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11. (2026·青岛期中)在建设全国文明典范城市的过程中,为推进节能减排,发展低碳经济,我市某公司投资20万元购得某项节能产品的生产技术后,再投资85万元购买生产设备,进行该产品的生产加工.已知生产这种产品的成本价为每件20元.经过市场调查发现,该产品的销售单价定为x元,在$25≤x≤30$时才合理,并且该产品的年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为$y=40-x$.(年获利=年销售收入-生产成本-投资成本)
(1)当销售单价定为28元时,该产品年销售量为多少万件?
(2)求该公司第一年的年获利w(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并说明投资的第一年,该公司是盈利还是亏损了?若盈利,最大利润是多少?若亏损,最小亏损是多少?
(3)第二年,该公司决定给希望工程捐款Z万元,该项捐款由两部分组成:一部分是10万元的固定捐款;另一部分则是每销售一件产品,就抽出一元作为捐款.若除去第一年的最大获利(或是最小亏损)以及第二年的捐款后,到第二年年底,两年的总盈利不低于73万元,请你确定此时销售单价的范围.
(1)当销售单价定为28元时,该产品年销售量为多少万件?
(2)求该公司第一年的年获利w(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并说明投资的第一年,该公司是盈利还是亏损了?若盈利,最大利润是多少?若亏损,最小亏损是多少?
(3)第二年,该公司决定给希望工程捐款Z万元,该项捐款由两部分组成:一部分是10万元的固定捐款;另一部分则是每销售一件产品,就抽出一元作为捐款.若除去第一年的最大获利(或是最小亏损)以及第二年的捐款后,到第二年年底,两年的总盈利不低于73万元,请你确定此时销售单价的范围.
答案
(1)
∵ $y=40-x$,
∴ 当 $x=28$ 时,$y=40-28=12$.即当销售单价定为28元时,该产品年销售量为12万件.
(2)年销售收入为 $xy=x(40-x)$ 万元,生产成本为 $20y=20(40-x)$ 万元,投资成本为 $20+85=105$(万元),年获利 $w=x(40-x)-20(40-x)-105$,化简得 $w=(x-20)(40-x)-105=-x^2+60x-800-105=-x^2+60x-905$,配方得 $w=-(x-30)^2-5$.
∵ $a=-1＜0$,
∴ 当 $x=30$ 时,w取得最大值-5,
∴ 在 $25≤ x≤30$ 的范围内,公司第一年处于亏损状态,最小亏损是5万元.
(3)设第二年获利为W万元.第二年每件产品成本变为$20+1=21$(元)(增加1元捐款),固定捐款为10万元,投资成本在第一年已计算,故第二年不再重复扣除,
∴ 第二年获利 $W=(x-21)y-10=(x-21)(40-x)-10=-x^2+61x-840-10=-x^2+61x-850$.由题意,第一年最小亏损为5万元(即亏损5万元),要达到“两年总盈利不低于73万元”,即 $(-5)+W≥73$,
∴ $W≥78$,即 $-x^2+61x-850≥78$,整理得 $-x^2+61x-928≥0$,不等式两边同乘-1,改变不等号方向:$x^2-61x+928≤0$,$(x-29)(x-32)≤0$,
∴ 不等式的解为 $29≤ x≤32$.又因为销售单价的合理范围为 $25≤ x≤30$,
∴ 满足条件的x范围为 $29≤ x≤30$,
∴ 此时销售单价的范围为 $29≤ x≤30$.
∵ $y=40-x$,
∴ 当 $x=28$ 时,$y=40-28=12$.即当销售单价定为28元时,该产品年销售量为12万件.
(2)年销售收入为 $xy=x(40-x)$ 万元,生产成本为 $20y=20(40-x)$ 万元,投资成本为 $20+85=105$(万元),年获利 $w=x(40-x)-20(40-x)-105$,化简得 $w=(x-20)(40-x)-105=-x^2+60x-800-105=-x^2+60x-905$,配方得 $w=-(x-30)^2-5$.
∵ $a=-1＜0$,
∴ 当 $x=30$ 时,w取得最大值-5,
∴ 在 $25≤ x≤30$ 的范围内,公司第一年处于亏损状态,最小亏损是5万元.
(3)设第二年获利为W万元.第二年每件产品成本变为$20+1=21$(元)(增加1元捐款),固定捐款为10万元,投资成本在第一年已计算,故第二年不再重复扣除,
∴ 第二年获利 $W=(x-21)y-10=(x-21)(40-x)-10=-x^2+61x-840-10=-x^2+61x-850$.由题意,第一年最小亏损为5万元(即亏损5万元),要达到“两年总盈利不低于73万元”,即 $(-5)+W≥73$,
∴ $W≥78$,即 $-x^2+61x-850≥78$,整理得 $-x^2+61x-928≥0$,不等式两边同乘-1,改变不等号方向:$x^2-61x+928≤0$,$(x-29)(x-32)≤0$,
∴ 不等式的解为 $29≤ x≤32$.又因为销售单价的合理范围为 $25≤ x≤30$,
∴ 满足条件的x范围为 $29≤ x≤30$,
∴ 此时销售单价的范围为 $29≤ x≤30$.
12. (2026·武汉月考)某课外兴趣小组开展了以“销售中的数学”为主题的综合实践活动.
【收集信息】
信息一:某店销售一款冬季手套,每双进价为20元,销售期为30天.
信息二:每双手套的当天售价$y$(单位:元)与第$x$天($1≤x≤30$,且$x$为整数)的关系为
$y=\begin{cases} x+29 & (1≤x≤10,且x为整数), \\ 40 & (11≤x≤30,且x为整数). \end{cases}$
信息三:当天销量$m$(单位:双)与第$x$天之间满足一次函数关系,部分数据如下表:
【建立模型】(1)求$m$与$x$的函数关系式.
