8.* 如图,在$△ ABC$中,$∠ B = ∠ C, BE = CD, BD = CF$.若$∠ EDF = α$,则$α$与$∠ A$之间的数量关系为______.

(第8题)

(第9题)

$\angle A + 2\alpha=180^{\circ}$

9. (2025·江苏无锡期末)如图,点 C 在线段 AB 上, $AD // EB, AC = BE, AD = BC$, CF 平分 $∠ DCE$. 若 $∠ A = 40°, ∠ BED = 70°$, 则 $∠ BCF =$ ______.

$20^{\circ}$

10. 如图，$△ ABC$ 三个内角的平分线相交于点 $O$，延长 $BA$ 至点 $D$，连接 $DO$。若 $BD=BC$，$∠ AOD = ∠ ADO$，$∠ ABC = 54°$，则 $∠ BCA$ 的度数为 $\_\_\_\_\_\_°$。

$42$

11. 如图,在锐角三角形 $ ABC $ 中,$ AD ⊥ BC $于点 $ D $,点 $ E $ 在 $ AD $ 上,$ DE = DC $,$ BD = AD $,$ F $ 为 $ BC $ 的中点,连接 $ EF $ 并延长至点 $ M $,使 $ FM = EF $,连接 $ BE $,$ CM $.
(1) 求证:$ BE = AC $;
(2) 试判断线段 $ AC $ 与线段 $ MC $ 之间的关系,并证明你的结论.

​$(1)$​证明：∵​$AD\perp BC$​∴​$∠ADC=∠BDE = 90°$​在​$\triangle BDE$​和​$\triangle ADC$​中​$\begin {cases}BD = AD \\∠BDE=∠ADC \\DE = DC\end {cases}$​∴​$\triangle BDE≌\triangle ADC(S AS)$​∴​$BE = AC$​​$(2)$​解：​$AC = MC，$​​$AC\perp MC，$​证明如下：由​$(1)$​得​$BE = AC，$​​$∠ADC = 90°$​​$\triangle BDE≌\triangle ADC$​∴​$∠DBE=∠DAC，$​​$∠DAC+∠ACD = 90°，$​即​$∠DBE+∠ACD = 90°$​又​$F $​是​$BC$​的中点，∴​$BF = CF$​在​$\triangle BFE$​和​$\triangle CFM$​中​$\begin {cases}BF = CF \\∠BFE=∠CFM \\EF = MF\end {cases}$​∴​$\triangle BFE≌\triangle CFM(S AS)$​∴​$BE = CM，$​​$∠EBF=∠MCF$​即​$AC = MC，$​​$∠MCF+∠ACD = 90°$​∴​$∠ACM = 90°，$​即​$AC\perp MC$​

12. (2025·江苏无锡期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=∠ ABC=40°$,$BD$是$∠ ABC$的平分线,延长$BD$至点$E$,使$DE=AD$,则$∠ ECA$的度数为______.

$40^{\circ}$

13. 新趋势 推导探究 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是直线BC上一点,连接AD,以AD为一条边在AD的右侧作$△ ADE$,使$AE=AD$,$∠ DAE=∠ BAC$,连接CE.
（1）当点D在线段BC的延长线上移动时,若$∠ BAC=25°$,则$∠ DCE$的度数为______;
（2）设$∠ BAC=α$,$∠ DCE=β$.
① 当点D在线段BC的延长线上移动时,$α$与$β$之间有什么数量关系?请说明理由;
② 当点D在直线BC上(不与B,C两点重合)移动时,$α$与$β$之间有什么数量关系?请说明理由.

备用图

$25^{\circ}$ ; 解：​$(2)①$​当点​$D$​在线段​$BC$​的延长线上移动时，​$α$​与​$β$​之间的数量关系是​$α=β，$​理由如下：∵​$∠DAE=∠BAC$​∴​$∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD$​即​$∠BAD=∠CAE$​在​$\triangle BAD$​和​$\triangle CAE$​中​$\begin {cases}AB = AC \\∠BAD=∠CAE \\AD = AE\end {cases}$​∴​$\triangle BAD≌\triangle CAE(S AS)$​∴​$∠ABC=∠ACE$​∵​$∠ACD=∠ABC+∠BAC=∠ACE+∠DCE$​∴​$∠BAC=∠DCE$​∵​$∠BAC=α，$​​$∠DCE=β$​∴​$α=β$​​$②$​当点​$D$​在线段​$BC$​上时，​$α+β= 180°；$​当点​$D$​在线段​$BC$​的延长线或反向延长线上时，​$α=β$​理由如下：当点​$D$​在线段​$BC$​上时，如图①∵​$∠DAE=∠BAC$​∴​$∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD$​即​$∠BAD=∠CAE$​在​$\triangle BAD$​和​$\triangle CAE$​中​$\begin {cases}AB = AC \\∠BAD=∠CAE \\AD = AE\end {cases}$​∴​$\triangle BAD≌\triangle CAE(S AS)$​∴​$∠ABC=∠ACE$​∵​$∠ACF=∠ABC+∠BAC=∠ACE+∠ECF$​∴​$∠BAC=∠ECF$​∵​$∠DCE+∠ECF = 180°$​∴​$∠DCE+∠BAC = 180°$​又​$∠BAC=α，$​​$∠DCE=β$​∴​$α+β= 180°$​当点​$D$​在线段​$BC$​的延长线上时，由​$(2)①，$​得​$α=β$​
当点​$D$​在线段​$BC$​的反向延长线上时，如图②∵​$∠DAE=∠BAC$​∴​$∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE$​即​$∠BAD=∠CAE$​在​$\triangle BAD$​和​$\triangle CAE$​中​$\begin {cases}AB = AC \\∠BAD=∠CAE \\AD = AE\end {cases}，$​∴​$\triangle BAD≌\triangle CAE(S AS)$​∴​$∠ABD=∠ACE$​∵​$∠ABD=∠BAC+∠ACB，$​​$∠ACE=∠ACB+∠DCE$​∴​$∠BAC=∠DCE$​∵​$∠BAC=α，$​​$∠DCE=β$​∴​$α=β$​