -2/3 x² + 2/3 x + h,将(6,0)代入关系式,得 -2/3 × 6² + 2/3 × 6 + h = 0,解得 h = 20.即当喷头高 20 m 时,水柱落点距 O 点 6 m.
∴ 二次项系数和一次项系数都不变,当喷头高4/3 m时,可设 y = ax² + bx + 4/3,将(2,0)代入关系式,得 4a + 2b + 4/3 = 0;当喷头高度为 4 m 时,可设 y = ax² + bx + 4,将(3,0)代入关系式得 9a + 3b + 4 = 0.联立,得
$\begin{cases}4a+2b+\dfrac{4}{3}=0,\\9a+3b+4=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{2}{3},\\b=\dfrac{2}{3}.\end{cases}$
设喷头高为 h 时,水柱落点距 O 点 6 m,此时的关系式为 y = -2/3 x² + 2/3 x + h,将(6,0)代入关系式,得 -2/3 × 6² + 2/3 × 6 + h = 0,解得 h = 20.即当喷头高 20 m 时,水柱落点距 O 点 6 m.
4. 如图①为某悬索桥桥梁结构图，如图②，某一同类型悬索桥，两桥塔$AD=BC=10\ \mathrm{m}$，间距$AB$为$32\ \mathrm{m}$，桥面$AB$水平，主索最低点为点$P$，点$P$距离桥面为$2\ \mathrm{m}$，为了进行研究，甲、乙、丙三位同学分别以不同方式建立了平面直角坐标系。
甲同学：以$DC$中点为原点，$DC$所在直线为$x$轴，建立平面直角坐标系；
乙同学：以$AB$中点为原点，$AB$所在直线为$x$轴，建立平面直角坐标系；
丙同学：以点$P$为原点，平行于$AB$的直线为$x$轴，建立平面直角坐标系。
(1)请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系，写出此种情况下点$C$的坐标，并求出主索抛物线的解析式。
(2)距离点$P$水平距离为$4\ \mathrm{m}$和$8\ \mathrm{m}$处的吊索共四根需要更换，则四根吊索总长度为多少米？
甲同学：以$DC$中点为原点，$DC$所在直线为$x$轴，建立平面直角坐标系；
乙同学：以$AB$中点为原点，$AB$所在直线为$x$轴，建立平面直角坐标系；
丙同学：以点$P$为原点，平行于$AB$的直线为$x$轴，建立平面直角坐标系。
(1)请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系，写出此种情况下点$C$的坐标，并求出主索抛物线的解析式。
(2)距离点$P$水平距离为$4\ \mathrm{m}$和$8\ \mathrm{m}$处的吊索共四根需要更换，则四根吊索总长度为多少米？
答案
当选择甲同学建立的平面直角坐标系时,如图①所示.
(1)设抛物线的解析式为 y = ax² + c(a ≠ 0),由题意可知,C 点坐标为(16,0),P 点坐标为(0,-8),将 C,P 两点坐标代入得$\begin{cases}16^2×a+c=0,\\c=-8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{32},\\c=-8,\end{cases}$
∴ 主索抛物线的解析式为 y = 1/32 x² - 8.
(2)当 x = 4 时,y = 1/32 × 4² - 8 = -15/2,此时吊索的长度为 10 - (-15/2) = 5/2(m),由抛物线的对称性可得,当 x = -4 时,吊索的长度也为 5/2 m,同理,当 x = 8 时,y = 1/32 × 8² - 8 = -6,此时吊索的长度为 10 - 6 = 4(m),当 x = -8 时,吊索的长度也为 4 m.
∵ 5/2 + 5/2 + 4 + 4 = 13(m),
∴ 四根吊索的总长度为 13 m.
当选择乙同学建立的平面直角坐标系时,如图②所示.
(1)主索抛物线的解析式为 y = 1/32 x² + 2.
(2)四根吊索的总长度为 13 m.
当选择丙同学建立的平面直角坐标系时,如图③所示.
(1)主索抛物线的解析式为 y = 1/32 x².
(2)四根吊索的总长度为 13 m.
归纳总结 同一个问题中,建立平面直角坐标系的方法有多种,合理建立平面直角坐标系能简化求解过程,通常以方便求解为原则.
