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10.已知方程$x^2 -6x +4 = □$,等号右侧的数字印刷不清楚.若可以将其配方成$(x-p)^2 =7$的形式,则印刷不清的数字是 (
A.6
B.9
C.2
D.$-2$
C
)A.6
B.9
C.2
D.$-2$
答案
10.C
解析
【分析】
我们可以先设印刷不清的数字为$a$，对原方程左边的二次项、一次项进行配方，再结合题目给出的配方结果$(x-p)^2=7$，建立关于$a$的等式即可求出未知数字；核心是利用配方前后方程等价、对应关系不变的特点解题，符合配方法的应用逻辑。
【解析】
设印刷不清楚的数字为$a$，则原方程为：
$x^2 -6x +4 = a$
移项整理得：
$x^2 -6x = a -4$
对左边配方，等式两边同时加一次项系数一半的平方，即$(-6÷2)^2=9$：
$x^2 -6x +9 = a -4 +9$
左边写成完全平方形式：
$(x-3)^2 = a +5$
已知原方程可配方为$(x-p)^2=7$，因此有：
$a +5 =7$
解得$a=7-5=2$，即印刷不清的数字是2。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，解题关键是熟练掌握配方法的操作步骤，抓住配方前后方程等价的特点建立等量关系，属于常考基础题。
【难度系数】
0.8
我们可以先设印刷不清的数字为$a$，对原方程左边的二次项、一次项进行配方，再结合题目给出的配方结果$(x-p)^2=7$，建立关于$a$的等式即可求出未知数字；核心是利用配方前后方程等价、对应关系不变的特点解题，符合配方法的应用逻辑。
【解析】
设印刷不清楚的数字为$a$，则原方程为：
$x^2 -6x +4 = a$
移项整理得：
$x^2 -6x = a -4$
对左边配方，等式两边同时加一次项系数一半的平方，即$(-6÷2)^2=9$：
$x^2 -6x +9 = a -4 +9$
左边写成完全平方形式：
$(x-3)^2 = a +5$
已知原方程可配方为$(x-p)^2=7$，因此有：
$a +5 =7$
解得$a=7-5=2$，即印刷不清的数字是2。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，解题关键是熟练掌握配方法的操作步骤，抓住配方前后方程等价的特点建立等量关系，属于常考基础题。
【难度系数】
0.8
11. 四位同学以接龙的方式解一元二次方程，如图，从其中一位同学的步骤开始出现错误，则这位同学是（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
B
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
11.B
解析
【分析】
要判断哪位同学的步骤出错，需按照配方法解一元二次方程的标准步骤依次核查：首先将二次项系数化为1，接着移项把常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加一次项系数一半的平方完成配方，随后将左侧写成完全平方式、右侧合并常数，最后开方求解。我们按这个逻辑逐次检查甲乙丙丁的步骤即可找到错误来源。
【解析】
我们逐一验证各步骤的正确性：
1. 甲的步骤：原方程为$2x^2+8x-6=0$，根据等式的性质，两边同时除以2，得到$x^2+4x-3=0$，步骤正确。
2. 乙的步骤：甲得到的方程为$x^2+4x-3=0$，配方前应先移项得$x^2+4x=3$，再给等式两边同时加$(4÷2)^2=4$，即$x^2+4x+4=3+4$。但乙仅在方程左侧加上$2^2$，右侧没有加相同的数，违背了等式的基本性质，步骤错误。
后续丙、丁的步骤是基于乙的错误结果推导的，因此最先出错的是乙。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的规范流程，易错点是配方时忽略等式的性质，仅在方程单侧添加常数导致计算错误，解题时需严格遵循解方程的步骤要求。
【难度系数】
0.7
要判断哪位同学的步骤出错，需按照配方法解一元二次方程的标准步骤依次核查：首先将二次项系数化为1，接着移项把常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加一次项系数一半的平方完成配方，随后将左侧写成完全平方式、右侧合并常数，最后开方求解。我们按这个逻辑逐次检查甲乙丙丁的步骤即可找到错误来源。
【解析】
我们逐一验证各步骤的正确性：
1. 甲的步骤：原方程为$2x^2+8x-6=0$，根据等式的性质，两边同时除以2，得到$x^2+4x-3=0$，步骤正确。
2. 乙的步骤：甲得到的方程为$x^2+4x-3=0$，配方前应先移项得$x^2+4x=3$，再给等式两边同时加$(4÷2)^2=4$，即$x^2+4x+4=3+4$。但乙仅在方程左侧加上$2^2$，右侧没有加相同的数，违背了等式的基本性质，步骤错误。
后续丙、丁的步骤是基于乙的错误结果推导的，因此最先出错的是乙。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的规范流程，易错点是配方时忽略等式的性质，仅在方程单侧添加常数导致计算错误，解题时需严格遵循解方程的步骤要求。
