1. [2026西安六中期中]某学校九年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘(如图),规定:顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是此次活动中的一组统计数据:


(1) $a=$, $b=$;
(2)当次数$n$很大时,频率接近,假如你去转动该转盘一次,你获得“书画”奖品的概率约是;(精确到0.1)
(3)在该转盘中,“手工”区域扇形圆心角的度数是.

1 (1)295 0.6;(2)0.6 0.6;(3)144°
(1)$a = 500 × 0.59 = 295$ ,$b = 240 ÷ 400 = 0.6$. (3)“手工”区域扇形圆心角的度数为$360°×(1-0.6)=144°$.

【分析】
本题考查频率与频数的关系、频率估计概率以及扇形圆心角的计算，解题思路如下：
1. 求解第(1)问时，利用“频数=试验总次数×对应频率”计算a的值，利用“频率=对应频数÷试验总次数”计算b的值；
2. 求解第(2)问时，根据频率估计概率的原理：当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察频率的稳定值即可得到获得“书画”奖品的概率；
3. 求解第(3)问时，先求出“手工”区域对应的概率，再结合扇形圆心角总度数为360°，用360°乘“手工”区域的概率即可得到对应圆心角的度数。
【解析】
(1) 根据频数和频率的计算公式：
落在“书画”区域的频数$a = 500×0.59 = 295$；
400次试验时的频率$b = 240÷400 = 0.6$。
(2) 观察统计数据可知，随着转动次数$n$增大，频率逐渐稳定在0.6附近，因此当$n$很大时，频率接近0.6；根据频率估计概率的原理，转动转盘一次获得“书画”奖品的概率约为0.6。
(3) 转动转盘获得“手工”奖品的概率为$1 - 0.6 = 0.4$，因此“手工”区域扇形圆心角的度数为$360°×0.4 = 144°$。
【答案】
(1) $295$，$0.6$；(2) $0.6$，$0.6$；(3) $144°$
【知识点】
频数与频率，频率估计概率，扇形圆心角计算
【点评】
本题结合生活中的义卖活动场景命题，既考查了概率相关的核心知识点，也体现了数学知识在实际生活中的应用，解题的关键是掌握频率与频数的换算关系以及频率估计概率的原理，整体难度较低。
【难度系数】
0.8

2. 不透明的袋中有若干个红球和黑球,每个球除颜色外无其他差别.现从袋中随机摸出1个球,记下颜色后放回并搅匀,经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.4附近.
(1)估计摸到黑球的概率是;
(2)若袋中的黑球有8个,求袋中的球数;
(3)在(2)的条件下,又放入n个黑球,再经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.8附近,求n的值.

解:(1)0.4
(2)设袋中有 $m$ 个球,根据题意,得$\frac{8}{m}=0.4$,
解得 $m=20$. 经检验,$m=20$ 是分式方程的解.
所以袋中有 20 个球.
(3)根据题意,得$\frac{8 + n}{20 + n}=0.8$,
解得 $n=40$. 经检验,$n=40$ 是分式方程的解,$\therefore n=40$.

【分析】
(1) 解题思路：根据大量重复试验的规律，当事件发生的频率逐渐稳定在某个常数附近时，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值，直接对应得到摸到黑球的概率即可。
(2) 解题思路：明确概率计算公式“某事件发生的概率=对应事件的样本数÷总样本数”，设总球数为未知数，代入黑球数量和摸到黑球的概率列分式方程求解，最后检验解是否符合实际意义。
(3) 解题思路：放入n个黑球后，黑球总数和总球数都会增加n，结合新的稳定频率（即概率），再次利用概率公式列分式方程，求解后检验即可得到n的值。
【解析】
(1) 经过大量重复试验，摸到黑球的频率稳定在0.4附近，因此估计摸到黑球的概率为0.4。
(2) 设袋中共有$m$个球，根据概率公式得：
$\frac{8}{m}=0.4$
解得$m=20$。
经检验，$m=20$是原分式方程的解，且符合实际意义，因此袋中共有20个球。
(3) 放入$n$个黑球后，黑球总数为$(8+n)$个，总球数为$(20+n)$个，由题意得：
$\frac{8+n}{20+n}=0.8$
去分母得：$8+n=0.8(20+n)$
展开整理得：$0.2n=8$
解得$n=40$。
经检验，$n=40$是原分式方程的解，且符合实际意义，因此$n$的值为40。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0.4}$；(2) $\boldsymbol{20}$个；(3) $\boldsymbol{40}$
【知识点】
频率估计概率；概率公式；分式方程应用
【点评】
本题结合摸球试验场景，考查利用频率估计概率的核心知识点，同时需要结合概率公式列分式方程求解未知量，解题时需注意加入新球后黑球数和总球数会同时变化，分式方程求解后要检验是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7

3. 一张圆桌旁设有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人等可能地坐到其他三个座位上.

(1)B与A不相邻而坐的概率为；
(2)B与A，C均相邻而坐的概率为.

