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1.若$x^2 -12x +k^2$是关于$x$的完全平方式，则常数$k$的值是（
A.36
B.6
C.$-6$
D.$\pm6$
D
）A.36
B.6
C.$-6$
D.$\pm6$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，共三项，其中两项是平方项，另一项是两个底数乘积的2倍（符号可正可负）。本题中给出的二次三项式首项为$x^2$，对应$a^2$，即$a=x$；中间项为$-12x$，对应$\pm2ab$，结合符号可建立等式求出$b$的值；末项$k^2$对应$b^2$，再通过开平方求出$k$的值即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
解：
∵$x^2 -12x +k^2$是关于$x$的完全平方式，
对照完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得：
首项对应$a^2=x^2$，即$a=x$，
中间项对应$-2ab=-12x$，将$a=x$代入得：$-2x· b=-12x$，
解得$b=6$，
因此末项满足$k^2=b^2=6^2=36$，
对$k^2=36$开平方，得$k=\pm6$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1.完全平方式的特征
2.平方根的运算
【点评】
本题属于基础考查题，重点围绕完全平方式的结构命题，易错点是忽略平方项开方后有正负两个结果，导致漏选$k=-6$的情况，解题时需牢记完全平方式的结构特点，同时注意开平方的运算规则。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，共三项，其中两项是平方项，另一项是两个底数乘积的2倍（符号可正可负）。本题中给出的二次三项式首项为$x^2$，对应$a^2$，即$a=x$；中间项为$-12x$，对应$\pm2ab$，结合符号可建立等式求出$b$的值；末项$k^2$对应$b^2$，再通过开平方求出$k$的值即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
解：
∵$x^2 -12x +k^2$是关于$x$的完全平方式，
对照完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得：
首项对应$a^2=x^2$，即$a=x$，
中间项对应$-2ab=-12x$，将$a=x$代入得：$-2x· b=-12x$，
解得$b=6$，
因此末项满足$k^2=b^2=6^2=36$，
对$k^2=36$开平方，得$k=\pm6$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1.完全平方式的特征
2.平方根的运算
【点评】
本题属于基础考查题，重点围绕完全平方式的结构命题，易错点是忽略平方项开方后有正负两个结果，导致漏选$k=-6$的情况，解题时需牢记完全平方式的结构特点，同时注意开平方的运算规则。
【难度系数】
0.7
【变式】若关于$x$的方程$25x^2 - (k-1)x +1=0$的左边可以写成一个完全平方式，则$k$的值为
-9或11
。答案
【变式】-9或11
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式有两种形式，即$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$。先将给定二次三项式的首项、常数项转化为平方形式，确定对应的$a$和$b$，再根据中间项等于$\pm2ab$列出关于$k$的方程，求解即可得到$k$的值，注意两种情况都要考虑，避免漏解。
【解析】
解：因为方程$25x^2-(k-1)x+1=0$的左边是完全平方式，
先将首项和常数项改写为平方形式：$25x^2=(5x)^2$，$1=1^2$，
因此这个完全平方式为$(5x+1)^2$或$(5x-1)^2$两种情况：
① 当完全平方式为$(5x+1)^2$时，展开得$(5x+1)^2=25x^2+10x+1$，
对比一次项系数可得：$-(k-1)=10$，解得$k=-9$；
② 当完全平方式为$(5x-1)^2$时，展开得$(5x-1)^2=25x^2-10x+1$，
对比一次项系数可得：$-(k-1)=-10$，解得$k=11$。
综上，$k$的值为$-9$或$11$。
【答案】
-9或11
【知识点】
完全平方式；多项式相等的条件
【点评】
本题主要考查完全平方式的应用，解题核心是明确完全平方式包含“和的平方”和“差的平方”两种形式，避免只考虑一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式有两种形式，即$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$。先将给定二次三项式的首项、常数项转化为平方形式，确定对应的$a$和$b$，再根据中间项等于$\pm2ab$列出关于$k$的方程，求解即可得到$k$的值，注意两种情况都要考虑，避免漏解。
【解析】
解：因为方程$25x^2-(k-1)x+1=0$的左边是完全平方式，
先将首项和常数项改写为平方形式：$25x^2=(5x)^2$，$1=1^2$，
因此这个完全平方式为$(5x+1)^2$或$(5x-1)^2$两种情况：
① 当完全平方式为$(5x+1)^2$时，展开得$(5x+1)^2=25x^2+10x+1$，
对比一次项系数可得：$-(k-1)=10$，解得$k=-9$；
② 当完全平方式为$(5x-1)^2$时，展开得$(5x-1)^2=25x^2-10x+1$，