【难度系数】
0.7
12. 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 - 10x + 8 = 0$；
(2)$4x^2 + 4x - 3 = 0$；
(3)$3(x - 1)(x + 2) = x - 7$。
(1)$x^2 - 10x + 8 = 0$；
(2)$4x^2 + 4x - 3 = 0$；
(3)$3(x - 1)(x + 2) = x - 7$。
答案
12. (1)解:移项,得$x^2-10x=-8$.配方,得$x^2-10x+5^2=-8+5^2$,即$(x-5)^2=17$.直接开平方,得$x-5=\pm\sqrt{17}$.$\therefore x_1=5-\sqrt{17},x_2=5+\sqrt{17}$.
(2)解:原方程可化为$x^2+x=\frac{3}{4}$,配方,得$x^2+x+(\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}+(\frac{1}{2})^2$,即$(x+\frac{1}{2})^2=1$.直接开平方,得$x+\frac{1}{2}=\pm1$.$\therefore x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{3}{2}$.
(3)解:原方程可化为$3x^2+2x=-1$.二次项系数化为1,得$x^2+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$.配方,得$x^2+\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^2=-\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^2$,即$(x+\frac{1}{3})^2=-\frac{2}{9}$.$\because -\frac{2}{9}＜0$,$\therefore$原方程无实数根.
(2)解:原方程可化为$x^2+x=\frac{3}{4}$,配方,得$x^2+x+(\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}+(\frac{1}{2})^2$,即$(x+\frac{1}{2})^2=1$.直接开平方,得$x+\frac{1}{2}=\pm1$.$\therefore x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{3}{2}$.
(3)解:原方程可化为$3x^2+2x=-1$.二次项系数化为1,得$x^2+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$.配方,得$x^2+\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^2=-\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^2$,即$(x+\frac{1}{3})^2=-\frac{2}{9}$.$\because -\frac{2}{9}＜0$,$\therefore$原方程无实数根.
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程变形为左边是完全平方式、右边是常数的形式，再利用直接开平方法求解。通用步骤为：①将方程整理为一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化为1；③移项，把常数项移到等号右侧；④配方，等号左右同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方；⑤判断右侧常数的符号，若为非负数则直接开平方求根，若为负数则方程无实数根。
针对各小题：(1)二次项系数已经是1，直接移项后配方即可；(2)先将二次项系数化为1，再按步骤配方；(3)先展开等式左侧、整理为一般形式后，再按配方法步骤求解。
【解析】
(1)移项，得$x^2-10x=-8$。
配方，得$x^2-10x+5^2=-8+5^2$，即$(x-5)^2=17$。
直接开平方，得$x-5=\pm\sqrt{17}$。
$\therefore x_1=5-\sqrt{17},x_2=5+\sqrt{17}$。
(2)原方程整理得$4x^2+4x=3$，二次项系数化为1，得$x^2+x=\frac{3}{4}$。
配方，得$x^2+x+(\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}+(\frac{1}{2})^2$，即$(x+\frac{1}{2})^2=1$。
直接开平方，得$x+\frac{1}{2}=\pm1$。
$\therefore x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{3}{2}$。
(3)展开左侧得$3(x^2+x-2)=x-7$，去括号、移项合并同类项，得$3x^2+2x=-1$。
