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1. 已知一元二次方程$x^2 +6x +c=0$有一个根为-2，则另一个根为（
A.-2
B.-3
C.-4
D.-8
C
）A.-2
B.-3
C.-4
D.-8
答案
C 解析:
∵一元二次方程$x^2 +6x +c=0$有一个根为-2,
∴设另一个根为m,则有-2+m=-6,
∴m=-4.故选 C.
∵一元二次方程$x^2 +6x +c=0$有一个根为-2,
∴设另一个根为m,则有-2+m=-6,
∴m=-4.故选 C.
2. (江西中考)已知一元二次方程$2x^2 -5x +1=0$的两个根为$x_1,x_2$,下列结论正确的是（
A.$x_1+x_2=-\dfrac{5}{2}$
B.$x_1 · x_2=1$
C.$x_1,x_2$都是有理数
D.$x_1,x_2$都是正数
D
）A.$x_1+x_2=-\dfrac{5}{2}$
B.$x_1 · x_2=1$
C.$x_1,x_2$都是有理数
D.$x_1,x_2$都是正数
答案
D 解析:根据题意,得 $x_1+x_2=\dfrac{5}{2}＞0$,$x_1x_2=\dfrac{1}{2}＞0$,$\therefore x_1＞0$,$x_2＞0$,故 $x_1,x_2$ 都是正数.又$\because x=\dfrac{5\pm \sqrt{17}}{4}$,$\therefore x_1,x_2$ 都是无理数.故选 D.
3. 平行四边形的两条邻边的长分别是方程$x^2 -7x+1=0$的两根,则该平行四边形的周长是（
A.7
B.10
C.14
D.20
C
）A.7
B.10
C.14
D.20
答案
C 解析:
∵平行四边形的两条邻边的长分别是方程 $x^2-7x+1=0$ 的两根,
∴平行四边形的两条邻边的长的和是 7,故该平行四边形的周长是 $7×2=14$. 故选 C.
∵平行四边形的两条邻边的长分别是方程 $x^2-7x+1=0$ 的两根,
∴平行四边形的两条邻边的长的和是 7,故该平行四边形的周长是 $7×2=14$. 故选 C.
4. (2026·郑州月考)写出一个关于x的一元二次方程
$x^2-x-2=0$
，使得它的两个根分别是-1和2，且二次项系数为1.答案
$x^2-x-2=0$ 解析:依题意,$(x+1)(x-2)=0$,即 $x^2-x-2=0$ 满足关于 $x$ 的一元二次方程的两个根分别是-1 和 2,且二次项系数为 1,故答案为 $x^2-x-2=0$.
5. 一题多变 (1)(宜昌中考)已知$x_1,x_2$是方程$2x^2-3x+1=0$的两根,则代数式$\frac{x_1+x_2}{1+x_1x_2}$的值为
(2)(2024·泸州中考)已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2-3x-5=0$的两个实数根,则$(x_1-x_2)^2+3x_1x_2$的值是
1
;(2)(2024·泸州中考)已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2-3x-5=0$的两个实数根,则$(x_1-x_2)^2+3x_1x_2$的值是
14
.答案
(1)1 解析:
∵$x_1,x_2$ 是一元二次方程 $2x^2-3x+1=0$ 的两根,
∴$x_1+x_2=\dfrac{3}{2}$,$x_1x_2=\dfrac{1}{2}$,$\therefore \dfrac{x_1+x_2}{1+x_1x_2}=1$.
(2)14 解析:
∵$x_1,x_2$ 是一元二次方程 $x^2-3x-5=0$ 的两个实数根,
∴$x_1+x_2=3$,$x_1x_2=-5$,$\therefore (x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=9$,$\therefore (x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=9-4x_1x_2=9+20=29$,$\therefore (x_1-x_2)^2+3x_1x_2=29+3×(-5)=14$.
∵$x_1,x_2$ 是一元二次方程 $2x^2-3x+1=0$ 的两根,
∴$x_1+x_2=\dfrac{3}{2}$,$x_1x_2=\dfrac{1}{2}$,$\therefore \dfrac{x_1+x_2}{1+x_1x_2}=1$.
(2)14 解析:
∵$x_1,x_2$ 是一元二次方程 $x^2-3x-5=0$ 的两个实数根,
∴$x_1+x_2=3$,$x_1x_2=-5$,$\therefore (x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=9$,$\therefore (x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=9-4x_1x_2=9+20=29$,$\therefore (x_1-x_2)^2+3x_1x_2=29+3×(-5)=14$.
6. 在解一元二次方程$x^2+px+q=0$时，小明看错了系数$p$，解得方程的根为1和-3；小红看错了常数$q$，解得方程的根为4和-2，则
$p=$
$p=$
-2
，$q=$-3
.答案
-2 -3 解析:
∵小明看错了系数 $p$,解得方程的根为 1 和-3,
∴$q=1×(-3)=-3$.
∵小红看错了常数 $q$,解得方程的根为 4 和-2,
∴$-p=4-2=2$,$\therefore p=-2$.
∵小明看错了系数 $p$,解得方程的根为 1 和-3,
∴$q=1×(-3)=-3$.
∵小红看错了常数 $q$,解得方程的根为 4 和-2,
∴$-p=4-2=2$,$\therefore p=-2$.
7. 已知$x_1,x_2$是方程$x^2 -3x -1=0$的两根，不解方程，求下列各式的值.
(1)$x_1+x_2$；
(2)$x_1x_2$；
(3)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$；
(4)$x_1^2 +x_2^2$.
(1)$x_1+x_2$；
(2)$x_1x_2$；
(3)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$；
(4)$x_1^2 +x_2^2$.
答案
(1)$x_1+x_2=-\dfrac{-3}{1}=3$.