对比一次项系数可得：$-(k-1)=-10$，解得$k=11$。
综上，$k$的值为$-9$或$11$。
【答案】
-9或11
【知识点】
完全平方式；多项式相等的条件
【点评】
本题主要考查完全平方式的应用，解题核心是明确完全平方式包含“和的平方”和“差的平方”两种形式，避免只考虑一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
2. 用适当的数或式子填空：
(1)$x^2 + 4x + 4 = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)$x^2 - \_\_\_\_\_\_ + 1 = (x - 1)^2$；
(3)$x^2 + \frac{4}{3}x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$。
(1)$x^2 + 4x + 4 = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)$x^2 - \_\_\_\_\_\_ + 1 = (x - 1)^2$；
(3)$x^2 + \frac{4}{3}x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$。
答案
2. (1)2 (2)2x (3)$\frac{4}{9}$ $\frac{2}{3}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题时先明确完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。解题时将给出的式子与公式结构对比，分别确定对应$a$、$b$的值，即可求出空缺的部分。
【解析】
依据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$逐一计算：
(1) 左边式子中$x^2$对应公式的$a^2$（$a=x$），常数项$4=2^2$，一次项$4x=2· x·2$，因此$b=2$，可得$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$。
(2) 先展开右边式子：$(x-1)^2=x^2-2· x·1+1^2=x^2-2x+1$，对比左边结构，可知空缺项为$2x$。
(3) 左边二次项为$x^2$（$a=x$），一次项$\frac{4}{3}x=2· x·\frac{2}{3}$，因此$b=\frac{2}{3}$，对应的常数项为$b^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，可得$x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = (x + \frac{2}{3})^2$。
【答案】
(1)$2$；(2)$2x$；(3)$\frac{4}{9}$，$\frac{2}{3}$
【知识点】
完全平方公式，配完全平方
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键，这类题型是后续学习配方法解一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方公式的应用，解题时先明确完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。解题时将给出的式子与公式结构对比，分别确定对应$a$、$b$的值，即可求出空缺的部分。
【解析】
依据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$逐一计算：
(1) 左边式子中$x^2$对应公式的$a^2$（$a=x$），常数项$4=2^2$，一次项$4x=2· x·2$，因此$b=2$，可得$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$。
(2) 先展开右边式子：$(x-1)^2=x^2-2· x·1+1^2=x^2-2x+1$，对比左边结构，可知空缺项为$2x$。
(3) 左边二次项为$x^2$（$a=x$），一次项$\frac{4}{3}x=2· x·\frac{2}{3}$，因此$b=\frac{2}{3}$，对应的常数项为$b^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，可得$x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = (x + \frac{2}{3})^2$。
【答案】
(1)$2$；(2)$2x$；(3)$\frac{4}{9}$，$\frac{2}{3}$
【知识点】
完全平方公式，配完全平方
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键，这类题型是后续学习配方法解一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.9
3.用配方法解方程$x^2 -8x=3$时，方程的两边同时加上一个实数，使得方程左边配成一个完全平方式，则这个实数是（
A.4
B.8
C.16
D.32
C
）A.4
B.8
C.16
D.32
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆配方法的核心原理：配方法是借助完全平方公式，将方程左边含未知数的部分变形为完全平方式。对于二次项系数为1的式子$x^2+bx$，若要配成完全平方式，需要添加的常数是一次项系数一半的平方。本题中方程左边为$x^2-8x$，只需先确定一次项系数，再计算其一半的平方，即可得到需要添加的实数。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$：
