1.将分式$\frac{2x}{x-y}$与$\frac{y}{3x-3y}$通分，最简公分母是().

A.$3(x-y)$
B.$3(x-y)^2$
C.$x-y$
D.$3x-y$

1.A

【分析】
要确定两个分式的最简公分母，需按以下思路解题：第一步先对每个分式的分母进行因式分解，第二步按照最简公分母的确定规则计算：①系数取各分母系数的最小公倍数；②相同因式取最高次幂；③不同因式全部保留。先把第二个分母3x-3y因式分解，再和第一个分母x-y对比，按规则计算即可得到结果。
【解析】
解：先对两个分式的分母进行因式分解：
1. 分式$\frac{2x}{x-y}$的分母为$x-y$，不能再分解；
2. 分式$\frac{y}{3x-3y}$的分母$3x-3y$，提取公因式3可得$3(x-y)$。
接下来确定最简公分母：
系数部分：两个分母的系数分别为1和3，最小公倍数是3；
因式部分：两个分母都含有因式$(x-y)$，最高次为1次。
因此最简公分母为$3×(x-y)=3(x-y)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
最简公分母的确定；提公因式法因式分解；分式通分
【点评】
本题考查通分的基础知识点，解题关键是先将各分母因式分解，再按规则确定最简公分母，属于基础题型，掌握方法即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2.将分式$\frac{1}{xy},\frac{y}{4x^3},\frac{3x}{2x^2y}$通分，最简公分母是（）。

A.$x^2y$
B.$2x^3y$
C.$4x^2y$
D.$4x^3y$

2.D

【分析】
要确定几个分式的最简公分母，需遵循固定的三步求解规则：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母，连同它的指数作为公分母的一个因式；③同底数的幂取次数最高的。我们可以按照这个步骤，分别分析三个分式分母的系数、所含字母及对应次数，最终组合得到最简公分母。
【解析】
首先列出三个分式的分母分别为：$xy$、$4x^3$、$2x^2y$。
1. 确定系数的最小公倍数：三个分母的系数分别为1、4、2，计算得最小公倍数是4；
2. 确定x的最高次幂：三个分母中x的次数依次为1、3、2，最高次为3，因此取因式$x^3$；
3. 确定y的最高次幂：三个分母中y的次数依次为1、0（第二个分母不含y，视为y的0次）、1，最高次为1，因此取因式$y$；
将以上三部分相乘，得到最简公分母为$4 × x^3 × y = 4x^3y$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式通分 2. 最简公分母的确定
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查最简公分母的确定方法，是后续学习分式加减、分式化简的必备基础。解题时注意不要漏看分母中的字母、不要选错系数的最小公倍数或字母的最高次幂即可正确求解。
【难度系数】
0.85

3.将分式$\frac{1}{2x},\frac{5x-1}{4(m-n)},\frac{3}{x}$通分,最简公分母是().

A.$4(m-n)x$
B.$2(m-n)x^2$
C.$\frac{1}{4x^2(m-n)}$
D.$4(m-n)x^2$

3.A

【分析】
要确定几个分式的最简公分母，需按照固定思路分步推导：第一步找各分母系数的最小公倍数；第二步找出所有分母中出现的不同的字母或含字母的整式；第三步相同的因式取次数最高的，最后把这几部分相乘就是最简公分母。本题先列出三个分式的分母分别为2x、4(m-n)、x，再按上述步骤计算即可。
【解析】
首先明确三个分式的分母依次为：$2x$、$4(m-n)$、$x$。
1. 确定系数的最小公倍数：分母的系数分别是2、4、1，最小公倍数为4；
2. 提取所有不同的因式：分母中出现的独立因式有$x$、$(m-n)$；
3. 取各因式的最高次幂：$x$的最高次数为1，$(m-n)$的最高次数为1；
将以上部分相乘得最简公分母为$4 × x × (m-n) = 4(m-n)x$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
最简公分母的确定，分式通分
【点评】
本题是分式通分的基础题型，核心考查最简公分母的确定方法，熟练掌握系数取最小公倍数、所有不同因式全取、相同因式取最高次的规则即可准确解题。
【难度系数】
0.8

