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7. 用数字0,1,2,3组成个位数字与十位数字不同的两位数,其中是偶数的概率为
$\frac{5}{9}$
.答案
画树状图如下：
由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中是偶数的结果有5种,所以是偶数的概率为$\frac{5}{9}$.
解析
【分析】
要解这道题，首先明确两个核心限制条件：一是组成的数是两位数，因此十位数字不能为0，只能取1、2、3；二是个位数字与十位数字不同。我们可以通过树状图法列举出所有符合要求的两位数，得到所有等可能的总结果数；再根据偶数“个位为0或2”的特征，筛选出符合条件的结果数，最后用“符合条件的结果数÷总等可能结果数”即可求出对应的概率。
【解析】
解：首先明确组成两位数时，十位只能取1、2、3，个位需与十位数字不同，画树状图列举所有可能结果：
由树状图可得，共有9种等可能的结果，分别为10、12、13、20、21、23、30、31、32。
其中偶数要求个位为0或2，符合条件的结果有10、12、20、30、32，共5种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\frac{5}{9}$。
【答案】
画树状图如下：
由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中是偶数的结果有5种,所以是偶数的概率为$\frac{5}{9}$.
【知识点】
树状图法求概率、概率公式、偶数的判定
【点评】
本题考查列举法求概率的应用，解题时要注意“两位数的十位不能为0”这一隐含限制条件，避免列举出无效结果，掌握树状图的规范画法和概率的基本计算方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先明确两个核心限制条件：一是组成的数是两位数，因此十位数字不能为0，只能取1、2、3；二是个位数字与十位数字不同。我们可以通过树状图法列举出所有符合要求的两位数，得到所有等可能的总结果数；再根据偶数“个位为0或2”的特征，筛选出符合条件的结果数，最后用“符合条件的结果数÷总等可能结果数”即可求出对应的概率。
【解析】
解：首先明确组成两位数时，十位只能取1、2、3，个位需与十位数字不同，画树状图列举所有可能结果：
由树状图可得，共有9种等可能的结果，分别为10、12、13、20、21、23、30、31、32。
其中偶数要求个位为0或2，符合条件的结果有10、12、20、30、32，共5种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\frac{5}{9}$。
【答案】
画树状图如下：
由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中是偶数的结果有5种,所以是偶数的概率为$\frac{5}{9}$.
【知识点】
树状图法求概率、概率公式、偶数的判定
【点评】
本题考查列举法求概率的应用，解题时要注意“两位数的十位不能为0”这一隐含限制条件，避免列举出无效结果，掌握树状图的规范画法和概率的基本计算方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
8. 易错题 用如图所示的两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是
$\frac{1}{3}$
。答案
把题图中左图四等分,则可写成一个红和三个蓝.画树状图如下：
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中配成紫色的结果有4种,故配成紫色的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
要解决配紫色的概率问题，首先明确配紫色的条件为“一个转盘转出红色，另一个转出蓝色”。首先观察两个转盘的区域占比：左侧转盘红色区域圆心角为90°，蓝色为270°，可将左侧转盘划分为4个等面积的区域（1红、3蓝），得到4种等可能结果；右侧转盘红、黄、蓝区域圆心角均为120°，本身对应3种等可能结果。接下来通过树状图列举出所有等可能的结果，再统计符合配紫色条件的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
首先将左侧转盘四等分，得到1个红色、3个蓝色共4种等可能的结果，右侧转盘有红、黄、蓝3种等可能的结果。
画树状图如下：
由树状图可知，共有$4×3=12$种等可能的结果。
其中满足“一个转出红色，另一个转出蓝色”的配紫色结果共4种。
因此配成紫色的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
把题图中左图四等分,则可写成一个红和三个蓝.画树状图如下：
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中配成紫色的结果有4种,故配成紫色的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.