方程左边的$x^2-8x$对应公式中$a^2-2ab$的部分，其中$a=x$，因此$2xb=8x$，可推出$b=4$。
要配成完全平方式，需要添加的常数为$b^2=4^2=16$。
验证：添加16后左边变为$x^2-8x+16=(x-4)^2$，是完全平方式，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题关键是牢记二次项系数为1时，配方添加的常数为一次项系数一半的平方，计算时注意不要遗漏平方的步骤。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆配方法的核心原理：配方法是借助完全平方公式，将方程左边含未知数的部分变形为完全平方式。对于二次项系数为1的式子$x^2+bx$，若要配成完全平方式，需要添加的常数是一次项系数一半的平方。本题中方程左边为$x^2-8x$，只需先确定一次项系数，再计算其一半的平方，即可得到需要添加的实数。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$：
方程左边的$x^2-8x$对应公式中$a^2-2ab$的部分，其中$a=x$，因此$2xb=8x$，可推出$b=4$。
要配成完全平方式，需要添加的常数为$b^2=4^2=16$。
验证：添加16后左边变为$x^2-8x+16=(x-4)^2$，是完全平方式，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题关键是牢记二次项系数为1时，配方添加的常数为一次项系数一半的平方，计算时注意不要遗漏平方的步骤。
【难度系数】
0.8
4.用配方法解一元二次方程$x^2 -6x +8=0$，配方后得到的方程是（
A.$(x+6)^2=28$
B.$(x-6)^2=28$
C.$(x+3)^2=1$
D.$(x-3)^2=1$
D
）A.$(x+6)^2=28$
B.$(x-6)^2=28$
C.$(x+3)^2=1$
D.$(x-3)^2=1$
答案
4.D
解析
【分析】
本题考查用配方法解一元二次方程，解题思路如下：首先确认二次项系数为1，本题满足该条件无需调整；接下来将常数项移到方程等号右侧；然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程左侧凑成完全平方式，右侧合并常数项即可得到配方后的方程，最后对照选项选出答案即可，解题时需注意一次项系数的符号，避免配方时符号出错。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 -6x +8=0$按配方法步骤变形：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 -6x = -8$
2. 配方，一次项系数为$-6$，其一半为$-3$，平方为$(-3)^2=9$，在方程左右两边同时加9，得：
$x^2 -6x +9 = -8 +9$
3. 左侧根据完全平方公式整理，右侧合并常数项，得：
$(x-3)^2 = 1$
因此配方后得到的方程对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，熟练掌握配方法的流程即可轻松得分，解题时需格外注意一次项系数的符号，避免配方时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法解一元二次方程，解题思路如下：首先确认二次项系数为1，本题满足该条件无需调整；接下来将常数项移到方程等号右侧；然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程左侧凑成完全平方式，右侧合并常数项即可得到配方后的方程，最后对照选项选出答案即可，解题时需注意一次项系数的符号，避免配方时符号出错。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 -6x +8=0$按配方法步骤变形：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 -6x = -8$
2. 配方，一次项系数为$-6$，其一半为$-3$，平方为$(-3)^2=9$，在方程左右两边同时加9，得：
$x^2 -6x +9 = -8 +9$
3. 左侧根据完全平方公式整理，右侧合并常数项，得：
$(x-3)^2 = 1$
因此配方后得到的方程对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，熟练掌握配方法的流程即可轻松得分，解题时需格外注意一次项系数的符号，避免配方时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
5. 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 - 2x = 5$；
(2)$x^2 - 3 = 2\sqrt{3}x$。
(1)$x^2 - 2x = 5$；
(2)$x^2 - 3 = 2\sqrt{3}x$。
答案
5. (1)解:配方,得$(x-1)^2=6$,$\therefore x_1=1+\sqrt{6},x_2=1-\sqrt{6}$.
(2)解:移项,得$x^2-2\sqrt{3}x=3$.配方,得$x^2-2\sqrt{3}x+(\sqrt{3})^2=3+(\sqrt{3})^2$,即$(x-\sqrt{3})^2=6$.直接开平方,得$x-\sqrt{3}=\pm\sqrt{6}$.$\therefore x_1=\sqrt{3}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{3}-\sqrt{6}$.
