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6.(2023,青海,15)如图,在$△ ABC$中,DE是BC的垂直平分线.若AB=5,AC=8,则$△ ABD$的周长是
13
.答案
6.13
解析
【分析】
解题时首先观察到DE是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得点D到B、C两点的距离相等，即BD=CD。要求△ABD的周长，先写出周长的表达式为AB+AD+BD，再将BD等量替换为CD，此时AD+CD恰好是AC的长度，因此可以将周长转化为已知的AB与AC的和，代入数值即可计算出结果。
【解析】
解：
∵DE是BC的垂直平分线，点D在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：BD=CD。
△ABD的周长 = AB + AD + BD，
将BD替换为CD，可得：
△ABD的周长 = AB + AD + CD = AB + AC，
已知AB=5，AC=8，代入得：
△ABD的周长 = 5 + 8 = 13。
【答案】
13
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，无需单独求解未知线段的长度，是转化思想在几何计算中的典型应用，掌握垂直平分线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到DE是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得点D到B、C两点的距离相等，即BD=CD。要求△ABD的周长，先写出周长的表达式为AB+AD+BD，再将BD等量替换为CD，此时AD+CD恰好是AC的长度，因此可以将周长转化为已知的AB与AC的和，代入数值即可计算出结果。
【解析】
解：
∵DE是BC的垂直平分线，点D在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：BD=CD。
△ABD的周长 = AB + AD + BD，
将BD替换为CD，可得：
△ABD的周长 = AB + AD + CD = AB + AC，
已知AB=5，AC=8，代入得：
△ABD的周长 = 5 + 8 = 13。
【答案】
13
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，无需单独求解未知线段的长度，是转化思想在几何计算中的典型应用，掌握垂直平分线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
7.如图，$△ ABC$和$△ A'B'C'$关于直线$l$对称，$A'$，$B'$，$C'$分别是点$A$，$B$，$C$的对应点，则直线$l$垂直平分
$AA',BB',CC'$
。答案
7.$AA',BB',CC'$
解析
【分析】
解题时首先回忆轴对称的性质：两个图形关于某条直线对称时，对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。本题中已知△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，先确定三对对应点分别是A与A'、B与B'、C与C'，结合上述性质即可判断直线l和这三对对应点连线的关系，得到答案。
【解析】
根据轴对称的性质：若两个图形关于某条直线对称，则该对称轴垂直平分任意一对对应点的连线。
本题中△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，A和A'、B和B'、C和C'分别为对应点，因此直线l垂直平分线段AA'、BB'、CC'。
【答案】
$AA',BB',CC'$
【知识点】
轴对称的性质；线段垂直平分线
【点评】
本题属于基础题，主要考查轴对称的核心性质，只要准确记忆成轴对称的图形中对称轴与对应点连线的关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆轴对称的性质：两个图形关于某条直线对称时，对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。本题中已知△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，先确定三对对应点分别是A与A'、B与B'、C与C'，结合上述性质即可判断直线l和这三对对应点连线的关系，得到答案。
【解析】
根据轴对称的性质：若两个图形关于某条直线对称，则该对称轴垂直平分任意一对对应点的连线。
本题中△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，A和A'、B和B'、C和C'分别为对应点，因此直线l垂直平分线段AA'、BB'、CC'。
【答案】
$AA',BB',CC'$
【知识点】
轴对称的性质；线段垂直平分线
【点评】
本题属于基础题，主要考查轴对称的核心性质，只要准确记忆成轴对称的图形中对称轴与对应点连线的关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
8.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=50°$,将其折叠,使点$A$落在边$BC$上$A'$处,折痕为$CD$,则$∠ A'DB$的度数为
$10°$
.答案
8.$10°$
解析
【分析】
解题时先结合折叠的性质，明确折叠前后对应角相等，得到∠CA'D与∠A的等量关系；再利用直角三角形两锐角互余计算出∠B的度数；最后根据三角形外角的性质（或三角形内角和定理），就能推导出∠A'DB的度数。
【解析】
1. 在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=50°$，根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ B=90°-∠ A=90°-50°=40°$
2. 由折叠的性质可知，$△ CDA$与$△ CDA'$全等，因此对应角相等：
$∠ CA'D=∠ A=50°$
3. 观察图形可知，$∠ CA'D$是$△ A'BD$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ CA'D=∠ B+∠ A'DB$，因此：
$∠ A'DB=∠ CA'D-∠ B=50°-40°=10°$
【答案】
$10°$
【知识点】
折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是折叠类基础计算题，核心是利用折叠前后对应角相等的性质，结合三角形的角度运算规则求解，熟练掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先结合折叠的性质，明确折叠前后对应角相等，得到∠CA'D与∠A的等量关系；再利用直角三角形两锐角互余计算出∠B的度数；最后根据三角形外角的性质（或三角形内角和定理），就能推导出∠A'DB的度数。
【解析】
1. 在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=50°$，根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ B=90°-∠ A=90°-50°=40°$
