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1.根据分式的基本性质，分式$\frac{-a}{a-b}$可变形为(
A.$\frac{a}{-a-b}$
B.$\frac{a}{a+b}$
C.$-\frac{a}{a-b}$
D.$-\frac{a}{a+b}$
C
).A.$\frac{a}{-a-b}$
B.$\frac{a}{a+b}$
C.$-\frac{a}{a-b}$
D.$-\frac{a}{a+b}$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查分式基本性质中的符号变形应用，解题思路如下：首先回忆分式符号变化的核心规则：分式的分子、分母、分式本身这三处的符号，任意改变其中两处，分式的大小保持不变。观察所给分式$\frac{-a}{a-b}$，仅分子带有负号，我们可以将分子的负号移动到分式整体的前方（即改变分子和分式本身两处的符号），变形后对照选项即可选出正确答案，变形过程中注意不要随意改动分母的运算符号。
【解析】
根据分式的符号变化规律：分式的分子、分母、分式本身的符号，同时改变其中任意两个，分式的值不变。
对$\frac{-a}{a-b}$进行变形：
$\frac{-a}{a-b}=\frac{(-1) × a}{a-b} = (-1) × \frac{a}{a-b} = -\frac{a}{a-b}$
对比各选项：
A选项分母为$-a-b$，与原式分母$a-b$不符，错误；
B选项分子去掉负号但分母变为$a+b$，不符合变形规则，错误；
C选项与推导结果一致，正确；
D选项分母变为$a+b$，不符合要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题是分式基本性质的基础练习题，主要考查分式符号变形的规则，做题时需注意区分分子、分母、分式本身三个位置的符号，不要随意改动分母内的运算符号，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.9
本题考查分式基本性质中的符号变形应用，解题思路如下：首先回忆分式符号变化的核心规则：分式的分子、分母、分式本身这三处的符号，任意改变其中两处，分式的大小保持不变。观察所给分式$\frac{-a}{a-b}$，仅分子带有负号，我们可以将分子的负号移动到分式整体的前方（即改变分子和分式本身两处的符号），变形后对照选项即可选出正确答案，变形过程中注意不要随意改动分母的运算符号。
【解析】
根据分式的符号变化规律：分式的分子、分母、分式本身的符号，同时改变其中任意两个，分式的值不变。
对$\frac{-a}{a-b}$进行变形：
$\frac{-a}{a-b}=\frac{(-1) × a}{a-b} = (-1) × \frac{a}{a-b} = -\frac{a}{a-b}$
对比各选项：
A选项分母为$-a-b$，与原式分母$a-b$不符，错误；
B选项分子去掉负号但分母变为$a+b$，不符合变形规则，错误；
C选项与推导结果一致，正确；
D选项分母变为$a+b$，不符合要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题是分式基本性质的基础练习题，主要考查分式符号变形的规则，做题时需注意区分分子、分母、分式本身三个位置的符号，不要随意改动分母内的运算符号，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.9
2.(2023,兰州,3)计算:$\dfrac{a^2 -5a}{a -5} = (\quad)$.
A.$a -5$
B.$a +5$
C.$5$
D.$a$
A.$a -5$
B.$a +5$
C.$5$
D.$a$
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这个分式化简题，首先观察分子的结构，分子是二次二项式，存在公因式$a$可提取，提取公因式后分子会出现和分母相同的因式，再结合分式的基本性质，在分母不为0的前提下约去公因式，即可得到化简结果。
【解析】
第一步：对分子进行提公因式因式分解
$a^2 -5a = a(a-5)$
第二步：将分解后的分子代入原式
$\dfrac{a^2 -5a}{a -5} = \dfrac{a(a-5)}{a-5}$
第三步：根据分式有意义的条件，分母$a-5≠0$，因此可以约去分子、分母的公因式$a-5$，化简结果为$a$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，分式基本性质，分式约分
【点评】
本题属于分式化简的基础题型，核心考查因式分解和分式约分的规则，解题时需注意约分的前提是分母不为0，掌握基础运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要解决这个分式化简题，首先观察分子的结构，分子是二次二项式，存在公因式$a$可提取，提取公因式后分子会出现和分母相同的因式，再结合分式的基本性质，在分母不为0的前提下约去公因式，即可得到化简结果。
【解析】
第一步：对分子进行提公因式因式分解
$a^2 -5a = a(a-5)$
第二步：将分解后的分子代入原式
$\dfrac{a^2 -5a}{a -5} = \dfrac{a(a-5)}{a-5}$
第三步：根据分式有意义的条件，分母$a-5≠0$，因此可以约去分子、分母的公因式$a-5$，化简结果为$a$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，分式基本性质，分式约分
【点评】
本题属于分式化简的基础题型，核心考查因式分解和分式约分的规则，解题时需注意约分的前提是分母不为0，掌握基础运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3.如果$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$，那么$\frac{a^2 - 4b^2}{a^2 - 2ab}$的结果是
4
。答案
3.4
解析
【分析】
本题是已知字母比例关系求分式值的题型，解题思路如下：首先需对所求分式进行因式分解，利用分式的基本性质约分化为最简形式，避免直接代入的复杂计算；再根据已知的a与b的比例关系，将一个字母用另一个字母表示（或设参数表示两个字母），代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
步骤1：化简所求分式
首先对分子、分母因式分解：
分子$a^2 - 4b^2$是平方差形式，分解得：$a^2 - 4b^2=(a-2b)(a+2b)$