【知识点】
等可能事件概率，树状图列举法，概率实际应用
【点评】
本题是概率计算的常见易错题，解题核心是先将面积不等的转盘区域转化为等可能的计数单元，避免直接按颜色分类忽略面积占比导致计数错误，再通过树状图清晰列举所有结果即可求解，做题时注意不要漏记“左盘蓝、右盘红”的配紫情况。
【难度系数】
0.6
要解决配紫色的概率问题，首先明确配紫色的条件为“一个转盘转出红色，另一个转出蓝色”。首先观察两个转盘的区域占比：左侧转盘红色区域圆心角为90°，蓝色为270°，可将左侧转盘划分为4个等面积的区域（1红、3蓝），得到4种等可能结果；右侧转盘红、黄、蓝区域圆心角均为120°，本身对应3种等可能结果。接下来通过树状图列举出所有等可能的结果，再统计符合配紫色条件的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
首先将左侧转盘四等分，得到1个红色、3个蓝色共4种等可能的结果，右侧转盘有红、黄、蓝3种等可能的结果。
画树状图如下：
由树状图可知，共有$4×3=12$种等可能的结果。
其中满足“一个转出红色，另一个转出蓝色”的配紫色结果共4种。
因此配成紫色的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
把题图中左图四等分,则可写成一个红和三个蓝.画树状图如下：
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中配成紫色的结果有4种,故配成紫色的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.
【知识点】
等可能事件概率，树状图列举法，概率实际应用
【点评】
本题是概率计算的常见易错题，解题核心是先将面积不等的转盘区域转化为等可能的计数单元，避免直接按颜色分类忽略面积占比导致计数错误，再通过树状图清晰列举所有结果即可求解，做题时注意不要漏记“左盘蓝、右盘红”的配紫情况。
【难度系数】
0.6
9. 甲、乙两位同学相约打乒乓球.
(1)有款式完全相同的4个乒乓球拍(分别记为A,B,C,D),若甲先从中随机选取1个,乙再从余下的球拍中随机选取1个,求乙选中球拍C的概率.
(2)双方约定:两人各投掷一枚质地均匀的硬币,如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上,那么甲先发球,否则乙先发球.这个约定是否公平?为什么?
(1)有款式完全相同的4个乒乓球拍(分别记为A,B,C,D),若甲先从中随机选取1个,乙再从余下的球拍中随机选取1个,求乙选中球拍C的概率.
(2)双方约定:两人各投掷一枚质地均匀的硬币,如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上,那么甲先发球,否则乙先发球.这个约定是否公平?为什么?
答案
(1)画树状图如下：
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中乙选中球拍C的结果有3种,所以乙选中球拍C的概率为$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$.
(2)公平.理由如下：
画树状图如下：
由树状图可知,共有4种等可能的结果,其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上的结果有2种,
所以$P$(甲先发球)$=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,$P$(乙先发球)$=\frac{4-2}{4}=\frac{1}{2}$.
因为$P$(甲先发球)$=P$(乙先发球),所以这个约定公平.
解析
【分析】
(1) 本问是不放回抽取的概率问题，解题时先通过树状图列举出甲先选、乙后选的所有等可能结果，再从中找出乙选中球拍C的结果数，最后根据概率公式计算即可。
(2) 判断约定是否公平，需先计算甲先发球和乙先发球的概率，若二者概率相等则约定公平，否则不公平。解题时先通过树状图列举出抛掷两枚硬币的所有等可能结果，分别计算两人先发球的概率，比较大小即可判断。
【解析】
(1) 画树状图如下：
由树状图可知，所有选取结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中乙选中球拍C的结果有3种，分别是（A,C）、（B,C）、（D,C），
因此乙选中球拍C的概率为$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
(2) 这个约定公平，理由如下：
画树状图如下：
由树状图可知，抛掷两枚硬币的所有结果共有4种，且每种结果出现的可能性相等，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上的结果有2种，即（正，正）、（反，反），
因此$P$(甲先发球)$=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
$P$(乙先发球)$=\frac{4-2}{4}=\frac{1}{2}$，
因为$P$(甲先发球)$=P$(乙先发球)，所以这个约定公平。
【答案】
(1)画树状图如下：
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中乙选中球拍C的结果有3种,所以乙选中球拍C的概率为$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$.
(2)公平.理由如下：
画树状图如下：
由树状图可知,共有4种等可能的结果,其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上的结果有2种,
所以$P$(甲先发球)$=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,$P$(乙先发球)$=\frac{4-2}{4}=\frac{1}{2}$.