2. 由折叠的性质可知，$△ CDA$与$△ CDA'$全等，因此对应角相等：
$∠ CA'D=∠ A=50°$
3. 观察图形可知，$∠ CA'D$是$△ A'BD$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ CA'D=∠ B+∠ A'DB$，因此：
$∠ A'DB=∠ CA'D-∠ B=50°-40°=10°$
【答案】
$10°$
【知识点】
折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是折叠类基础计算题，核心是利用折叠前后对应角相等的性质，结合三角形的角度运算规则求解，熟练掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
9.如图，DE垂直平分AC，垂足为E，交BC于点D，连接AD，AB的垂直平分线交AD于点F，BC=9 cm，则△BDF的周长为
9
cm.答案
9.9
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。我们要求△BDF的周长，先写出周长的组成是BD+DF+BF，接下来利用垂直平分线的性质做等量代换：首先由AB的垂直平分线过F，可得BF=AF，这样周长就可以转化为BD+DF+AF=BD+AD；再由DE是AC的垂直平分线，可得AD=CD，进一步将周长转化为BD+CD，也就是BC的长度，代入已知BC的长度即可得到结果。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AC，
∴AD = CD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵AB的垂直平分线交AD于点F，
∴BF = AF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
△BDF的周长为：$C_{△ BDF}=BD + DF + BF$，
将BF替换为AF，得：$BD + DF + AF = BD + AD$，
再将AD替换为CD，得：$BD + CD = BC$，
已知$BC=9\mathrm{cm}$，因此△BDF的周长为$9\mathrm{cm}$。
【答案】
9
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换、三角形周长计算
【点评】
本题是基础类题型，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是通过两次等量代换，将未知的三角形周长转化为已知的线段BC的长度，这类题是轴对称章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。我们要求△BDF的周长，先写出周长的组成是BD+DF+BF，接下来利用垂直平分线的性质做等量代换：首先由AB的垂直平分线过F，可得BF=AF，这样周长就可以转化为BD+DF+AF=BD+AD；再由DE是AC的垂直平分线，可得AD=CD，进一步将周长转化为BD+CD，也就是BC的长度，代入已知BC的长度即可得到结果。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AC，
∴AD = CD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵AB的垂直平分线交AD于点F，
∴BF = AF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
△BDF的周长为：$C_{△ BDF}=BD + DF + BF$，
将BF替换为AF，得：$BD + DF + AF = BD + AD$，
再将AD替换为CD，得：$BD + CD = BC$，
已知$BC=9\mathrm{cm}$，因此△BDF的周长为$9\mathrm{cm}$。
【答案】
9
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换、三角形周长计算
【点评】
本题是基础类题型，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是通过两次等量代换，将未知的三角形周长转化为已知的线段BC的长度，这类题是轴对称章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
10.请写出一对都是真命题的互逆命题：
两直线平行,同位角相等；同位角相等,两直线平行(答案不唯一)
.答案
10.两直线平行,同位角相等；同位角相等,两直线平行(答案不唯一)
解析
【分析】
首先明确两个核心概念：①互逆命题：把一个命题的题设和结论互换位置，得到的新命题就是原命题的逆命题，二者互为逆命题；②真命题：表述正确的命题为真命题。解题时只需从学过的定理中，找出一组互换题设和结论后仍然成立的命题即可，比如平行线的性质和判定定理就满足要求。
【解析】
根据互逆命题的定义：若两个命题的题设和结论正好相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题互为逆命题。
我们可以选取平行线相关定理举例：
原命题“两直线平行，同位角相等”是平行线的性质定理，属于真命题；将它的题设和结论互换，得到逆命题“同位角相等，两直线平行”，这是平行线的判定定理，也属于真命题，符合题干要求。除此之外也可选取其他符合要求的互逆真命题，答案不唯一。
【答案】
两直线平行,同位角相等；同位角相等,两直线平行(答案不唯一)
【知识点】
互逆命题；真命题；平行线的性质与判定
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查对互逆命题概念的理解和应用，作答时需同时满足“两个命题互为逆命题”“两个命题都是真命题”两个条件，熟练掌握所学定理的内容和结构即可顺利答题。
【难度系数】
0.8
首先明确两个核心概念：①互逆命题：把一个命题的题设和结论互换位置，得到的新命题就是原命题的逆命题，二者互为逆命题；②真命题：表述正确的命题为真命题。解题时只需从学过的定理中，找出一组互换题设和结论后仍然成立的命题即可，比如平行线的性质和判定定理就满足要求。
【解析】
根据互逆命题的定义：若两个命题的题设和结论正好相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题互为逆命题。
我们可以选取平行线相关定理举例：
原命题“两直线平行，同位角相等”是平行线的性质定理，属于真命题；将它的题设和结论互换，得到逆命题“同位角相等，两直线平行”，这是平行线的判定定理，也属于真命题，符合题干要求。除此之外也可选取其他符合要求的互逆真命题，答案不唯一。
【答案】
两直线平行,同位角相等；同位角相等,两直线平行(答案不唯一)
【知识点】
互逆命题；真命题；平行线的性质与判定
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查对互逆命题概念的理解和应用，作答时需同时满足“两个命题互为逆命题”“两个命题都是真命题”两个条件，熟练掌握所学定理的内容和结构即可顺利答题。
【难度系数】
0.8
11.如图，$AB=AD$，$∠ BAC=∠ DAC$，直线AC是线段BD的垂直平分线吗？请说明理由。
（第11题）
（第11题）答案
11.解:直线 AC 是线段 BD 的垂直平分线. 理由如下:
∵AB=AD,
∴点 A 在线段 BD 的垂直平分线上.