分母$a^2 - 2ab$提取公因式$a$得：$a^2 - 2ab=a(a-2b)$
由分式有意义的条件可知$a≠0$且$a-2b≠0$，因此可以约去公因式$a-2b$，得：
$\frac{a^2 - 4b^2}{a^2 - 2ab}=\frac{(a-2b)(a+2b)}{a(a-2b)}=\frac{a+2b}{a}$
步骤2：结合已知比例关系代入计算
已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$，交叉相乘得$3a=2b$，即$\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$
将$\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$代入化简后的式子：
$\frac{a+2b}{a}=1 + 2×\frac{b}{a}=1 + 2×\frac{3}{2}=1+3=4$
（也可设$a=2k$，$b=3k$，$k≠0$，代入得$\frac{2k + 2×3k}{2k}=\frac{8k}{2k}=4$，结果一致）
【答案】
4
【知识点】
分式的约分、因式分解、比例的性质
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题型，解题核心是遵循“先化简、再求值”的原则，通过因式分解约分化简分式后再结合比例关系计算，能有效降低计算量，避免出错。
【难度系数】
0.8
本题是已知字母比例关系求分式值的题型，解题思路如下：首先需对所求分式进行因式分解，利用分式的基本性质约分化为最简形式，避免直接代入的复杂计算；再根据已知的a与b的比例关系，将一个字母用另一个字母表示（或设参数表示两个字母），代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
步骤1：化简所求分式
首先对分子、分母因式分解：
分子$a^2 - 4b^2$是平方差形式，分解得：$a^2 - 4b^2=(a-2b)(a+2b)$
分母$a^2 - 2ab$提取公因式$a$得：$a^2 - 2ab=a(a-2b)$
由分式有意义的条件可知$a≠0$且$a-2b≠0$，因此可以约去公因式$a-2b$，得：
$\frac{a^2 - 4b^2}{a^2 - 2ab}=\frac{(a-2b)(a+2b)}{a(a-2b)}=\frac{a+2b}{a}$
步骤2：结合已知比例关系代入计算
已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$，交叉相乘得$3a=2b$，即$\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$
将$\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$代入化简后的式子：
$\frac{a+2b}{a}=1 + 2×\frac{b}{a}=1 + 2×\frac{3}{2}=1+3=4$
（也可设$a=2k$，$b=3k$，$k≠0$，代入得$\frac{2k + 2×3k}{2k}=\frac{8k}{2k}=4$，结果一致）
【答案】
4
【知识点】
分式的约分、因式分解、比例的性质
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题型，解题核心是遵循“先化简、再求值”的原则，通过因式分解约分化简分式后再结合比例关系计算，能有效降低计算量，避免出错。
【难度系数】
0.8
4.从多项式$4x^2 - 4xy + y^2$，$2x + y$，$4x^2 - y^2$中任选两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母，组成一个分式，写出化简后的结果________。
答案
4.$\frac{1}{2x-y}$(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确分式的定义：分母中含有字母的式子是分式，本题给出的三个多项式都含有字母，任意选两个分别作为分子、分母都满足分式的要求。解题思路分三步：第一步先将三个多项式分别因式分解，方便后续约分；第二步任选两个多项式，一个作分子、一个作分母组成分式；第三步约去分子分母的公因式，得到最简结果即可，答案不唯一。
【解析】
首先对三个多项式因式分解：
1. $4x^2 - 4xy + y^2=(2x-y)^2$（运用完全平方公式）
2. $2x+y$为最简整式，无法继续因式分解
3. $4x^2 - y^2=(2x+y)(2x-y)$（运用平方差公式）
示例：选择$2x+y$作为分子，$4x^2 - y^2$作为分母，组成分式为$\frac{2x+y}{4x^2 - y^2}$，
化简过程：$\frac{2x+y}{4x^2 - y^2}=\frac{2x+y}{(2x+y)(2x-y)}=\frac{1}{2x-y}$（需满足$2x+y≠0$，约去公因式$2x+y$）
（也可选择其他组合，如选$4x^2-y^2$为分子、$2x+y$为分母，化简得$2x-y$，结果合理即可）
【答案】
$\frac{1}{2x-y}$（答案不唯一）
【知识点】
分式的定义；因式分解；分式约分
【点评】
本题为开放性试题，考查对分式相关概念的掌握和因式分解的应用，只要选取组合符合分式要求，化简正确即可得分，解题时注意约分要彻底。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确分式的定义：分母中含有字母的式子是分式，本题给出的三个多项式都含有字母，任意选两个分别作为分子、分母都满足分式的要求。解题思路分三步：第一步先将三个多项式分别因式分解，方便后续约分；第二步任选两个多项式，一个作分子、一个作分母组成分式；第三步约去分子分母的公因式，得到最简结果即可，答案不唯一。
【解析】
首先对三个多项式因式分解：
1. $4x^2 - 4xy + y^2=(2x-y)^2$（运用完全平方公式）
2. $2x+y$为最简整式，无法继续因式分解
3. $4x^2 - y^2=(2x+y)(2x-y)$（运用平方差公式）
示例：选择$2x+y$作为分子，$4x^2 - y^2$作为分母，组成分式为$\frac{2x+y}{4x^2 - y^2}$，
化简过程：$\frac{2x+y}{4x^2 - y^2}=\frac{2x+y}{(2x+y)(2x-y)}=\frac{1}{2x-y}$（需满足$2x+y≠0$，约去公因式$2x+y$）
（也可选择其他组合，如选$4x^2-y^2$为分子、$2x+y$为分母，化简得$2x-y$，结果合理即可）
【答案】
