1.(答题模板)如图,已知∠AOE是平角,∠DOE=20°,OB平分∠AOC,且∠COD:∠BOC=2:3,求∠BOC的度数.
解: 设 ∠COD = 2x°, 则
∠BOC=.
因为OB平分,
所以∠AOB=,
所以2x++3x+=,
解得x=,
所以∠BOC=3×=.

1. 解: 设 ∠COD = 2x°, 则∠BOC=3x°. 因为OB平分∠AOC,所以∠AOB=3x°,所以2x+3x+3x+20=180,解得x=20,所以∠BOC=3×20°=60°.

【分析】
本题是角度计算类题目，可运用方程思想求解。首先根据∠COD与∠BOC的比例关系设未知数，再利用角平分线的性质得到∠AOB和∠BOC的等量关系，最后结合平角的度数为180°，把组成平角∠AOE的所有角相加列方程，解出未知数后即可求出∠BOC的度数。
【解析】
1. 根据∠COD:∠BOC=2:3，设∠COD=2x°，则∠BOC=3x°；
2. 由OB平分∠AOC，根据角平分线的定义可得∠AOB=∠BOC=3x°；
3. 已知∠AOE是平角，度数为180°，且∠AOE=∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOE，代入已知角度和含x的式子，可得方程：2x+3x+3x+20=180；
4. 合并同类项计算得8x=160，解得x=20；
5. 将x=20代入∠BOC=3x°，计算得∠BOC=3×20°=60°。
【答案】
设 ∠COD = 2x°, 则∠BOC=3x°. 因为OB平分∠AOC,所以∠AOB=3x°,所以2x+3x+3x+20=180,解得x=20,所以∠BOC=3×20°=60°.
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的常规题型，通过方程思想处理比例类角度问题，能大幅降低解题难度，这类解题思路在几何计算中应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7

2.如图，点E,O,A在同一条直线上，OC平分∠AOD，且∠2:∠3:∠4=1:2:4，求∠1的度数.

2. 解:因为 OC 平分∠AOD,所以∠1=∠2.因为∠2:∠3:∠4=1:2:4,所以设∠1=∠2=x°,则∠3=2x°,∠4=4x°.又因为∠1+∠2+∠3+∠4=180°,所以x+x+2x+4x=180,解得x=22.5,则∠1的度数是22.5°.

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据OC平分∠AOD的角平分线性质，可得∠1和∠2相等；再结合题目给出的∠2:∠3:∠4=1:2:4的比例关系，采用设参数的方法，将∠1、∠2用同一个未知数表示，进而用含未知数的式子表示出∠3和∠4；最后由点E、O、A共线可知四个角的和为平角180°，据此列方程求解即可得到∠1的度数。
【解析】
解：
∵OC平分∠AOD，
∴∠1=∠2。
∵∠2:∠3:∠4=1:2:4，
∴设∠1=∠2=x°，则∠3=2x°，∠4=4x°。
又
∵点E，O，A在同一条直线上，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
代入得：$x + x + 2x + 4x = 180$，
合并同类项得$8x=180$，
解得$x=22.5$。
即∠1的度数为22.5°。
【答案】
22.5°
【知识点】
角平分线的定义；平角的定义；角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题核心是找准角度间的等量关系，合理运用设未知数列方程的方法简化计算，能有效考查学生对基础角性质的掌握和运用方程思想解题的能力。
【难度系数】
0.75

3.如图,已知∠AOB的补角等于它的余角的6倍.OD平分∠BOC,∠AOC=2∠BOD,求∠AOD的度数.

3. 解:设∠AOB的度数为x°,可得180−x=6(90−x),解得x=72,即∠AOB的度数为72°.因为 OD 平分∠BOC,设∠BOD=1/2∠BOC=y°.因为∠AOC=2∠BOD,所以∠AOC=∠BOC=2y°,可得2y+2y+72=360,解得y=72,所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=72°+72°=144°.

【分析】
解题时先从已知条件“∠AOB的补角等于它的余角的6倍”入手，利用余角、补角的定义设未知数，先求出∠AOB的度数；再结合角平分线的定义得到∠BOC与∠BOD的数量关系，结合∠AOC=2∠BOD的条件推出∠AOC和∠BOC相等，再根据周角为360°的性质设未知数列方程，求出∠BOD的度数；最后利用角的和差关系计算∠AOD的度数即可。
【解析】
解：设∠AOB的度数为$x°$，根据余角、补角的定义列方程：
$180-x=6(90-x)$
展开得：$180-x=540-6x$
移项合并得：$5x=360$
解得：$x=72$，即$∠ AOB=72°$。
∵OD平分$∠ BOC$，
∴$∠ BOC=2∠ BOD$，
设$∠ BOD=y°$，则$∠ BOC=2y°$，
∵$∠ AOC=2∠ BOD$，
∴$∠ AOC=2y°$，
∵绕点O的所有角之和为周角$360°$，
∴$∠ AOC+∠ AOB+∠ BOC=360°$，
代入得：$2y+72+2y=360$
合并得：$4y=288$
解得：$y=72$，即$∠ BOD=72°$，
∴$∠ AOD=∠ AOB+∠ BOD=72°+72°=144°$。
【答案】
$144°$
【知识点】
余角补角定义，角平分线定义，角的和差计算
【点评】
本题是方程思想在角的计算中的典型应用，解题核心是理清各个角之间的数量关系，结合相关角的性质建立等量关系列方程求解，能有效考查学生对角度相关基础概念的掌握和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

4. 已知∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE=30°，∠BOD=20°。试求∠COF的度数。