(2)解:移项,得$x^2-2\sqrt{3}x=3$.配方,得$x^2-2\sqrt{3}x+(\sqrt{3})^2=3+(\sqrt{3})^2$,即$(x-\sqrt{3})^2=6$.直接开平方,得$x-\sqrt{3}=\pm\sqrt{6}$.$\therefore x_1=\sqrt{3}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{3}-\sqrt{6}$.
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为完全平方式的形式，再用直接开平方法求解，常规步骤为：①移项，将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到右侧；②配方，方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；③开平方求解。本题中(1)已经满足左边为二次项、一次项，右边为常数项的形式，可直接配方；(2)需要先移项整理后再配方。
【解析】
(1) 对$x^2 - 2x = 5$配方，一次项系数为-2，其一半的平方为1，方程两边同时加1得：
$x^2 - 2x + 1 = 5 + 1$，即$(x-1)^2=6$，
直接开平方得$x - 1 = \pm\sqrt{6}$，
解得$x_1=1+\sqrt{6}$，$x_2=1-\sqrt{6}$。
(2) 先移项，将含$x$的项移到左侧，常数项移到右侧，得$x^2 - 2\sqrt{3}x = 3$，
一次项系数为$-2\sqrt{3}$，其一半的平方为$(\sqrt{3})^2=3$，方程两边同时加3得：
$x^2 - 2\sqrt{3}x + (\sqrt{3})^2 = 3 + (\sqrt{3})^2$，即$(x-\sqrt{3})^2=6$，
直接开平方得$x - \sqrt{3} = \pm\sqrt{6}$，
解得$x_1=\sqrt{3}+\sqrt{6}$，$x_2=\sqrt{3}-\sqrt{6}$。
【答案】
(1)$x_1=1+\sqrt{6},x_2=1-\sqrt{6}$；(2)$x_1=\sqrt{3}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{3}-\sqrt{6}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法解方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查配方法的规范操作，解题时需注意配方时等式两边必须同时加上一次项系数一半的平方，避免只在左侧加导致等式不成立的错误。
【难度系数】
0.8
配方法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为完全平方式的形式，再用直接开平方法求解，常规步骤为：①移项，将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到右侧；②配方，方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；③开平方求解。本题中(1)已经满足左边为二次项、一次项，右边为常数项的形式，可直接配方；(2)需要先移项整理后再配方。
【解析】
(1) 对$x^2 - 2x = 5$配方，一次项系数为-2，其一半的平方为1，方程两边同时加1得：
$x^2 - 2x + 1 = 5 + 1$，即$(x-1)^2=6$，
直接开平方得$x - 1 = \pm\sqrt{6}$，
解得$x_1=1+\sqrt{6}$，$x_2=1-\sqrt{6}$。
(2) 先移项，将含$x$的项移到左侧，常数项移到右侧，得$x^2 - 2\sqrt{3}x = 3$，
一次项系数为$-2\sqrt{3}$，其一半的平方为$(\sqrt{3})^2=3$，方程两边同时加3得：
$x^2 - 2\sqrt{3}x + (\sqrt{3})^2 = 3 + (\sqrt{3})^2$，即$(x-\sqrt{3})^2=6$，
直接开平方得$x - \sqrt{3} = \pm\sqrt{6}$，
解得$x_1=\sqrt{3}+\sqrt{6}$，$x_2=\sqrt{3}-\sqrt{6}$。
【答案】
(1)$x_1=1+\sqrt{6},x_2=1-\sqrt{6}$；(2)$x_1=\sqrt{3}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{3}-\sqrt{6}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法解方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查配方法的规范操作，解题时需注意配方时等式两边必须同时加上一次项系数一半的平方，避免只在左侧加导致等式不成立的错误。
【难度系数】
0.8
6. 用配方法解方程 $2x^2 + 3x - 1 = 0$，则方程可变形为 （
A.$(x+3)^2=\dfrac{1}{3}$
B.$(x+\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{1}{2}$
C.$(3x+1)^2=1$
D.$(x+\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{17}{16}$
D
）A.$(x+3)^2=\dfrac{1}{3}$
B.$(x+\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{1}{2}$
C.$(3x+1)^2=1$
D.$(x+\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{17}{16}$
答案
6.D
解析
【分析】
要使用配方法将给定的一元二次方程变形，需遵循配方法的固定步骤思考：首先要把二次项系数化为1，方便后续配方；其次将常数项移到方程等号的右侧；最后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式，右侧合并计算常数项，再对应选项判断即可。
【解析】
解：已知方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$，
第一步：将二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2 + \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2} = 0$
第二步：移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 + \dfrac{3}{2}x = \dfrac{1}{2}$
第三步：配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$\dfrac{3}{2}$，其一半为$\dfrac{3}{4}$，平方为$(\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{9}{16}$，因此两边加$\dfrac{9}{16}$：
