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12.为了美化环境,要在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草.现将这块空地按下列要求分成四块:①分割后的整个图形必须是轴对称图形;②四块图形形状相同;③四块图形面积相等.现已有如下两种不同的分法:
(1)分别作两条对角线;(如图①)
(2)过一条边的四等分点作这边的垂线段.(如图②、图③,这两个图形的分割看作同一种方法)
请你按照上述三个要求,分别在下面两个正方形(图④、图⑤)中给出另外两种不同的分割方法.(只画图,不写画法)
(1)分别作两条对角线;(如图①)
(2)过一条边的四等分点作这边的垂线段.(如图②、图③,这两个图形的分割看作同一种方法)
请你按照上述三个要求,分别在下面两个正方形(图④、图⑤)中给出另外两种不同的分割方法.(只画图,不写画法)
答案
12.解:如图(画法符合题意即可).
解析
【分析】
解题时首先明确题目的三个核心要求：①分割后的整体是轴对称图形，即存在至少一条直线，沿直线折叠后直线两侧的图形能够完全重合；②四块图形形状相同即四块为全等图形；③四块面积相等，即每块面积为原正方形面积的$\frac{1}{4}$。
思考时可从两个方向入手：一是先思考能够将正方形四等分（形状、大小均相同）的常见方式，再验证整体是否为轴对称图形；二是先确定正方形的对称轴，再沿着对称轴两侧构造出四组全等的部分，最终得到符合要求的分割方案。
【解析】
我们提供两种符合要求的分割方法：
1. 针对图④：分别连接正方形水平对边的中点、竖直对边的中点，两条互相垂直的线段将正方形分为四个全等的小正方形，整体图形满足轴对称要求，四块形状、面积均符合条件。
2. 针对图⑤：先连接正方形上下两条边的中点得到竖直对称轴，再连接左上顶点与下边中点、右上顶点与下边中点，得到四个全等的三角形，整体沿竖直中线对折可完全重合，满足所有要求。
注：画法不唯一，只要同时满足三个要求即可。
【答案】
【知识点】
轴对称图形的判定、图形的分割、全等图形的性质
【点评】
本题为开放性作图题，答案不唯一，核心考查对轴对称特征、全等图形性质的灵活运用，能够锻炼学生的发散思维与空间想象能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目的三个核心要求：①分割后的整体是轴对称图形，即存在至少一条直线，沿直线折叠后直线两侧的图形能够完全重合；②四块图形形状相同即四块为全等图形；③四块面积相等，即每块面积为原正方形面积的$\frac{1}{4}$。
思考时可从两个方向入手：一是先思考能够将正方形四等分（形状、大小均相同）的常见方式，再验证整体是否为轴对称图形；二是先确定正方形的对称轴，再沿着对称轴两侧构造出四组全等的部分，最终得到符合要求的分割方案。
【解析】
我们提供两种符合要求的分割方法：
1. 针对图④：分别连接正方形水平对边的中点、竖直对边的中点，两条互相垂直的线段将正方形分为四个全等的小正方形，整体图形满足轴对称要求，四块形状、面积均符合条件。
2. 针对图⑤：先连接正方形上下两条边的中点得到竖直对称轴，再连接左上顶点与下边中点、右上顶点与下边中点，得到四个全等的三角形，整体沿竖直中线对折可完全重合，满足所有要求。
注：画法不唯一，只要同时满足三个要求即可。
【答案】
【知识点】
轴对称图形的判定、图形的分割、全等图形的性质
【点评】
本题为开放性作图题，答案不唯一，核心考查对轴对称特征、全等图形性质的灵活运用，能够锻炼学生的发散思维与空间想象能力。
【难度系数】
0.7
1.如图，已知直线PO与AB交于点O，$PA=PB$，下列结论中正确的是(
A.$AO=BO$
B.$PO⊥ AB$
C.PO是线段AB的垂直平分线
D.点P在线段AB的垂直平分线上
D
).A.$AO=BO$
B.$PO⊥ AB$
C.PO是线段AB的垂直平分线
D.点P在线段AB的垂直平分线上
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的相关知识：一是线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；二是线段垂直平分线的定义：既垂直于一条线段、又平分这条线段的直线，是该线段的垂直平分线。接下来结合已知条件PA=PB逐个分析选项，注意“点在线段的垂直平分线上”和“某条直线是线段的垂直平分线”是两个不同的结论，前者仅需要点到线段两端距离相等即可，后者需要同时满足垂直、平分两个条件。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 题目仅给出PA=PB，没有条件能证明O是AB的中点，无法推出AO=BO，故A错误；
B. 没有已知条件能证明PO与AB垂直，无法推出PO⊥AB，故B错误；
C. 线段垂直平分线需要同时满足“垂直于线段”“平分线段”两个要求，当前既不能证明PO⊥AB，也不能证明O平分AB，因此不能判定PO是线段AB的垂直平分线，故C错误；
D. 根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，已知PA=PB，因此点P在线段AB的垂直平分线上，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是基础概念题，核心是区分“点在线段的垂直平分线上”和“直线是线段的垂直平分线”的成立条件，避免因概念理解不透彻错选C选项，掌握判定定理的适用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆线段垂直平分线的相关知识：一是线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；二是线段垂直平分线的定义：既垂直于一条线段、又平分这条线段的直线，是该线段的垂直平分线。接下来结合已知条件PA=PB逐个分析选项，注意“点在线段的垂直平分线上”和“某条直线是线段的垂直平分线”是两个不同的结论，前者仅需要点到线段两端距离相等即可，后者需要同时满足垂直、平分两个条件。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 题目仅给出PA=PB，没有条件能证明O是AB的中点，无法推出AO=BO，故A错误；
B. 没有已知条件能证明PO与AB垂直，无法推出PO⊥AB，故B错误；
C. 线段垂直平分线需要同时满足“垂直于线段”“平分线段”两个要求，当前既不能证明PO⊥AB，也不能证明O平分AB，因此不能判定PO是线段AB的垂直平分线，故C错误；
