10. (2025·贵州中考)用石块打水漂是一项有趣的活动.抛掷后的石块与平静的水面接触.石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径.如图①,小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂,石块在空中飞行的高度$ y $与水平距离$ x $之间的关系如图②所示.石块第一次与水面接触于点$ F $,运动路径近似为抛物线$ C_1 $,且$ C_1: y = ax^2 + bx + c $,石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点$ G $,运动路径近似为抛物线$ C_2 $,且$ C_2: y = -\frac{1}{5}x^2 + mx + n $.(小星所在地面、水面在同一平面内,且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计)
(1)如图②,当$ a = -\frac{1}{2}, b = \frac{1}{2} $时,若点$ F $坐标为$ (2,0) $,求抛物线$ C_1 $的解析式.
(2)在(1)的条件下,若$ FG = 4 $,在水面上有一个截面宽$ AB = 1 $,高$ BC = 0.5 $的矩形$ ABCD $的障碍物,点$ A $的坐标为$ (4.5,0) $,判断此时石块沿抛物线$ C_2 $运动时是否能越过障碍物?请说明理由.
(3)小星在抛掷石块时,若$ C_1 $的顶点需在一个正方形$ MNPQ $区域内(包括边界),且点$ F $在$ (3,0) $和$ (4,0) $之间(包括这两点),其中$ M(\frac{1}{2},1), N(1,1), Q(\frac{1}{2},\frac{3}{2}) $,求$ a $的取值范围.(在抛掷过程中正方形与抛物线$ C_1 $在同一平面内)

4星学霸065

(1)当 a = -1/2,b = 1/2 时,C₁:y = -1/2 x² + 1/2 x + c,
∵ 点 F 坐标为(2,0),
∴ 0 = -1/2 × 2² + 1/2 × 2 + c,
∴ c = 1,
∴ 抛物线 C₁ 的解析式为 y = -1/2 x² + 1/2 x + 1.
(2)不能,理由如下:
∵ FG = 4,点 F 坐标为(2,0),
∴ G(6,0),
∴ C₂:y = -1/5(x - 2)(x - 6) = -1/5 x² + 8/5 x - 12/5.
∵ 点A的坐标为(4.5,0),AB = 1,
∴ B(5.5,0).将 x = 5.5 代入 y = -1/5 x² + 8/5 x - 12/5 = 0.35 ＜ 0.5,
∴ 此时石块沿抛物线 C₂ 运动时不能越过障碍物.
(3)
∵ 正方形 MNPQ,M(1/2,1),N(1,1),Q(1/2,3/2),
∴ P(1,3/2),
∴ 正方形 MNPQ 如图所示.
∵ 抛物线开口向下,
∴ a ＜ 0.
∵ |a|越小开口越大,|a|越大开口越小,点 F 在(3,0)和(4,0)之间(包括这两点),
∴ 由图象可得,当抛物线顶点为点 M,且经过点(4,0)时,开口最大,此时 a 最大,
∴ 设 C₁ 的解析式为 y = a(x - 1/2)² + 1,将(4,0)代入,得 0 = a(4 - 1/2)² + 1,解得 a = -4/49;由图象可得,当抛物线顶点为点 P,且经过点(3,0)时,开口最小,此时 a 最小,
∴ 设 C₁ 的解析式为 y = a(x - 1)² + 3/2,将(3,0)代入得,0 = a(3 - 1)² + 3/2,解得 a = -3/8.
∴ a 的取值范围为 -3/8 ≤ a ≤ -4/49.