二次项系数化为1，得$x^2+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$。
配方，得$x^2+\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^2=-\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^2$，即$(x+\frac{1}{3})^2=-\frac{2}{9}$。
$\because -\frac{2}{9}＜0$，负数没有平方根，
$\therefore$原方程无实数根。
【答案】
(1) $x_1=5-\sqrt{17},x_2=5+\sqrt{17}$；
(2) $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{3}{2}$；
(3) 原方程无实数根。
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，一元二次方程根的判断
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的步骤应用，解题时要严格遵循“化1、移项、配方、开方”的流程，注意配方时等号两侧需同时加上相同的数，最后要根据配方后右侧常数的符号判断方程是否有实数根，避免忽略负数无平方根的情况导致出错。
【难度系数】
0.7
配方法解一元二次方程的核心是将方程变形为左边是完全平方式、右边是常数的形式，再利用直接开平方法求解。通用步骤为：①将方程整理为一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化为1；③移项，把常数项移到等号右侧；④配方，等号左右同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方；⑤判断右侧常数的符号，若为非负数则直接开平方求根，若为负数则方程无实数根。
针对各小题：(1)二次项系数已经是1，直接移项后配方即可；(2)先将二次项系数化为1，再按步骤配方；(3)先展开等式左侧、整理为一般形式后，再按配方法步骤求解。
【解析】
(1)移项，得$x^2-10x=-8$。
配方，得$x^2-10x+5^2=-8+5^2$，即$(x-5)^2=17$。
直接开平方，得$x-5=\pm\sqrt{17}$。
$\therefore x_1=5-\sqrt{17},x_2=5+\sqrt{17}$。
(2)原方程整理得$4x^2+4x=3$，二次项系数化为1，得$x^2+x=\frac{3}{4}$。
配方，得$x^2+x+(\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}+(\frac{1}{2})^2$，即$(x+\frac{1}{2})^2=1$。
直接开平方，得$x+\frac{1}{2}=\pm1$。
$\therefore x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{3}{2}$。
(3)展开左侧得$3(x^2+x-2)=x-7$，去括号、移项合并同类项，得$3x^2+2x=-1$。
二次项系数化为1，得$x^2+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$。
配方，得$x^2+\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^2=-\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^2$，即$(x+\frac{1}{3})^2=-\frac{2}{9}$。
$\because -\frac{2}{9}＜0$，负数没有平方根，
$\therefore$原方程无实数根。
【答案】
(1) $x_1=5-\sqrt{17},x_2=5+\sqrt{17}$；
(2) $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{3}{2}$；
(3) 原方程无实数根。
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，一元二次方程根的判断
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的步骤应用，解题时要严格遵循“化1、移项、配方、开方”的流程，注意配方时等号两侧需同时加上相同的数，最后要根据配方后右侧常数的符号判断方程是否有实数根，避免忽略负数无平方根的情况导致出错。
【难度系数】
0.7
13.（新考法）阿拉伯数学家阿尔·花拉子米模利用正方形图形巧妙解出了$x^2 + 4x - 32 = 0$的根.如图,利用大正方形的面积不变,得$x^2 + 2×2x + 2^2 = 32 + 4$,即$(x + 2)^2 = 36 = 6^2$,所以这个方程的正整数解为$x = 4$.
(1)上述求解过程中所用的方法与
(2)运用上述方法求方程$x(x + 6) = 16$的正整数解,画出图形并写出过程.
(1)上述求解过程中所用的方法与
配方
法是一致的；(2)运用上述方法求方程$x(x + 6) = 16$的正整数解,画出图形并写出过程.