(2)设当天的利润为$w$(单位:元),直接写出:
①当$1≤x≤10$时,$w$与$x$的函数关系式;
②当$11≤x≤30$时,$w$与$x$的函数关系式.
【应用模型】(3)销售这款手套第几天时,当天的利润最大?最大利润是多少元?
(4)在这30天销售中,直接写出当天利润不低于728元的天数.
【收集信息】
信息一:某店销售一款冬季手套,每双进价为20元,销售期为30天.
信息二:每双手套的当天售价$y$(单位:元)与第$x$天($1≤x≤30$,且$x$为整数)的关系为
$y=\begin{cases} x+29 & (1≤x≤10,且x为整数), \\ 40 & (11≤x≤30,且x为整数). \end{cases}$
信息三:当天销量$m$(单位:双)与第$x$天之间满足一次函数关系,部分数据如下表:
【建立模型】(1)求$m$与$x$的函数关系式.
(2)设当天的利润为$w$(单位:元),直接写出:
①当$1≤x≤10$时,$w$与$x$的函数关系式;
②当$11≤x≤30$时,$w$与$x$的函数关系式.
【应用模型】(3)销售这款手套第几天时,当天的利润最大?最大利润是多少元?
(4)在这30天销售中,直接写出当天利润不低于728元的天数.
答案
(1)
∵ 当天销量m(单位:双)与第x天之间满足一次函数关系,
∴ 设m与x的函数关系式为$m=kx+b(k≠0)$,将$x=1$,$m=60$和$x=2$,$m=58$代入得$\begin{cases}k+b=60,\\2k+b=58,\end{cases}$两式相减得$k=-2$,将$k=-2$代入①中得$b=62$,
∴ m与x的函数关系式为$m=-2x+62$($1≤ x≤30$,且x为整数).
(2)①$w=-2x^2+44x+558$ 解析:当$1≤ x≤10$时,每双利润为$y-20=(x+29)-20=x+9$,销量为$m=-2x+62$,故$w=(x+9)(-2x+62)=-2x^2+44x+558$.
②$w=-40x+1240$ 解析:当$11≤ x≤30$时,每双利润为$40-20=20$(元),销量为$m=-2x+62$,故$w=20·(-2x+62)=-40x+1240$.
(3)①当$1≤ x≤10$时,$w=-2x^2+44x+558=-2(x-11)^2+800$,对称轴为直线$x=11$,图象开口向下,在$1≤ x≤10$范围内w随x增大而增大,故$x=10$时,$w_{max}=-2(10-11)^2+800=-2+800=798$;
②当$11≤ x≤30$时,$w=-40x+1240$,在$11≤ x≤30$范围内w随x增大而减小,故$x=11$时,$w_{max}=-40×11+1240=800$.
∵ $798＜800$,
∴ 第11天利润最大,最大利润为800元.
(4)8天 解析:①当$1≤ x≤10$时,据题意,可得$-2x^2+44x+558≥728$,化简得$x^2-22x+85≤0$,即$(x-5)(x-17)≤0$,解得$5≤ x≤17$,
∴ $5≤ x≤10$,共6天($x=5,6,7,8,9,10$);
②当$11≤ x≤30$时,据题意,可得$-40x+1240≥728$,$-40x≥-512$,$x≤12.8$,
∴ $11≤ x≤12$,共2天($x=11,12$),
∴ 总天数为$6+2=8$(天).
∵ 当天销量m(单位:双)与第x天之间满足一次函数关系,
∴ 设m与x的函数关系式为$m=kx+b(k≠0)$,将$x=1$,$m=60$和$x=2$,$m=58$代入得$\begin{cases}k+b=60,\\2k+b=58,\end{cases}$两式相减得$k=-2$,将$k=-2$代入①中得$b=62$,
∴ m与x的函数关系式为$m=-2x+62$($1≤ x≤30$,且x为整数).
(2)①$w=-2x^2+44x+558$ 解析:当$1≤ x≤10$时,每双利润为$y-20=(x+29)-20=x+9$,销量为$m=-2x+62$,故$w=(x+9)(-2x+62)=-2x^2+44x+558$.
②$w=-40x+1240$ 解析:当$11≤ x≤30$时,每双利润为$40-20=20$(元),销量为$m=-2x+62$,故$w=20·(-2x+62)=-40x+1240$.
(3)①当$1≤ x≤10$时,$w=-2x^2+44x+558=-2(x-11)^2+800$,对称轴为直线$x=11$,图象开口向下,在$1≤ x≤10$范围内w随x增大而增大,故$x=10$时,$w_{max}=-2(10-11)^2+800=-2+800=798$;
②当$11≤ x≤30$时,$w=-40x+1240$,在$11≤ x≤30$范围内w随x增大而减小,故$x=11$时,$w_{max}=-40×11+1240=800$.
∵ $798＜800$,
∴ 第11天利润最大,最大利润为800元.
(4)8天 解析:①当$1≤ x≤10$时,据题意,可得$-2x^2+44x+558≥728$,化简得$x^2-22x+85≤0$,即$(x-5)(x-17)≤0$,解得$5≤ x≤17$,
∴ $5≤ x≤10$,共6天($x=5,6,7,8,9,10$);
②当$11≤ x≤30$时,据题意,可得$-40x+1240≥728$,$-40x≥-512$,$x≤12.8$,
∴ $11≤ x≤12$,共2天($x=11,12$),
∴ 总天数为$6+2=8$(天).