$x^2 + \dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{16} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{16}$
左侧根据完全平方公式整理为$(x+\dfrac{3}{4})^2$，右侧通分计算：$\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{16}=\dfrac{8}{16}+\dfrac{9}{16}=\dfrac{17}{16}$
因此方程变形为$(x+\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{17}{16}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，核心是牢记配方法的操作步骤，尤其注意配方前必须先将二次项系数化为1，计算右侧常数项时要做好通分，避免计算失误。
【难度系数】
0.75
要使用配方法将给定的一元二次方程变形，需遵循配方法的固定步骤思考：首先要把二次项系数化为1，方便后续配方；其次将常数项移到方程等号的右侧；最后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式，右侧合并计算常数项，再对应选项判断即可。
【解析】
解：已知方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$，
第一步：将二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2 + \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2} = 0$
第二步：移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 + \dfrac{3}{2}x = \dfrac{1}{2}$
第三步：配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$\dfrac{3}{2}$，其一半为$\dfrac{3}{4}$，平方为$(\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{9}{16}$，因此两边加$\dfrac{9}{16}$：
$x^2 + \dfrac{3}{2}x + \dfrac{9}{16} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{16}$
左侧根据完全平方公式整理为$(x+\dfrac{3}{4})^2$，右侧通分计算：$\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{16}=\dfrac{8}{16}+\dfrac{9}{16}=\dfrac{17}{16}$
因此方程变形为$(x+\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{17}{16}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，核心是牢记配方法的操作步骤，尤其注意配方前必须先将二次项系数化为1，计算右侧常数项时要做好通分，避免计算失误。
【难度系数】
0.75
7.用配方法解一元二次方程$3x^2 + 6x - 1 = 0$时,将它化为$(x+a)^2 = b$的形式,则$a+b$的值为
$\frac{7}{3}$
.答案
7. $\frac{7}{3}$
解析
【分析】要解决本题，需按照配方法的步骤将原方程化为$(x+a)^2 = b$的形式，再计算$a+b$的值。具体思路为：首先将方程的二次项系数化为1，再将常数项移到等号右侧，然后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式，即可确定$a$、$b$的取值，最后求和即可。
【解析】
解：对一元二次方程$3x^2 + 6x - 1 = 0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以3，得
$x^2 + 2x - \frac{1}{3} = 0$
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得
$x^2 + 2x = \frac{1}{3}$
3. 配方：等号两边同时加上一次项系数2的一半的平方$1^2=1$，得
$x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{3} + 1$
整理得$(x+1)^2 = \frac{4}{3}$
对比$(x+a)^2 = b$，可得$a=1$，$b=\frac{4}{3}$
因此$a+b = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$
【答案】
$\frac{7}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的实际应用，属于基础题型，熟练掌握配方法的操作步骤，尤其是“配方前先将二次项系数化为1”的要求，是正确解题的关键。
【难度系数】
0.8
【解析】
解：对一元二次方程$3x^2 + 6x - 1 = 0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以3，得
$x^2 + 2x - \frac{1}{3} = 0$
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得
$x^2 + 2x = \frac{1}{3}$
3. 配方：等号两边同时加上一次项系数2的一半的平方$1^2=1$，得
$x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{3} + 1$
整理得$(x+1)^2 = \frac{4}{3}$
对比$(x+a)^2 = b$，可得$a=1$，$b=\frac{4}{3}$
因此$a+b = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$
【答案】
$\frac{7}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的实际应用，属于基础题型，熟练掌握配方法的操作步骤，尤其是“配方前先将二次项系数化为1”的要求，是正确解题的关键。
【难度系数】
0.8
8. 用配方法解下列方程：
(1)$2x^2 + 7x - 4 = 0$；
(2)$\frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{3}x - 2 = 0$。
(1)$2x^2 + 7x - 4 = 0$；
(2)$\frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{3}x - 2 = 0$。
答案
8. (1)解:$(x+\frac{7}{4})^2=\frac{81}{16}$,$\therefore x_1=\frac{1}{2}$,$x_2=-4$.