因为$P$(甲先发球)$=P$(乙先发球),所以这个约定公平.
【知识点】
树状图法求概率，概率公式，游戏公平性判断
【点评】
本题主要考查概率的计算与游戏公平性的判断，解题的核心是正确列举出所有等可能的事件结果，明确概率为所求情况数与总情况数的比值，游戏公平的判断依据是双方对应的事件发生概率相等。
【难度系数】
0.8
(1) 本问是不放回抽取的概率问题，解题时先通过树状图列举出甲先选、乙后选的所有等可能结果，再从中找出乙选中球拍C的结果数，最后根据概率公式计算即可。
(2) 判断约定是否公平，需先计算甲先发球和乙先发球的概率，若二者概率相等则约定公平，否则不公平。解题时先通过树状图列举出抛掷两枚硬币的所有等可能结果，分别计算两人先发球的概率，比较大小即可判断。
【解析】
(1) 画树状图如下：
由树状图可知，所有选取结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中乙选中球拍C的结果有3种，分别是（A,C）、（B,C）、（D,C），
因此乙选中球拍C的概率为$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
(2) 这个约定公平，理由如下：
画树状图如下：
由树状图可知，抛掷两枚硬币的所有结果共有4种，且每种结果出现的可能性相等，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上的结果有2种，即（正，正）、（反，反），
因此$P$(甲先发球)$=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
$P$(乙先发球)$=\frac{4-2}{4}=\frac{1}{2}$，
因为$P$(甲先发球)$=P$(乙先发球)，所以这个约定公平。
【答案】
(1)画树状图如下：
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中乙选中球拍C的结果有3种,所以乙选中球拍C的概率为$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$.
(2)公平.理由如下：
画树状图如下：
由树状图可知,共有4种等可能的结果,其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上的结果有2种,
所以$P$(甲先发球)$=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,$P$(乙先发球)$=\frac{4-2}{4}=\frac{1}{2}$.
因为$P$(甲先发球)$=P$(乙先发球),所以这个约定公平.
【知识点】
树状图法求概率，概率公式，游戏公平性判断
【点评】
本题主要考查概率的计算与游戏公平性的判断，解题的核心是正确列举出所有等可能的事件结果，明确概率为所求情况数与总情况数的比值，游戏公平的判断依据是双方对应的事件发生概率相等。
【难度系数】
0.8
10. 应用意识 [2025绥化中考]2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高$x$(单位:cm)数据分为$A,B,C,D,E$五组，并制成了如下不完整的统计图表。
根据以上信息回答:
(1)这次抽查的志愿者共有
(2)若$B$组的4人中,男女志愿者各有2人,从中随机抽取2人担任组长,请用列表法或画树状图法,求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率.
根据以上信息回答:
(1)这次抽查的志愿者共有
40
人,扇形统计图中$A$的圆心角度数是$45°$
,请补全条形统计图;(2)若$B$组的4人中,男女志愿者各有2人,从中随机抽取2人担任组长,请用列表法或画树状图法,求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率.
答案
(1)40 $45°$
这次抽查的志愿者共有$12÷30\% =40$(人),扇形统计图中A的圆心角度数是$360°×\frac{5}{40}=45°$.
C组共有$40-5-4-12-9=10$(人),补全的条形统计图如下：
(2)记2名男志愿者分别为男₁,男₂,2名女志愿者分别为女₁,女₂.