4.如果分式$\frac{3a}{a^2 - b^2}$的分母经过通分后变成$2(a - b)^2(a + b)$，那么分子应变为()。

A.$6a(a - b)^2(a + b)$
B.$2(a - b)$
C.$6a(a - b)$
D.$6a(a + b)$

4.C

【分析】
解题的核心依据是分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。解题思路如下：第一步先对原分母做因式分解，第二步对比通分后的新分母，计算出原分母乘了哪个整式，第三步将原分子乘同一个整式，即可得到变化后的分子。
【解析】
1. 对原分式的分母因式分解：
由平方差公式可得，原分母$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
2. 计算原分母变为新分母时乘的整式：
已知通分后的分母为$2(a - b)^2(a + b)$，因此原分母乘的整式为：
$\frac{2(a - b)^2(a + b)}{(a - b)(a + b)} = 2(a - b)$
3. 根据分式基本性质计算新分子：
分子需要和分母乘同一个不为0的整式，因此变化后的分子为：
$3a × 2(a - b) = 6a(a - b)$
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质，平方差公式，分式通分
【点评】
本题考查分式通分的基础应用，解题关键是找准通分前后分母的变化倍数，结合分式基本性质计算即可，属于分式章节的常规基础题。
【难度系数】
0.8

5.将分式$\frac{4a}{5b^2c}$，$\frac{3c}{4a^2b}$，$\frac{5b}{2ac^2}$通分，最简公分母是（）。

A.$5abc$
B.$5a^2b^2c^2$
C.$20a^2b^2c^2$
D.$40a^2b^2c^2$

5.C

【分析】
要确定几个分式的最简公分母，需遵循以下思考步骤：首先回忆最简公分母的确定规则：①先取各分母系数的最小公倍数；②对于分母中出现的所有字母，相同字母取次数最高的幂，不同字母连同它的指数都要保留。接下来分别提取三个分式的分母，按照规则逐步计算即可得到结果。
【解析】
首先写出三个分式的分母，分别为：$5b^2c$、$4a^2b$、$2ac^2$。
1. 计算分母系数的最小公倍数：5、4、2的最小公倍数是20；
2. 确定字母部分的因式：
字母$a$在各分母中的最高次幂为$a^2$；
字母$b$在各分母中的最高次幂为$b^2$；
字母$c$在各分母中的最高次幂为$c^2$；
3. 将系数与字母最高次幂相乘，得到最简公分母为$20a^2b^2c^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 分式通分
【点评】
本题是分式运算的基础题，核心考查最简公分母的判定规则，掌握“系数取最小公倍数、同底数幂取最高次”的方法就能快速解题，是后续分式加减运算的重要基础。
【难度系数】
0.8

6.把$\frac{1}{ab}$和$\frac{2a - b}{a^2}$化成分母相同的分式：$\frac{1}{ab}=$，$\frac{2a - b}{a^2}=$。

6.$\frac{a}{a^2b}$；$\frac{2ab-b^2}{a^2b}$

【分析】
这道题考查分式的通分，解题思路分为两步：首先确定两个分式的最简公分母，观察两个分母$ab$和$a^2$，相同字母$a$的最高次幂是2，独有字母$b$的最高次幂是1，因此最简公分母为$a^2b$；再根据分式的基本性质，将两个分式的分子、分母同时乘相应的整式，把分母统一为$a^2b$即可。
【解析】
1. 确定最简公分母：两个分式的分母为$ab$和$a^2$，因此最简公分母是$a^2b$。
2. 改写$\frac{1}{ab}$：分母$ab$要变为$a^2b$，需要乘$a$，根据分式的基本性质，分子也要同时乘$a$，即：
$\frac{1}{ab}=\frac{1× a}{ab× a}=\frac{a}{a^2b}$
3. 改写$\frac{2a - b}{a^2}$：分母$a^2$要变为$a^2b$，需要乘$b$，根据分式的基本性质，分子的每一项都要同时乘$b$，即：
$\frac{2a - b}{a^2}=\frac{(2a - b)× b}{a^2× b}=\frac{2ab - b^2}{a^2b}$
【答案】
$\frac{a}{a^2b}$；$\frac{2ab-b^2}{a^2b}$
【知识点】
分式的基本性质，通分，最简公分母确定
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心是正确找到最简公分母，变形时要注意分子需和分母乘同一个不为0的整式，若分子是多项式，乘整式时不要漏乘项，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8

7.把分式$\frac{0.2x - 0.3y}{0.1x + 0.2y}$的分子与分母中字母前面的系数都化为整数，结果等于。

7.$\frac{2x-3y}{x+2y}$

【分析】
要将分式分子、分母的系数化为整数，需利用分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。观察分子和分母的系数都是一位小数，所以只需给分子、分母同时乘10（10≠0，满足分式基本性质的要求），再利用乘法分配律展开计算即可，注意要乘遍分子、分母的每一项，避免漏乘。
【解析】
根据分式的基本性质，给分式的分子和分母同时乘以10（10≠0，分式的值不变）：
$\frac{0.2x - 0.3y}{0.1x + 0.2y} = \frac{(0.2x - 0.3y)×10}{(0.1x + 0.2y)×10}$
分别计算分子和分母：
分子：$(0.2x - 0.3y)×10 = 0.2x×10 - 0.3y×10 = 2x - 3y$
分母：$(0.1x + 0.2y)×10 = 0.1x×10 + 0.2y×10 = x + 2y$
因此化简结果为$\frac{2x-3y}{x+2y}$。
【答案】
$\frac{2x-3y}{x+2y}$
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 乘法分配律
【点评】
本题是分式化简的基础题型，核心考查分式基本性质的应用，解题时需注意两点：一是分子分母要同时乘同一个不为0的数，保证分式值不变；二是乘的时候要覆盖分子分母的每一项，避免出现漏乘某一项的错误。
【难度系数】
0.9