(2)解:$(x+\frac{1}{4})^2=\frac{49}{16}$,$\therefore x_1=\frac{3}{2}$,$x_2=-2$.
(2)解:$(x+\frac{1}{4})^2=\frac{49}{16}$,$\therefore x_1=\frac{3}{2}$,$x_2=-2$.
解析
【分析】
配方法解一元二次方程遵循固定步骤：①化1：将二次项系数化为1；②移项：把常数项移到方程等号右侧；③配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；④开方：对完全平方式直接开平方；⑤求解：计算得到方程的两个根。解题时按照这个步骤逐步计算即可，注意分数运算的准确性，不要弄错符号。
【解析】
(1) 解方程$2x^2 + 7x - 4 = 0$
第一步：二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2 + \frac{7}{2}x - 2 = 0$
第二步：移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + \frac{7}{2}x = 2$
第三步：配方，方程两边同时加上一次项系数$\frac{7}{2}$一半的平方$(\frac{7}{4})^2=\frac{49}{16}$：
$x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{49}{16} = 2 + \frac{49}{16}$
左侧整理为完全平方式，右侧计算得：
$(x+\frac{7}{4})^2 = \frac{81}{16}$
第四步：开平方：
$x+\frac{7}{4} = \pm \frac{9}{4}$
第五步：求解：
$x_1=\frac{9}{4}-\frac{7}{4}=\frac{1}{2}$，$x_2=-\frac{9}{4}-\frac{7}{4}=-4$。
(2) 解方程$\frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{3}x - 2 = 0$
第一步：二次项系数化为1，方程两边同时乘以$\frac{3}{2}$，得：
$x^2 + \frac{1}{2}x - 3 = 0$
第二步：移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + \frac{1}{2}x = 3$
第三步：配方，方程两边同时加上一次项系数$\frac{1}{2}$一半的平方$(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$：
$x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = 3 + \frac{1}{16}$
左侧整理为完全平方式，右侧计算得：
$(x+\frac{1}{4})^2 = \frac{49}{16}$
第四步：开平方：
$x+\frac{1}{4} = \pm \frac{7}{4}$
第五步：求解：
$x_1=\frac{7}{4}-\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$，$x_2=-\frac{7}{4}-\frac{1}{4}=-2$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-4$；(2)$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-2$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法解方程
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，牢记“化1、移项、配方、开方、求解”的解题流程即可顺利解答，计算时要注意分数运算和符号处理，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
配方法解一元二次方程遵循固定步骤：①化1：将二次项系数化为1；②移项：把常数项移到方程等号右侧；③配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；④开方：对完全平方式直接开平方；⑤求解：计算得到方程的两个根。解题时按照这个步骤逐步计算即可，注意分数运算的准确性，不要弄错符号。
【解析】
(1) 解方程$2x^2 + 7x - 4 = 0$
第一步：二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2 + \frac{7}{2}x - 2 = 0$
第二步：移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + \frac{7}{2}x = 2$
第三步：配方，方程两边同时加上一次项系数$\frac{7}{2}$一半的平方$(\frac{7}{4})^2=\frac{49}{16}$：
$x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{49}{16} = 2 + \frac{49}{16}$
左侧整理为完全平方式，右侧计算得：