根据题意,画树状图如下：
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中刚好抽中两名女志愿者担任组长的结果有2种,
所以$P$(刚好抽中2名女志愿者担任组长)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
或列表如下：
| | 男₁ | 男₂ | 女₁ | 女₂ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 男₁ | | (男₂,男₁) | (女₁,男₁) | (女₂,男₁) |
| 男₂ | (男₁,男₂) | | (女₁,男₂) | (女₂,男₂) |
| 女₁ | (男₁,女₁) | (男₂,女₁) | | (女₂,女₁) |
| 女₂ | (男₁,女₂) | (男₂,女₂) | (女₁,女₂) | |
由表格可知,共有12种等可能的结果,其中抽中两名女志愿者担任组长的结果有2种,
所以$P$(刚好抽中2名女志愿者担任组长)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先找到人数和对应占比都明确的D组，利用“总人数=对应组人数÷对应组占比”求出抽查总人数；再根据“扇形圆心角度数=360°×对应组人数占总人数的比例”计算A组的圆心角度数；最后用总人数减去其余四组人数得到C组人数，即可补全条形统计图。
(2) 解题思路：先明确B组4人的构成（2男2女），用树状图或列表法罗列出所有抽取2人的等可能结果，再统计出刚好抽中2名女志愿者的结果数，代入概率公式“P=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
(1) 已知D组有12人，占抽查总人数的30%，因此抽查的志愿者总人数为：
$12÷30\%=40$（人）
A组共有5人，因此扇形统计图中A的圆心角度数为：
$360°×\frac{5}{40}=45°$
C组的人数为总人数减去其余四组人数：
$40-5-4-12-9=10$（人）
补全条形统计图如下：
(2) 记2名男志愿者为男₁、男₂，2名女志愿者为女₁、女₂，画树状图如下：
由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者的结果有2种，因此：
$P(\mathrm{刚好抽中两名女志愿者担任组长})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
（也可通过列表法求解：
| | 男₁ | 男₂ | 女₁ | 女₂ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 男₁ | | (男₂,男₁) | (女₁,男₁) | (女₂,男₁) |
| 男₂ | (男₁,男₂) | | (女₁,男₂) | (女₂,男₂) |
| 女₁ | (男₁,女₁) | (男₂,女₁) | | (女₂,女₁) |
| 女₂ | (男₁,女₂) | (男₂,女₂) | (女₁,女₂) | |
由表格可知共有12种等可能结果，符合条件的有2种，概率同样为$\frac{1}{6}$。）
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$，$\boldsymbol{45°}$；补全的条形统计图：
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{6}}$
【知识点】
统计图表应用，列举法求概率，圆心角计算
【点评】
本题以亚冬会志愿者调查为真实背景，结合统计和概率两个模块的知识，既考查了从统计图表中提取信息、计算相关数据的能力，也考查了对列举法求概率的掌握，是中考常见的综合基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：首先找到人数和对应占比都明确的D组，利用“总人数=对应组人数÷对应组占比”求出抽查总人数；再根据“扇形圆心角度数=360°×对应组人数占总人数的比例”计算A组的圆心角度数；最后用总人数减去其余四组人数得到C组人数，即可补全条形统计图。
(2) 解题思路：先明确B组4人的构成（2男2女），用树状图或列表法罗列出所有抽取2人的等可能结果，再统计出刚好抽中2名女志愿者的结果数，代入概率公式“P=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
(1) 已知D组有12人，占抽查总人数的30%，因此抽查的志愿者总人数为：
$12÷30\%=40$（人）
A组共有5人，因此扇形统计图中A的圆心角度数为：
$360°×\frac{5}{40}=45°$
C组的人数为总人数减去其余四组人数：
$40-5-4-12-9=10$（人）
补全条形统计图如下：
(2) 记2名男志愿者为男₁、男₂，2名女志愿者为女₁、女₂，画树状图如下：
由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者的结果有2种，因此：
$P(\mathrm{刚好抽中两名女志愿者担任组长})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
（也可通过列表法求解：
| | 男₁ | 男₂ | 女₁ | 女₂ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 男₁ | | (男₂,男₁) | (女₁,男₁) | (女₂,男₁) |
| 男₂ | (男₁,男₂) | | (女₁,男₂) | (女₂,男₂) |
| 女₁ | (男₁,女₁) | (男₂,女₁) | | (女₂,女₁) |
| 女₂ | (男₁,女₂) | (男₂,女₂) | (女₁,女₂) | |
由表格可知共有12种等可能结果，符合条件的有2种，概率同样为$\frac{1}{6}$。）
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$，$\boldsymbol{45°}$；补全的条形统计图：
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{6}}$
【知识点】
统计图表应用，列举法求概率，圆心角计算
【点评】
本题以亚冬会志愿者调查为真实背景，结合统计和概率两个模块的知识，既考查了从统计图表中提取信息、计算相关数据的能力，也考查了对列举法求概率的掌握，是中考常见的综合基础题型。
【难度系数】
0.7