8.将分式$\frac{1}{x^2 -4}$与$\frac{3}{4-2x}$通分得.

8.$\frac{2}{2x^2-8}$，$\frac{-3x-6}{2(x+2)(x-2)}$

【分析】
通分的核心是先确定两个分式的最简公分母，解题思路分为三步：①先对两个分式的分母分别因式分解；②根据分解结果，取各分母系数的最小公倍数、所有不同因式的最高次幂的乘积，得到最简公分母；③依据分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘对应的整式，使两个分式的分母都变为最简公分母即可。
【解析】
1. 因式分解分母：
第一个分式的分母：$x^2-4=(x+2)(x-2)$
第二个分式的分母：$4-2x=-2(x-2)$
2. 确定最简公分母：
系数取1和2的最小公倍数2，因式取$(x+2)$、$(x-2)$，因此最简公分母为$2(x+2)(x-2)=2x^2-8$
3. 对第一个分式变形：
根据分式的基本性质，分子分母同乘2：
$\frac{1}{x^2-4}=\frac{1×2}{(x^2-4)×2}=\frac{2}{2x^2-8}$
4. 对第二个分式变形：
要使分母变为$2(x+2)(x-2)$，需给分子分母同乘$-(x+2)$抵消分母的负号、补全$(x+2)$因式：
$\frac{3}{4-2x}=\frac{3×[-(x+2)]}{(4-2x)×[-(x+2)]}=\frac{-3x-6}{2(x+2)(x-2)}$
【答案】
$\frac{2}{2x^2-8}$，$\frac{-3x-6}{2(x+2)(x-2)}$
【知识点】
分式通分，因式分解，分式的基本性质
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题的关键是先对分母因式分解再确定最简公分母，易错点是处理含负号的分母时，容易忘记分子也要同步变号，计算时需注意符号变化。
【难度系数】
0.7

9.将$\frac{1}{a+2b}$与$\frac{5}{a-2b}$通分，最简公分母是________，则$\frac{1}{a+2b}=\frac{M}{a^2-4b^2}$，$\frac{5}{a-2b}=\frac{N}{a^2-4b^2}$，其中$M=\_\_\_\_\_\_$，$N=\_\_\_\_\_\_$。

9.$(a+2b)(a-2b)$；$a-2b$；$5a+10b$

【分析】
解题时先回忆通分的步骤：第一步确定最简公分母，对于两个多项式分母，先判断是否有公因式，本题中两个分母$a+2b$和$a-2b$没有公因式，因此最简公分母为二者的乘积。接下来求$M$和$N$时，依据分式的基本性质：分式的分子分母同乘一个不为0的整式，分式的值不变，观察每个分母乘哪个整式得到公分母，分子就乘相同的整式，计算出对应的分子即可。
【解析】
1. 确定最简公分母：
两个分式的分母分别为$a+2b$和$a-2b$，二者无公因式，因此最简公分母为$(a+2b)(a-2b)$，恰好等于$a^2-4b^2$。
2. 求$M$的值：
将$\frac{1}{a+2b}$的分母转化为$a^2-4b^2$，需给分母乘$(a-2b)$，根据分式的基本性质，分子1也要乘$(a-2b)$，因此$M=1×(a-2b)=a-2b$。
3. 求$N$的值：
将$\frac{5}{a-2b}$的分母转化为$a^2-4b^2$，需给分母乘$(a+2b)$，根据分式的基本性质，分子5也要乘$(a+2b)$，因此$N=5×(a+2b)=5a+10b$。
【答案】
$(a+2b)(a-2b)$；$a-2b$；$5a+10b$
【知识点】
最简公分母确定；分式的基本性质；整式乘法运算
【点评】
本题属于分式通分的基础应用题，重点考察对通分规则和分式基本性质的掌握，计算时注意分子乘多项式时要逐项相乘，避免漏乘导致出错。
【难度系数】
0.8