D. 根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，已知PA=PB，因此点P在线段AB的垂直平分线上，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是基础概念题，核心是区分“点在线段的垂直平分线上”和“直线是线段的垂直平分线”的成立条件，避免因概念理解不透彻错选C选项，掌握判定定理的适用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.7
2.如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,P是直线MN上的点,下列判断中错误的是(
A.AM=BM
B.AP=BN
C.∠MAP=∠MBP
D.∠ANM=∠BNM
B
).A.AM=BM
B.AP=BN
C.∠MAP=∠MBP
D.∠ANM=∠BNM
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查轴对称相关性质的应用，解题思路如下：首先根据“直线MN是四边形AMBN的对称轴”，确定点A与点B是关于MN的对应点，结合轴对称的性质可直接判断对应边、对应角的关系；再结合点P在对称轴MN上的条件，利用“对称轴上的点到两个对应点的距离相等”得到AP=BP，进而证明三角形全等得到角的关系，最后逐一比对选项，找出错误的结论即可。
【解析】
∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B关于直线MN对称，根据轴对称的性质可得：
AM=BM，AN=BN，∠ANM=∠BNM，故选项A、D判断正确，不符合题意；
∵P是直线MN上的点，
∴根据对称轴的性质，对称轴上任意一点到两个对应点的距离相等，可得AP=BP，
在△MAP和△MBP中：
$\{\begin{array}{l}AM=BM\\MP=MP\\AP=BP\end{array} $
∴△MAP≌△MBP（SSS），
∴∠MAP=∠MBP，故选项C判断正确，不符合题意；
对于选项B：AP=BP，BN=AN，没有已知条件能推出AP与BN相等，故该判断错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对轴对称性质的理解和运用，只要熟练掌握轴对称图形中对应边相等、对应角相等、对称轴上的点到对应点距离相等这几个核心性质，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查轴对称相关性质的应用，解题思路如下：首先根据“直线MN是四边形AMBN的对称轴”，确定点A与点B是关于MN的对应点，结合轴对称的性质可直接判断对应边、对应角的关系；再结合点P在对称轴MN上的条件，利用“对称轴上的点到两个对应点的距离相等”得到AP=BP，进而证明三角形全等得到角的关系，最后逐一比对选项，找出错误的结论即可。
【解析】
∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B关于直线MN对称，根据轴对称的性质可得：
AM=BM，AN=BN，∠ANM=∠BNM，故选项A、D判断正确，不符合题意；
∵P是直线MN上的点，
∴根据对称轴的性质，对称轴上任意一点到两个对应点的距离相等，可得AP=BP，
在△MAP和△MBP中：
$\{\begin{array}{l}AM=BM\\MP=MP\\AP=BP\end{array} $
∴△MAP≌△MBP（SSS），
∴∠MAP=∠MBP，故选项C判断正确，不符合题意；
对于选项B：AP=BP，BN=AN，没有已知条件能推出AP与BN相等，故该判断错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对轴对称性质的理解和运用，只要熟练掌握轴对称图形中对应边相等、对应角相等、对称轴上的点到对应点距离相等这几个核心性质，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3.如图,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F.若△AEF的周长为10 cm,则BC的长为
10
cm.答案
3.10
解析
【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知，E在AB的垂直平分线上，因此可得AE=BE；F在AC的垂直平分线上，因此可得AF=CF。此时△AEF的周长为AE+EF+AF，将AE、AF用等量的BE、CF替换，就可以发现周长刚好等于BC的长度，从而求出BC的长。
【解析】
∵点E在AB的垂直平分线上，
∴AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵点F在AC的垂直平分线上，
∴AF=CF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
已知△AEF的周长为$AE+EF+AF=10\ \mathrm{cm}$，
将AE替换为BE，AF替换为CF，可得：
$BE+EF+CF=10\ \mathrm{cm}$，
又
∵$BE+EF+CF=BC$，
∴$BC=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
10
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将未知的BC长度和已知的三角形周长建立关联，是轴对称性质应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知，E在AB的垂直平分线上，因此可得AE=BE；F在AC的垂直平分线上，因此可得AF=CF。此时△AEF的周长为AE+EF+AF，将AE、AF用等量的BE、CF替换，就可以发现周长刚好等于BC的长度，从而求出BC的长。
【解析】
∵点E在AB的垂直平分线上，
∴AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵点F在AC的垂直平分线上，
∴AF=CF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
已知△AEF的周长为$AE+EF+AF=10\ \mathrm{cm}$，
将AE替换为BE，AF替换为CF，可得：
$BE+EF+CF=10\ \mathrm{cm}$，
又
∵$BE+EF+CF=BC$，
∴$BC=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
10
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将未知的BC长度和已知的三角形周长建立关联，是轴对称性质应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