又∠BAC=∠DAC,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(SAS).
∴BC=DC.
∴点 C 也在线段 BD 的垂直平分线上,
即直线 AC 是线段 BD 的垂直平分线.
∵AB=AD,
∴点 A 在线段 BD 的垂直平分线上.
又∠BAC=∠DAC,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(SAS).
∴BC=DC.
∴点 C 也在线段 BD 的垂直平分线上,
即直线 AC 是线段 BD 的垂直平分线.
解析
【分析】
要判断直线AC是否为线段BD的垂直平分线，可依据线段垂直平分线的判定思路：只要证明直线上有两个点都到线段BD两端的距离相等，结合两点确定一条直线即可得结论。首先已知AB=AD，可直接推出点A在线段BD的垂直平分线上；接下来只需证明点C也满足到B、D的距离相等，也就是证BC=DC，结合已知的∠BAC=∠DAC、公共边AC，可通过SAS判定△ABC和△ADC全等，进而得到BC=DC，最终就能推出直线AC是BD的垂直平分线。
【解析】
直线AC是线段BD的垂直平分线，理由如下：
∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
又
∵∠BAC=∠DAC，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS）。
∴BC=DC。
∴点C也在线段BD的垂直平分线上。
∵两点确定一条直线，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线。
【答案】
直线AC是线段BD的垂直平分线。理由：由AB=AD得点A在线段BD的垂直平分线上，通过SAS证明△ABC≌△ADC可得BC=DC，故点C也在线段BD的垂直平分线上，两点确定一条直线，因此直线AC是线段BD的垂直平分线。
【知识点】
1.线段垂直平分线的判定
2.全等三角形的SAS判定
3.全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，解题核心是掌握线段垂直平分线的判定逻辑，结合全等三角形的判定与性质推导边相等，通过证明两个点都在目标线段的垂直平分线上得到最终结论，是轴对称章节的典型常规题型。
【难度系数】
0.8
要判断直线AC是否为线段BD的垂直平分线，可依据线段垂直平分线的判定思路：只要证明直线上有两个点都到线段BD两端的距离相等，结合两点确定一条直线即可得结论。首先已知AB=AD，可直接推出点A在线段BD的垂直平分线上；接下来只需证明点C也满足到B、D的距离相等，也就是证BC=DC，结合已知的∠BAC=∠DAC、公共边AC，可通过SAS判定△ABC和△ADC全等，进而得到BC=DC，最终就能推出直线AC是BD的垂直平分线。
【解析】
直线AC是线段BD的垂直平分线，理由如下：
∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
又
∵∠BAC=∠DAC，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS）。
∴BC=DC。
∴点C也在线段BD的垂直平分线上。
∵两点确定一条直线，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线。
【答案】
直线AC是线段BD的垂直平分线。理由：由AB=AD得点A在线段BD的垂直平分线上，通过SAS证明△ABC≌△ADC可得BC=DC，故点C也在线段BD的垂直平分线上，两点确定一条直线，因此直线AC是线段BD的垂直平分线。
【知识点】
1.线段垂直平分线的判定
2.全等三角形的SAS判定
3.全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，解题核心是掌握线段垂直平分线的判定逻辑，结合全等三角形的判定与性质推导边相等，通过证明两个点都在目标线段的垂直平分线上得到最终结论，是轴对称章节的典型常规题型。
【难度系数】
0.8
