1. (教材习题变式)(2024·长沙)如图,在$\odot O$中,弦$AB$的长为8,圆心$O$到$AB$的距离$OE=4$,则$\odot O$的半径为 （ ）
A. 4
B. $4\sqrt{2}$
C. 5
D. $5\sqrt{2}$

B

2. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD\bot AB$于点E，则下列结论不一定正确的是 （ ）
A. $BE=OE$
B. $AC=AD$
C. $\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}$
D. $∠ CAB=∠ DAB$

A

3. 如图，A、B、C 是$\odot O$上的点，$OC ⊥ AB$，垂足为 D. 若 $OA = 5$，$AB = 8$，则 CD 的长为______．

2

4. 如图，AB为$\odot O$的弦，半径$OD⊥ AB$于点C. 若$AB=8$，$CD=2$，则$\odot O$的半径为______．

5

5.【新情境】圆在中式建筑中有着广泛的应用.如图,某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为 2.8 m,地面入口的宽度为 1 m,门枕的高度为 0.3 m,求该圆弧形门洞所在圆的半径.

解：设该圆弧形门洞的半径为$r$m，如图，连接$AB，$过圆心$O$作$OC\perp AB$于点$C，$延长$CO$交$\odot O$于点$D，$连接$OA，$则$CD = 2.8 - 0.3 = 2.5(m)，$$AC = BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times1 = 0.5(m)，$$\therefore OC=(2.5 - r)m。$在$Rt\triangle AOC$中，$OA^{2}=OC^{2}+AC^{2}，$即$0.5^{2}+(2.5 - r)^{2}=r^{2}，$ $\begin{aligned}0.25 + 6.25 - 5r + r^{2}&=r^{2}\\-5r&=-6.5\\r&=1.3\end{aligned}$ 即该圆弧形门洞的半径为$1.3$m。 ;

6. (教材习题变式)如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点.
(1)求证:AC=BD.
(2)连接OA、OC,若OA=6,OC=4,∠OCD=60°,求AC的长.

证明: (1)如图，过点$O$作$OH\perp CD$于点$H。$$\because OH\perp CD，$$\therefore CH = DH，$$AH = BH，$$\therefore AH - CH = BH - DH，$即$AC = BD。$ (2)如图，连接$OD。$$\because OC = OD，$$\angle OCD = 60^{\circ}，$$\therefore\triangle OCD$是等边三角形，$\therefore CD = OC = 4，$$\therefore CH = 2，$$\therefore OH=\sqrt{OC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}，$$\therefore AH=\sqrt{OA^{2}-OH^{2}}=\sqrt{6^{2}-(2\sqrt{3})^{2}} = 2\sqrt{6}，$$\therefore AC = AH - CH = 2\sqrt{6}-2。$ ;