$(x+\frac{7}{4})^2 = \frac{81}{16}$
第四步：开平方：
$x+\frac{7}{4} = \pm \frac{9}{4}$
第五步：求解：
$x_1=\frac{9}{4}-\frac{7}{4}=\frac{1}{2}$，$x_2=-\frac{9}{4}-\frac{7}{4}=-4$。
(2) 解方程$\frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{3}x - 2 = 0$
第一步：二次项系数化为1，方程两边同时乘以$\frac{3}{2}$，得：
$x^2 + \frac{1}{2}x - 3 = 0$
第二步：移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + \frac{1}{2}x = 3$
第三步：配方，方程两边同时加上一次项系数$\frac{1}{2}$一半的平方$(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$：
$x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = 3 + \frac{1}{16}$
左侧整理为完全平方式，右侧计算得：
$(x+\frac{1}{4})^2 = \frac{49}{16}$
第四步：开平方：
$x+\frac{1}{4} = \pm \frac{7}{4}$
第五步：求解：
$x_1=\frac{7}{4}-\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$，$x_2=-\frac{7}{4}-\frac{1}{4}=-2$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-4$；(2)$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-2$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法解方程
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，牢记“化1、移项、配方、开方、求解”的解题流程即可顺利解答，计算时要注意分数运算和符号处理，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
9. 将$2x^2 - 6x - 1$化为$a(x + h)^2 + k$的形式.
答案
9. 解:$2x^2-6x-1=2(x^2-3x-\frac{1}{2})=2[(x^2-3x+\frac{9}{4})-\frac{9}{4}-\frac{1}{2}]=2(x-\frac{3}{2})^2-\frac{11}{2}$.
解析
【分析】
本题需要用配方法将二次三项式化为指定的顶点式形式，解题思路如下：第一步先提取二次项系数2，将二次项和一次项的系数转化为二次项系数为1的形式；第二步对括号内的二次项和一次项，加上一次项系数一半的平方，同时减去这个平方，保证式子变形前后的值不变；第三步将前三项整理为完全平方形式，再合并括号内的常数项，最后乘以外层的系数完成化简即可得到结果。
【解析】
解：$2x^2-6x-1$
$=2(x^2-3x-\frac{1}{2})$
$=2[(x^2-3x+\frac{9}{4})-\frac{9}{4}-\frac{1}{2}]$
$=2(x-\frac{3}{2})^2 - 2×\frac{11}{4}$
$=2(x-\frac{3}{2})^2-\frac{11}{2}$
【答案】
$2(x-\frac{3}{2})^2-\frac{11}{2}$
【知识点】
1.配方法 2.完全平方公式 3.整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查二次三项式的配方变形技能，解题的关键是先提取二次项系数，再凑完全平方式，变形过程需注意保证原式的值不变，该技能是后续解一元二次方程、研究二次函数性质的重要基础。
【难度系数】
0.8
本题需要用配方法将二次三项式化为指定的顶点式形式，解题思路如下：第一步先提取二次项系数2，将二次项和一次项的系数转化为二次项系数为1的形式；第二步对括号内的二次项和一次项，加上一次项系数一半的平方，同时减去这个平方，保证式子变形前后的值不变；第三步将前三项整理为完全平方形式，再合并括号内的常数项，最后乘以外层的系数完成化简即可得到结果。
【解析】
解：$2x^2-6x-1$
$=2(x^2-3x-\frac{1}{2})$
$=2[(x^2-3x+\frac{9}{4})-\frac{9}{4}-\frac{1}{2}]$
$=2(x-\frac{3}{2})^2 - 2×\frac{11}{4}$
$=2(x-\frac{3}{2})^2-\frac{11}{2}$
【答案】
$2(x-\frac{3}{2})^2-\frac{11}{2}$
【知识点】
1.配方法 2.完全平方公式 3.整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查二次三项式的配方变形技能，解题的关键是先提取二次项系数，再凑完全平方式，变形过程需注意保证原式的值不变，该技能是后续解一元二次方程、研究二次函数性质的重要基础。
【难度系数】
0.8