(2)$x_1x_2=\dfrac{-1}{1}=-1$.
(3)$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{3}{-1}=-3$.
(4)$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3^2-2×(-1)=11$.
(2)$x_1x_2=\dfrac{-1}{1}=-1$.
(3)$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{3}{-1}=-3$.
(4)$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3^2-2×(-1)=11$.
8. (2026·成都月考)已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(k+3)x+2k+2=0$.
(1)求证:方程总有两个实数根.
(2)若方程的两个实数根为$x_1,x_2$满足$x_1x_2=x_1+x_2-2$,求$k$的值.
(1)求证:方程总有两个实数根.
(2)若方程的两个实数根为$x_1,x_2$满足$x_1x_2=x_1+x_2-2$,求$k$的值.
答案
(1)关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-(k+3)x+2k+2=0$,$\because \Delta=[-(k+3)]^2-4×1×(2k+2)=k^2+6k+9-8k-8=k^2-2k+1=(k-1)^2\ge0$,$\therefore$ 方程总有两个实数根.
(2)$\because$ 方程 $x^2-(k+3)x+2k+2=0$ 的两个实数根为 $x_1,x_2$,$\therefore x_1+x_2=k+3$,$x_1x_2=2k+2$,$x_1x_2=x_1+x_2-2$,即 $2k+2=k+3-2$,解得 $k=-1$.
(2)$\because$ 方程 $x^2-(k+3)x+2k+2=0$ 的两个实数根为 $x_1,x_2$,$\therefore x_1+x_2=k+3$,$x_1x_2=2k+2$,$x_1x_2=x_1+x_2-2$,即 $2k+2=k+3-2$,解得 $k=-1$.
9. 若关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根之和为$p$，两根之积为$q$，则关于$y$的方程$a(y-2)^2 + b(y-2)+c=0$的两根之积是（
A.$2p+q+4$
B.$2p - q +4$
C.$q -2p +4$
D.$q -2p -4$
A
）A.$2p+q+4$
B.$2p - q +4$
C.$q -2p +4$
D.$q -2p -4$
答案
A 解析:设关于 $y$ 的方程 $a(y-2)^2+b(y-2)+c=0$ 的两根分别为 $y_1,y_2$.
∵关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0(a\ne0)$ 的两根之和为 $p$,两根之积为 $q$,$\therefore x_1+x_2=p$,$x_1x_2=q$,$\therefore (y_1-2)+(y_2-2)=p$,$(y_1-2)(y_2-2)=q$,化简得 $y_1+y_2=p+4$,$y_1y_2-2(y_1+y_2)+4=q$,整理可得 $y_1y_2=2p+q+4$,故选 A.
∵关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0(a\ne0)$ 的两根之和为 $p$,两根之积为 $q$,$\therefore x_1+x_2=p$,$x_1x_2=q$,$\therefore (y_1-2)+(y_2-2)=p$,$(y_1-2)(y_2-2)=q$,化简得 $y_1+y_2=p+4$,$y_1y_2-2(y_1+y_2)+4=q$,整理可得 $y_1y_2=2p+q+4$,故选 A.
10. (2024·日照中考)已知实数$x_1,x_2(x_1≠x_2)$是关于$x$的方程$kx^2+2kx+1=0(k≠0)$的两个根，若$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$，则$k$的值为 (
A.1
B.$-1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
B
)A.1
B.$-1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
答案
B 解析:
∵$x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $kx^2+2kx+1=0(k\ne0)$ 的两个根,$\therefore x_1+x_2=-2$,$x_1x_2=\dfrac{1}{k}$.
∵$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=2$,$\therefore \dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=2$,$\therefore \dfrac{-2}{\dfrac{1}{k}}=2$,$\therefore -2k=2$,解得 $k=-1$,经检验,$k=-1$ 符合题意,故选 B.
∵$x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $kx^2+2kx+1=0(k\ne0)$ 的两个根,$\therefore x_1+x_2=-2$,$x_1x_2=\dfrac{1}{k}$.
∵$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=2$,$\therefore \dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=2$,$\therefore \dfrac{-2}{\dfrac{1}{k}}=2$,$\therefore -2k=2$,解得 $k=-1$,经检验,$k=-1$ 符合题意,故选 B.
11. (呼和浩特中考改编)已知$x_1,x_2$是方程$x^2 - x - 2022 = 0$的两个实数根,则代数式$x_1^3 - 2022x_1 + x_2^2 =$
4045
.答案
4045 解析:把 $x=x_1$ 代入方程得 $x_1^2-x_1-2022=0$,即 $x_1^2-2022=x_1$.
∵$x_1,x_2$ 是方程 $x^2-x-2022=0$ 的两个实数根,$\therefore x_1+x_2=1$,$x_1x_2=-2022$,则原式$=x_1(x_1^2-2022)+x_2^2=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=1+4044=4045$.
∵$x_1,x_2$ 是方程 $x^2-x-2022=0$ 的两个实数根,$\therefore x_1+x_2=1$,$x_1x_2=-2022$,则原式$=x_1(x_1^2-2022)+x_2^2=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=1+4044=4045$.
12.(巴中中考)$α,β$是关于$x$的方程$x^2 -x +k -1=0$的两个实数根，且$α^2 -2α -β=4$，则$k$的值为
-4
.答案
-4 解析:
∵$α,β$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2-x+k-1=0$ 的根,$\therefore α^2-α+k-1=0$,$α+β=1$,$\therefore α^2-2α-β=α^2-α-(α+β)=-k+1-1=-k=4$,$\therefore k=-4$.
∵$α,β$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2-x+k-1=0$ 的根,$\therefore α^2-α+k-1=0$,$α+β=1$,$\therefore α^2-2α-β=α^2-α-(α+β)=-k+1-1=-k=4$,$\therefore k=-4$.