答案
13. (1)配方
(2)解:整理,得$x^2+6x-16=0$,如解图
,由边长为$x$的正方形和边长为3的正方形,外加两个长为3,宽为$x$的长方形所拼成,拼合在一起的大正方形的面积为$x^2+2×3x+3^2=16+9$,即$(x+3)^2=25=5^2$,所以这个方程的正整数解为$x=2$.解析
【分析】
(1) 先回忆一元二次方程的常见解法，题干中把含x的项凑成完全平方式的形式，对应配方法的特征，直接判断即可。
(2) 第二问先仿照题干示例的步骤，首先把给定方程整理为$x^2+bx=c$的形式，找到一次项系数6的一半为3，对应几何图形中补上的小正方形边长为3，大正方形边长为$x+3$，再根据大正方形面积等于原方程常数项加上补上的小正方形面积，列出完全平方式，开平方后取正整数解即可，图形参照题干示例将标注的2替换为3即可。
【解析】
(1) 题干中将方程变形为完全平方式求解的过程，本质是凑完全平方，和配方法的思路完全一致。
(2) 第一步：整理方程，将$x(x+6)=16$展开移项，得$x^2+6x=16$，即$x^2+6x-16=0$。
第二步：构造边长为$(x+3)$的大正方形，该大正方形由1个边长为x的正方形、2个长为3宽为x的长方形、1个边长为3的小正方形拼接而成。
第三步：根据大正方形面积不变列等式：
$x^2 + 2×3x + 3^2 = 16 + 3^2$
化简得$(x+3)^2=25=5^2$
第四步：求解正整数解，因为x为正数，所以$x+3=5$，解得$x=2$。
【答案】
(1) 配方
(2) 整理,得$x^2+6x-16=0$,如解图,由边长为$x$的正方形和边长为3的正方形,外加两个长为3,宽为$x$的长方形所拼成,拼合在一起的大正方形的面积为$x^2+2×3x+3^2=16+9$,即$(x+3)^2=25=5^2$,所以这个方程的正整数解为$x=2$.
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、数形结合思想
【点评】
本题将代数运算和几何图形结合，用直观的面积关系展现配方法的原理，降低了配方法的理解难度，解题时只需仿照题干给出的步骤操作即可，指向性很强。
【难度系数】
0.7
(1) 先回忆一元二次方程的常见解法，题干中把含x的项凑成完全平方式的形式，对应配方法的特征，直接判断即可。
(2) 第二问先仿照题干示例的步骤，首先把给定方程整理为$x^2+bx=c$的形式，找到一次项系数6的一半为3，对应几何图形中补上的小正方形边长为3，大正方形边长为$x+3$，再根据大正方形面积等于原方程常数项加上补上的小正方形面积，列出完全平方式，开平方后取正整数解即可，图形参照题干示例将标注的2替换为3即可。
【解析】
(1) 题干中将方程变形为完全平方式求解的过程，本质是凑完全平方，和配方法的思路完全一致。
(2) 第一步：整理方程，将$x(x+6)=16$展开移项，得$x^2+6x=16$，即$x^2+6x-16=0$。
第二步：构造边长为$(x+3)$的大正方形，该大正方形由1个边长为x的正方形、2个长为3宽为x的长方形、1个边长为3的小正方形拼接而成。
第三步：根据大正方形面积不变列等式：
$x^2 + 2×3x + 3^2 = 16 + 3^2$
化简得$(x+3)^2=25=5^2$
第四步：求解正整数解，因为x为正数，所以$x+3=5$，解得$x=2$。
【答案】
(1) 配方
(2) 整理,得$x^2+6x-16=0$,如解图
,由边长为$x$的正方形和边长为3的正方形,外加两个长为3,宽为$x$的长方形所拼成,拼合在一起的大正方形的面积为$x^2+2×3x+3^2=16+9$,即$(x+3)^2=25=5^2$,所以这个方程的正整数解为$x=2$.【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、数形结合思想
【点评】
本题将代数运算和几何图形结合，用直观的面积关系展现配方法的原理，降低了配方法的理解难度，解题时只需仿照题干给出的步骤操作即可，指向性很强。
【难度系数】
0.7
14.(代数推理)已知代数式$A=2x^2+5x-3$，$B=x^2+x-8$。
(1)当$x$为何值时，代数式$A$比$B$的值大2？
(2)求证:对于任意实数$x$的值,代数式$A-B$的值恒为正数。
(1)当$x$为何值时，代数式$A$比$B$的值大2？
(2)求证:对于任意实数$x$的值,代数式$A-B$的值恒为正数。
答案
14. (1)解:由题意得,$A-B=(2x^2+5x-3)-(x^2+x-8)=2$,去括号,得$2x^2+5x-3-x^2-x+8=2$,整理得,$x^2+4x+3=0$,配方,得$(x+2)^2=1$,则$x+2=1$或$x+2=-1$,解得$x_1=-1,x_2=-3$,$\therefore$当$x=-1$或$-3$时,代数式$A$比$B$的值大2.