10.分式$\frac{1}{a^2 -1}$，$\frac{2}{a^2 -a}$，$\frac{1}{2a^2 -4a +2}$的最简公分母是。

10.$2a(a+1)(a-1)^2$

【分析】
要求几个分式的最简公分母，解题思路分为两步：第一步先将每个分式的分母进行因式分解，注意分解要彻底；第二步按照最简公分母的确定规则计算：取各分母系数的最小公倍数，再取所有出现过的不同因式的最高次幂，将它们相乘得到的乘积就是最简公分母。
【解析】
先对三个分式的分母分别因式分解：
1. 对分母$a^2 -1$，利用平方差公式分解：$a^2 -1=(a+1)(a-1)$；
2. 对分母$a^2 -a$，提取公因式$a$分解：$a^2 -a=a(a-1)$；
3. 对分母$2a^2 -4a +2$，先提取公因式2，再利用完全平方公式分解：$2a^2 -4a +2=2(a^2-2a+1)=2(a-1)^2$。
接下来确定最简公分母：
系数部分：三个分母的系数分别为1、1、2，最小公倍数是2；
因式部分：出现的不同因式有$a$、$(a+1)$、$(a-1)$，对应最高次幂分别为$a^1$、$(a+1)^1$、$(a-1)^2$。
将系数最小公倍数和各因式最高次幂相乘，得最简公分母为$2 × a × (a+1) × (a-1)^2=2a(a+1)(a-1)^2$。
【答案】
$2a(a+1)(a-1)^2$
【知识点】
因式分解；最简公分母的确定
【点评】
本题考查最简公分母的求解，核心是先将各分母彻底因式分解，再按照规则选取系数最小公倍数和各因式的最高次幂相乘，解题时需注意不要漏项，也不要错判因式的最高次数。
【难度系数】
0.7

11.求下列各组分式的最简公分母.
(1)$\frac{1}{8a}$与$\frac{1}{6b}$;
(2)$\frac{1}{3(x+2)}$与$\frac{1}{x-2}$;
(3)$\frac{1}{4x^3y}$与$\frac{1}{6xyz}$;
(4)$\frac{1}{(m+5)}$$\frac{1}{2(m+5)}$.

11.解:(1)$\frac{1}{8a}$与$\frac{1}{6b}$的最简公分母是 24ab.
(2)$\frac{1}{3(x+2)}$与$\frac{1}{x-2}$的最简公分母是 $3(x+2)·(x-2)$.
(3)$\frac{1}{4x^3y}$与$\frac{1}{6xyz}$的最简公分母是 $12x^3yz$.
(4)$\frac{1}{(m+5)^2}$与$\frac{1}{2(m+5)}$的最简公分母是$2(m+5)^2$.

【分析】
求几个分式的最简公分母，核心是找到能同时被所有分母整除的最小整式，可按三步思考求解：第一步，计算各分母系数的最小公倍数；第二步，找出所有分母中出现过的含字母的因式（包括单项式、多项式因式）；第三步，相同的因式取次数最高的，最后将得到的系数和所有因式相乘，即为最简公分母，每小问都按该步骤操作即可。
【解析】
(1) 对于$\frac{1}{8a}$和$\frac{1}{6b}$：
分母系数8和6的最小公倍数是24，出现的字母因式为a、b，均为1次，因此最简公分母为$24ab$；
(2) 对于$\frac{1}{3(x+2)}$和$\frac{1}{x-2}$：
分母系数3和1的最小公倍数是3，出现的多项式因式为$(x+2)$、$(x-2)$，均为1次，因此最简公分母为$3(x+2)(x-2)$；
(3) 对于$\frac{1}{4x^3y}$和$\frac{1}{6xyz}$：
分母系数4和6的最小公倍数是12，出现的字母因式为x、y、z，其中x的最高次为3次，y、z均为1次，因此最简公分母为$12x^3yz$；
(4) 对于$\frac{1}{(m+5)^2}$和$\frac{1}{2(m+5)}$：
分母系数1和2的最小公倍数是2，出现的多项式因式为$(m+5)$，最高次为2次，因此最简公分母为$2(m+5)^2$。
【答案】
(1)$\frac{1}{8a}$与$\frac{1}{6b}$的最简公分母是$24ab$；
(2)$\frac{1}{3(x+2)}$与$\frac{1}{x-2}$的最简公分母是$3(x+2)(x-2)$；
(3)$\frac{1}{4x^3y}$与$\frac{1}{6xyz}$的最简公分母是$12x^3yz$；
(4)$\frac{1}{(m+5)^2}$与$\frac{1}{2(m+5)}$的最简公分母是$2(m+5)^2$。
【知识点】
最简公分母确定、最小公倍数计算、因式识别
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查最简公分母的确定规则，只要掌握“系数取最小公倍数、相同因式取最高次幂、所有出现过的因式全部保留”的原则就能准确解题，该知识点是后续分式通分、分式加减运算的重要基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85