10. 如图,在扇形OAB中,∠AOB=110°,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点D处,折痕交OA于点C,则$\overset{\frown}{AD}$的度数为 （ ）
A. $40°$
B. $50°$
C. $60°$
D. $70°$



(第10题)
(第11题)
(第12题)

B

11. 如图，AB、CD是$\odot O$的弦，且$AB=CD$。若$∠ BOD=84°$，则$∠ ACO$的度数为______。

48°

12. 如图，A是直径MN上方半圆上的一个三等分点（靠近点N这一侧），B是AN的中点，P是直径MN上的一个动点.若$\odot O$的半径为3，则$PA+PB$的最小值为$\underline{\hspace{5em}}$.

$3\sqrt{2}$

13. 如图，$∠ AOB=90°$，$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，连接$AB$分别交$OC$、$OD$于点$E$、$F$。
(1)求$∠ AEC$的度数。
(2)求证:$AE=BF=CD$。

(1)
如图，连接$AC$、$DB。$ 因为$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}，$根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所以$AC = CD = DB。$ 又因为$\angle AOB = 90^{\circ}，$所以$\angle AOC=\angle COD=\angle DOB = 30^{\circ}。$ 因为$OA = OB，$$\angle AOB = 90^{\circ}，$所以$\angle OAB=\angle OBA = 45^{\circ}。$ 则$\angle AEC=\angle AOC+\angle OAB=30^{\circ}+45^{\circ}=75^{\circ}。$ (2)
证明：
因为$\angle AOC=\angle COD=\angle DOB = 30^{\circ}，$$OA = OC，$ 所以$\angle ACO=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOC)=\frac{1}{2}(180 - 30)^{\circ}=75^{\circ}。$ 所以$\angle AEC=\angle ACO，$根据等角对等边，所以$AE = AC。$ 同理可得$BF = DB。$ 又由
(1)知，$AC = CD = DB，$所以$AE = BF = CD。$ ;

14. 如图,以$□ ABCD$的顶点$A$为圆心、$AB$的长为半径作圆,分别交$AD$、$BC$于点$E$、$F$,延长$BA$交$\odot A$于点$G$.
(1)求证:$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$.
(2)若$\overset{\frown}{BF}$的度数为$70°$,求$∠ C$的度数.

(1)
证明：
如图，连接$AF。$ 由题意得$AF = AB，$所以$\angle ABF=\angle AFB。$ 因为四边形$ABCD$为平行四边形，所以$AD// BC。$ 所以$\angle DAF=\angle AFB，$$\angle GAD=\angle ABF，$所以$\angle GAD=\angle DAF。$ 根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}。$ (2)
因为$\overset{\frown}{BF}$的度数为$70^{\circ}，$所以$\angle BAF = 70^{\circ}。$ 因为$AB = AF，$所以$\angle B=\angle AFB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAF)=\frac{1}{2}(180 - 70)^{\circ}=55^{\circ}。$ 因为四边形$ABCD$为平行四边形，$AB// CD，$所以$\angle C=180^{\circ}-\angle B=180 - 55^{\circ}=125^{\circ}。$ ;