(2)证明:$A-B=(2x^2+5x-3)-(x^2+x-8)=2x^2+5x-3-x^2-x+8=x^2+4x+5=(x+2)^2+1$.$\because (x+2)^2≥0$,$\therefore (x+2)^2+1≥1＞0$,$\therefore$对于任意实数$x$的值,代数式$A-B$的值恒为正数.
(2)证明:$A-B=(2x^2+5x-3)-(x^2+x-8)=2x^2+5x-3-x^2-x+8=x^2+4x+5=(x+2)^2+1$.$\because (x+2)^2≥0$,$\therefore (x+2)^2+1≥1＞0$,$\therefore$对于任意实数$x$的值,代数式$A-B$的值恒为正数.
解析
【分析】
(1) 第一问解题核心是抓住“A比B大2”的数量关系，转化为等式A-B=2，将A、B的代数式代入后，通过整式加减整理为一元二次方程，求解该方程即可得到x的取值。
(2) 第二问要证明A-B恒为正数，首先化简A-B的表达式，再通过配方将其转化为“完全平方式+正数”的形式，利用完全平方的非负性即可证明其值始终大于0。
【解析】
(1) 解：由题意得A-B=2，
将$A=2x^2+5x-3$，$B=x^2+x-8$代入等式，得：
$(2x^2+5x-3)-(x^2+x-8)=2$
去括号，得：$2x^2+5x-3-x^2-x+8=2$
整理，得：$x^2+4x+3=0$
配方，得：$(x+2)^2=1$
开方得：$x+2=1$或$x+2=-1$
解得：$x_1=-1$，$x_2=-3$。
(2) 证明：先化简$A-B$：
$A-B=(2x^2+5x-3)-(x^2+x-8)$
$=2x^2+5x-3-x^2-x+8$
$=x^2+4x+5$
配方得：$x^2+4x+5=(x+2)^2+1$
∵ 对任意实数x，都有$(x+2)^2≥0$
∴ $(x+2)^2+1≥1＞0$
∴ 对于任意实数x，代数式A-B的值恒为正数。
【答案】
(1) $x=-1$或$x=-3$；
(2) 对任意实数x，代数式A-B的值恒为正数，证明成立。
【知识点】
一元二次方程求解、整式加减运算、非负数的性质
【点评】
本题是代数基础综合题，既考查了根据等量关系列方程求解的方程思想，也考查了配方技巧和完全平方非负性的应用，能有效提升代数推理和运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问解题核心是抓住“A比B大2”的数量关系，转化为等式A-B=2，将A、B的代数式代入后，通过整式加减整理为一元二次方程，求解该方程即可得到x的取值。
(2) 第二问要证明A-B恒为正数，首先化简A-B的表达式，再通过配方将其转化为“完全平方式+正数”的形式，利用完全平方的非负性即可证明其值始终大于0。
【解析】
(1) 解：由题意得A-B=2，
将$A=2x^2+5x-3$，$B=x^2+x-8$代入等式，得：
$(2x^2+5x-3)-(x^2+x-8)=2$
去括号，得：$2x^2+5x-3-x^2-x+8=2$
整理，得：$x^2+4x+3=0$
配方，得：$(x+2)^2=1$
开方得：$x+2=1$或$x+2=-1$
解得：$x_1=-1$，$x_2=-3$。
(2) 证明：先化简$A-B$：
$A-B=(2x^2+5x-3)-(x^2+x-8)$
$=2x^2+5x-3-x^2-x+8$
$=x^2+4x+5$
配方得：$x^2+4x+5=(x+2)^2+1$
∵ 对任意实数x，都有$(x+2)^2≥0$
∴ $(x+2)^2+1≥1＞0$
∴ 对于任意实数x，代数式A-B的值恒为正数。
【答案】
(1) $x=-1$或$x=-3$；
(2) 对任意实数x，代数式A-B的值恒为正数，证明成立。
【知识点】
一元二次方程求解、整式加减运算、非负数的性质
【点评】
本题是代数基础综合题，既考查了根据等量关系列方程求解的方程思想，也考查了配方技巧和完全平方非负性的应用，能有效提升代数推理和运算能力。
【难度系数】
0.7