4. 解:Ⅰ.当∠AOB大于∠BOC时,如图①所示,因为OE平分∠AOB,所以∠BOE=∠AOE=30°.又因为∠BOD=20°,所以∠DOE=10°,∠AOD=40°.因为OD平分∠AOC,所以∠COD=∠AOD=40°.因为∠BOD=20°,所以∠BOC=20°. 因为 OF 平分∠BOC, 所以 ∠COF = 1/2 × 20° = 10°;
Ⅱ.当∠AOB小于∠BOC时,如图②所示,因为OE平分∠AOB,所以∠BOE=∠AOE=30°.又因为∠BOD=20°,所以∠AOD=80°.因为OD平分∠AOC,所以∠COD=∠AOD=80°.因为∠BOD=20°,所以∠BOC=100°.因为OF平分∠BOC,所以∠COF=1/2∠BOC=1/2×100°=50°.综上,∠COF的度数为10°或50°.

【分析】
本题未明确∠AOB与∠BOC的大小关系，需分两种情况分类讨论求解：首先根据角平分线的定义，由OE平分∠AOB和∠AOE=30°得出∠BOE的度数；再结合∠BOD=20°计算出∠AOD的度数，利用OD平分∠AOC得到∠COD的度数，进而求出∠BOC的度数；最后根据OF平分∠BOC即可计算出∠COF的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
Ⅰ. 当∠AOB大于∠BOC时，如图①所示：
∵ OE平分∠AOB，∠AOE=30°，
∴ ∠BOE=∠AOE=30°。
又
∵ ∠BOD=20°，
∴ ∠AOD=∠AOE+∠BOE-∠BOD=30°+30°-20°=40°。
∵ OD平分∠AOC，
∴ ∠COD=∠AOD=40°，
∴ ∠BOC=∠COD-∠BOD=40°-20°=20°。
∵ OF平分∠BOC，
∴ ∠COF=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×20°=10°。
Ⅱ. 当∠AOB小于∠BOC时，如图②所示：
∵ OE平分∠AOB，∠AOE=30°，
∴ ∠BOE=∠AOE=30°，∠AOB=2∠AOE=60°。
又
∵ ∠BOD=20°，
∴ ∠AOD=∠AOB+∠BOD=60°+20°=80°。
∵ OD平分∠AOC，
∴ ∠COD=∠AOD=80°，
∴ ∠BOC=∠COD+∠BOD=80°+20°=100°。
∵ OF平分∠BOC，
∴ ∠COF=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×100°=50°。
【答案】
∠COF的度数为10°或50°。

【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是角的计算的典型题型，解题时需注意无明确图形时角的位置存在多种情况，避免漏解；解题过程主要运用角平分线的性质和角的和差运算，同时体现了分类讨论的数学思想，对思维的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6

5.如图，OC是$∠ AOB$的平分线.
(1)当$∠ AOB=60°$时，求$∠ AOC$的度数；
(2)在(1)的条件下，$∠ EOC=90°$，请在图中补全图形，并求$∠ AOE$的度数；
(3)当$∠ AOB=α$，$∠ EOC=90°$时，直接写出$∠ AOE$的度数.(用含$α$的代数式表示)

5.(1)解:因为 OC 是∠AOB 的平分线,所以∠AOC=1/2∠AOB.因为∠AOB=60°,所以∠AOC=30°.
(2)如图1,∠AOE=∠EOC+∠AOC=90°+30°=120°;如图2,∠AOE=∠EOC−∠AOC=90°−30°=60°.综上,∠AOE的度数为120°或60°.
(3)90°+α/2 或 90°−α/2.

【分析】
(1) 第一问已知OC是∠AOB的角平分线，根据角平分线的定义，角平分线可将一个角分成两个大小相等的小角，每个小角等于原角的一半，代入已知的∠AOB的度数即可求出∠AOC的度数；
(2) 第二问中∠EOC=90°，OE的位置存在两种情况：一种是OE在∠AOB外侧靠近OB的一侧，此时∠AOE为∠EOC与∠AOC的和；另一种是OE在∠AOB外侧靠近OA的一侧，此时∠AOE为∠EOC与∠AOC的差，分两种情况计算即可，注意不要漏解；
(3) 第三问是第二问的一般化推导，将∠AOB的具体度数替换为α，同理先根据角平分线定义得到∠AOC=$\frac{α}{2}$，再分两种情况计算∠AOE即可。
【解析】
(1) 解：
∵OC是∠AOB的平分线，
∴$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵$∠ AOB=60°$，
∴$∠ AOC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
(2) 补全图形共两种情况：
① 如图1，OE在∠AOB外靠近OB的一侧：
$∠ AOE=∠ EOC+∠ AOC=90°+30°=120°$；
② 如图2，OE在∠AOB外靠近OA的一侧：
$∠ AOE=∠ EOC-∠ AOC=90°-30°=60°$；
综上，∠AOE的度数为$120°$或$60°$。
(3) 由角平分线定义可得$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{α}{2}$，
同理分两种情况计算：
当OE在靠近OB一侧时，$∠ AOE=90°+\frac{α}{2}$；
当OE在靠近OA一侧时，$∠ AOE=90°-\frac{α}{2}$。
【答案】
(1) $∠ AOC=30°$；
(2) 补全图形如图1、图2，∠AOE的度数为$120°$或$60°$；
(3) $90°+\frac{α}{2}$或$90°-\frac{α}{2}$。
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查角平分线的性质以及角的和差运算，解题的关键是考虑到OE位置的两种可能性，避免漏解，能有效锻炼分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.7