5. (2026·连云港期中)沙包投箱游戏:将无盖圆柱体箱子放在水平地面上,沙包从点P处抛出,其竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系$y=a(x-3)^2 +k$($a＜0$).建立如图所示的平面直角坐标系(正方形ABCD为箱子正面示意图,其边长为2 m,x轴经过箱子底面中心),点P的坐标为(0,4),点B的坐标为(8,0),若要使得沙包能落入箱内,则a的取值范围是 ()


A.$-\frac{1}{8}＜a＜-\frac{1}{20}$
B.$-\frac{1}{8}＜a＜-\frac{1}{16}$
C.$-\frac{1}{8}＜a＜-\frac{1}{12}$
D.$-\frac{3}{8}＜a＜-\frac{1}{8}$

解析:由题意得,A(8,2),D(10,2),将点 P(0,4),A(8,2)代入 y = a(x - 3)² + k(a ＜ 0),则$\begin{cases}9a+k=4,\\25a+k=2,\end{cases}$解得 a = -1/8;将点 P(0,4),D(10,2)代入 y = a(x - 3)² + k(a ＜ 0),则$\begin{cases}9a+k=4,\\49a+k=2,\end{cases}$解得 a = -1/20,
∴ 要使得沙包能落入箱内,则 a 的取值范围是 -1/8 ＜ a ＜ -1/20.故选 A.

6. (2026·苏州月考)如图①,某隧道内设单向两车道公路,其截面由长方形的三条边AB,AC,BD和抛物线的一段(点E为抛物线的顶点)构成,以AB的中点O为原点,分别以直线AB和抛物线的对称轴为x轴和y轴,建立如图②所示的平面直角坐标系.其中AB=12米,AC=BD=3米,OE=7米.为保证安全,要求行驶车辆顶部(视为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米.若行车道的总宽度MN为8米,且O为MN的中点,则通过隧道的车辆的限制高度为米.(车道分界线的宽度忽略不计)

解析:由题意可知,A(-6,0),B(6,0),E(0,7),C(-3,3),D(6,3),
∵ E 为抛物线的顶点,
∴ 设抛物线解析式为 y = ax² + 7,把点 D 坐标代入解析式得 36a + 7 = 3,解得 a = -1/9,
∴ 抛物线解析式为 y = -1/9 x² + 7.由题意知,N(4,0),设车的限制高度为 h,则当 x = 4 时,y = h + 1,
∴ -1/9 × 16 + 7 = h + 1,解得 h = 38/9,
∴ 通过隧道的车辆的限制高度为 38/9 米.

7.在斜坡OE底部点O处设置一个高度为1.4米的可移动喷水装置OA,从点A喷出的水流可近似看成抛物线.喷出的水流与OA水平距离为6米时,达到最大高度5米.以点O为原点,喷水装置所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.斜坡上与OA水平距离为8米处有棵1.6米高的小树NM,NM垂直水平地面且点M到水平地面的距离为1.8米.要使水流恰好喷射到小树顶端点N处,则OA应向左平移米.

解析:由题意知,抛物线的顶点为(6,5),设抛物线解析式为 y = a(x - 6)² + 5,由于 A(0,1.4),代入 y = a(x - 6)² + 5 中,得 36a + 5 = 1.4,
∴ a = -1/10,即 y = -1/10(x - 6)² + 5.设抛物线向左平移 m 米,得到解析式为 y = -1/10(x - 6 + m)² + 5,而 MN + 1.8 = 1.6 + 1.8 = 3.4,即 N(8,3.4),把点 N 坐标代入 y = -1/10(x - 6 + m)² + 5 中,得 3.4 = -1/10(8 - 6 + m)² + 5,解得 m₁ = 2,m₂ = -6(舍去),即 OA 应向左平移 2 米.

8. (2025·陕西中考)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示,顶部$L_1$,左、右门洞$L_2$,$L_3$均呈抛物线型,水平横梁$AC=16\ \mathrm{m}$,$L_1$的最高点$B$到$AC$的距离$BO=4\ \mathrm{m}$,$L_2$,$L_3$关于$BO$所在直线对称.$MN$,$MP$,$NQ$为框架,点$M$,$N$在$L_1$上,点$P$,$Q$分别在$L_2$,$L_3$上,$MN// AC$,$MP⊥ AC$,$NQ⊥ AC$.以$O$为原点,以$AC$所在直线为$x$轴,以$BO$所在直线为$y$轴,建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线$L_1$的函数解析式;
(2)已知抛物线$L_3$的函数解析式为$y = -\dfrac{3}{16}(x - 4)^2$,$NQ=\dfrac{5}{2}\ \mathrm{m}$,求$MN$的长.