$\frac{1}{2x-y}$（答案不唯一）
【知识点】
分式的定义；因式分解；分式约分
【点评】
本题为开放性试题，考查对分式相关概念的掌握和因式分解的应用，只要选取组合符合分式要求，化简正确即可得分，解题时注意约分要彻底。
【难度系数】
0.8
5.已知$\frac{ab}{a+b}=\frac{1}{3}$，$\frac{bc}{b+c}=\frac{1}{4}$，$\frac{ac}{a+c}=\frac{1}{5}$，求$\frac{abc}{ab+ac+bc}$的值.
答案
5.解:将已知条件的等号两边分别取倒数,得
$\begin{cases}\frac{a+b}{ab}=3,\\\frac{b+c}{bc}=4,\\\frac{a+c}{ac}=5,\end{cases}$即$\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=3,①\\\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4,②\\\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=5,③\end{cases}$
由①+②+③,得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$,
∴$\frac{ab+ac+bc}{abc}=6$.
∴$\frac{abc}{ab+ac+bc}=\frac{1}{6}$.
$\begin{cases}\frac{a+b}{ab}=3,\\\frac{b+c}{bc}=4,\\\frac{a+c}{ac}=5,\end{cases}$即$\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=3,①\\\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4,②\\\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=5,③\end{cases}$
由①+②+③,得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$,
∴$\frac{ab+ac+bc}{abc}=6$.
∴$\frac{abc}{ab+ac+bc}=\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
观察已知等式的结构，分子为两个字母的乘积、分母为两个字母的和，直接求解a、b、c的具体值步骤繁琐。我们可以利用分式的性质对已知等式两边同时取倒数，将等式拆分为两个单位分式的和，得到关于$\frac{1}{a}$、$\frac{1}{b}$、$\frac{1}{c}$的三个关系式，相加后可得到三个单位分式的总和；再对所求代数式取倒数，可发现其正好等于三个单位分式的和，最后再取倒数即可得到结果。
【解析】
将已知条件的等号两边分别取倒数，得
$\begin{cases}\frac{a+b}{ab}=3,\\\frac{b+c}{bc}=4,\\\frac{a+c}{ac}=5,\end{cases}$即$\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=3,①\\\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4,②\\\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=5,③\end{cases}$
由①+②+③，得$2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=12$，即$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$，
∴$\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=6$，
∴$\frac{abc}{ab+ac+bc}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
分式的基本性质，倒数的运算，代数式化简求值
【点评】
本题采用取倒数的转化技巧，将复杂的分式关系转化为简单的倒数和关系，无需单独求解a、b、c的具体值，运用整体代换的思想即可快速求解，是分式化简求值类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.6
观察已知等式的结构，分子为两个字母的乘积、分母为两个字母的和，直接求解a、b、c的具体值步骤繁琐。我们可以利用分式的性质对已知等式两边同时取倒数，将等式拆分为两个单位分式的和，得到关于$\frac{1}{a}$、$\frac{1}{b}$、$\frac{1}{c}$的三个关系式，相加后可得到三个单位分式的总和；再对所求代数式取倒数，可发现其正好等于三个单位分式的和，最后再取倒数即可得到结果。
【解析】
将已知条件的等号两边分别取倒数，得
$\begin{cases}\frac{a+b}{ab}=3,\\\frac{b+c}{bc}=4,\\\frac{a+c}{ac}=5,\end{cases}$即$\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=3,①\\\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4,②\\\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=5,③\end{cases}$
由①+②+③，得$2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=12$，即$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$，
∴$\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=6$，
∴$\frac{abc}{ab+ac+bc}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
分式的基本性质，倒数的运算，代数式化简求值
【点评】
本题采用取倒数的转化技巧，将复杂的分式关系转化为简单的倒数和关系，无需单独求解a、b、c的具体值，运用整体代换的思想即可快速求解，是分式化简求值类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.6