3 (1)$\frac{1}{3}$;(2)$\frac{1}{3}$
(2)根据题意,画图如下:

由图可得,共有6种等可能的结果,其中 B 与 A,C 均相邻而坐的结果有 2 种,所以 $P(B与A,C均相邻而坐)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

【分析】
本题属于古典概型的概率计算问题，解题思路如下：1. 首先明确A的座位固定，B、C、D三人随机坐剩余3个座位，先计算总等可能坐法数：3人随机坐3个座位，总共有$3×2×1=6$种等可能结果。2. 分别统计两个问题中符合条件的坐法数：(1) B与A不相邻时，圆桌4个座位中仅A对面1个座位和A不相邻，B只能坐该位置，剩余C、D在剩下2个座位任意排列，统计对应结果数；(2) B与A、C均相邻时，说明B的两个相邻座位分别是A和C，结合圆桌座位的相邻关系统计对应结果数。3. 最后根据古典概型概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
已知A的座位固定，B、C、D三人随机坐到其余3个座位，总共有$3×2×1=6$种等可能的坐法。
(1) 圆桌4个座位中，仅A对面的1个座位与A不相邻：
B要与A不相邻，只能坐该座位，剩余C、D在剩下2个座位任意排列，共有$2×1=2$种符合条件的坐法，
因此$P(\mathrm{B与A不相邻})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
(2) B要与A、C均相邻，则B的两个相邻座位分别为A和C：
B只能坐在A的两个相邻座位上，对应C坐在B的另一侧相邻座位，D坐剩余座位，共有2种符合条件的坐法，
根据题意画图如下：

因此$P(\mathrm{B与A,C均相邻而坐})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{1}{3}$

【知识点】
1. 古典概型
2. 列举法求概率
3. 简单排列
【点评】
本题结合生活中的圆桌座位场景考查概率的计算，解题的核心是准确判断圆桌的相邻关系，正确统计总等可能结果数和符合条件的结果数，属于概率的基础应用类题目，解题时也可通过画树状图或枚举所有排列验证结果。
【难度系数】
0.7

4. [2025陕西中考]某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作A,B,C,D,E）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式.同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同.

(1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为.
(2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向.将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张.请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率.

解:(1)$\frac{1}{5}$
(2)根据题意,画树状图如下:

由树状图可知,共有 25 种等可能的结果,
其中这两个小组研究方向不同的结果有 20 种,
所以 $P(这两个小组研究方向不同)=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$.
或列表如下:
| 第一小组\第二小组 | A | B | C | D | E |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (B,A) | (C,A) | (D,A) | (E,A) |
| B | (A,B) | (B,B) | (C,B) | (D,B) | (E,B) |
| C | (A,C) | (B,C) | (C,C) | (D,C) | (E,C) |
| D | (A,D) | (B,D) | (C,D) | (D,D) | (E,D) |
| E | (A,E) | (B,E) | (C,E) | (D,E) | (E,E) |
由表格可知,共有 25 种等可能的结果,
其中这两个小组研究方向不同的结果有 20 种,
所以 $P(这两个小组研究方向不同)=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$.

【分析】
(1) 第一问考查简单概率计算，首先明确总共有5种等可能的抽取结果，抽到“科技”卡片的结果只有1种，直接代入概率公式“$P(事件)=\frac{事件发生的结果数}{所有等可能的结果数}$”计算即可。
(2) 第二问是有放回的两步随机试验求概率问题，解题思路为：先用列表法或树状图法列举出两次抽取的所有等可能结果，再从中筛选出两个小组研究方向不同的结果，最后代入概率公式计算即可。需注意放回抽取的特点：两次抽取的可选卡片数均为5，总结果数为$5×5=25$种。
【解析】
(1) 五张卡片完全相同，随机抽取1张共有5种等可能的结果，其中抽到“科技”的结果有1种，因此$P(抽到科技)=\frac{1}{5}$。
(2) 方法一：树状图法
根据题意画树状图如下：

由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中两个小组研究方向不同的结果有20种，因此$P(两个小组研究方向不同)=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$。
方法二：列表法
根据题意列表如下：
| 第一小组\第二小组 | A | B | C | D | E |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (B,A) | (C,A) | (D,A) | (E,A) |
| B | (A,B) | (B,B) | (C,B) | (D,B) | (E,B) |
| C | (A,C) | (B,C) | (C,C) | (D,C) | (E,C) |
| D | (A,D) | (B,D) | (C,D) | (D,D) | (E,D) |
| E | (A,E) | (B,E) | (C,E) | (D,E) | (E,E) |
由表格可知，共有25种等可能的结果，其中两个小组研究方向不同的结果有20种，因此$P(两个小组研究方向不同)=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{5}$
(2) 根据题意，画树状图如下：

由树状图可知，共有 25 种等可能的结果，
其中这两个小组研究方向不同的结果有 20 种，
所以 $P(这两个小组研究方向不同)=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$。
或列表如下：
| 第一小组\第二小组 | A | B | C | D | E |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (B,A) | (C,A) | (D,A) | (E,A) |
| B | (A,B) | (B,B) | (C,B) | (D,B) | (E,B) |
| C | (A,C) | (B,C) | (C,C) | (D,C) | (E,C) |
| D | (A,D) | (B,D) | (C,D) | (D,D) | (E,D) |
| E | (A,E) | (B,E) | (C,E) | (D,E) | (E,E) |
由表格可知，共有 25 种等可能的结果，
其中这两个小组研究方向不同的结果有 20 种，
所以 $P(这两个小组研究方向不同)=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$。
【知识点】
概率公式，列表法求概率，树状图法求概率
【点评】
本题是概率模块的基础常考题，第一问考查单事件概率的简单计算，门槛较低；第二问核心考查学生用列表或树状图不重不漏列举所有等可能结果的能力，贴合基础考查要求，掌握列举方法即可轻松得分。
【难度系数】
0.8