9. (2025·盐城中考)[生活观察]小明通过观察发现,将运动中的羽毛球看成一个点,扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种,如图①,②所示.
[数学建模]小明发现扣杀球的路线近似为一条直线,网前吊球的路线近似为抛物线.羽毛球运动轨迹的剖面图如图③所示,从$A$点击球,击球点是抛物线的最高点,点$A$到地面的距离$AO=2.4\ \mathrm{m}$,球网上端点$B$到地面的距离$BC=1.55\ \mathrm{m}$,人与球网之间的距离$OC=1.6\ \mathrm{m}$,假设两种击球路线都经过点$B$正上方$0.05\ \mathrm{m}$处的点$D$,网前吊球和扣杀球的落点分别为点$E$,$F$.
(1)请在图③中建立合适的平面直角坐标系,并分别求出两种击球路线的函数解析式.
[模型应用]
(2)网前吊球的落点到球网的距离$CE$的长是$\mathrm{m}$.
(3)甲在$A$处击球,扣杀球时,羽毛球的平均速度约为$36\ \mathrm{m/s}$.网前吊球时,羽毛球下降的高度$h(\mathrm{m})$与时间$t(\mathrm{s})$之间的关系式为$h = 5t^2$.乙在看到甲击球的同时,尝试接球,从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要$0.5\ \mathrm{s}$.请通过计算说明,乙能接到哪种方式的击球.

第二十六章

8.(1)
∵ BO = 4 m,
∴ 抛物线 L₁ 的顶点 B 的坐标为(0,4),设抛物线 L₁ 的函数解析式为 y = ax² + 4.
∵ AC = 16 m,
∴ 结合二次函数的对称性 A(-8,0),C(8,0),将 C(8,0)代入 y = ax² + 4,得 0 = 64a + 4,则 a = -1/16,
∴ y = -1/16 x² + 4.
(2)由(1)得抛物线 L₁ 的函数解析式为 y = -1/16 x² + 4,
∵ MN // AC,MP ⊥ AC,NQ ⊥ AC,NQ = 5/2 m,且抛物线 L₃ 的函数解析式为 y = -3/16(x - 4)²,
∴ y_N - y_Q = -1/16 x² + 4 - [-3/16(x - 4)²] = 5/2,整理得 x² - 3(x - 4)² = 24,
∴ x² - 3x² + 24x - 48 = 24,
∴ x² - 12x + 36 = (x - 6)² = 0,解得 x₁ = x₂ = 6,
∴ MN = 2×6 = 12(m).
9.(1)以 O 为坐标原点,OF 所在的直线为 x 轴,OA 所在的直线为 y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则 A(0,2.4),D(1.6,1.6),设直线 AD 的解析式为 y = kx + n,
∴ $\begin{cases}n=2.4,\\1.6k+n=1.6,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2},\\n=2.4,\end{cases}$
∴ 扣杀球击球路线的函数解析式为 y = -1/2 x + 12/5;设网前吊球击球路线的函数解析式为 y = ax² + 2.4,
∴ 1.6 = a×1.6² + 2.4,
∴ a = -5/16,
∴ 网前吊球击球路线的函数解析式为 y = -5/16 x² + 12/5.
(2)解析:令 y = 0,则 -5/16 x² + 12/5 = 0,
∵ x ＞ 0,
∴ x = 8√3/5,
∴ E(8√3/5,0),
∴ OE = 8√3/5 m,
∴ CE = OE - OC = 8√3/5 - 8/5 = (8√3 - 8)/5 m.
(3)对于 y = -1/2 x + 12/5,令 y = 0,则 -1/2 x + 12/5 = 0,
∴ x = 24/5,
∴ F(24/5,0),
∴ OF = 4.8,
∴ AF = √(OF² + OA²) = √((24/5)² + (12/5)²) = 12√5/5(m).
∵ 扣杀球时,羽毛球的平均速度约为 36 m/s,
∴ (12√5/5)/36 = √5/15(s).
∵ √5/15 ＜ 0.5,
∴ 乙不能接到扣杀球的击球.
∵ 从 A 点击球,击球点是抛物线的最高点,
∴ 12/5 = 5t².
∵ t ＞ 0,
∴ t = 2√3/5.
∵ 2√3/5 ＞ 0.5,
∴ 乙能接到网前吊球的击球.