1.(怀化市中考)与$30°$角互为余角的角的度数是（）

A.$30°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$90°$

1.B

【分析】
解决这道题首先要回忆余角的定义：互为余角的两个角的和等于90°。要求与30°互为余角的角的度数，只需要用90°减去已知的30°，算出结果后对应选项即可。
【解析】
根据余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角。
则30°角的余角度数为：$90° - 30° = 60°$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
余角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对余角定义的识记和简单运算，熟练掌握相关基础概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2.(陕西省中考)若$∠ A=48°$,则$∠ A$的补角的度数为 （）

A.$42°$
B.$52°$
C.$132°$
D.$142°$

2.C

【分析】
解题首先要明确补角的基本定义：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角。要求∠A的补角，直接用180°减去∠A的度数即可，这是解题的核心思路。
【解析】
根据补角的定义可知，互为补角的两个角度数之和为180°。
已知∠A=48°，因此∠A的补角度数为：
$180° - 48° = 132°$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对补角定义的理解和简单计算，属于几何入门的常见基础题型，掌握核心定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9

3.若∠1与∠2互余，且∠1:∠2=3:2，则∠1=，∠2=。

3.54° 36°

【分析】
解题首先要明确互余的定义：两个角互余则它们的度数和为90°，这是本题的核心等量关系。题目同时给出了∠1和∠2的比例关系，我们可以通过设参数的方法，把两个角用含同一个未知数的式子表示，再结合互余的和为90°的关系列方程，即可求出两个角的度数。
【解析】
解：
∵∠1与∠2互余，根据余角的定义可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$
又
∵$∠ 1:∠ 2=3:2$
∴设$∠ 1=3k$，$∠ 2=2k$（$k$为大于0的常数）
将上述表达式代入和为$90°$的关系中：
$3k + 2k = 90°$
$5k = 90°$
解得$k=18°$
因此$∠ 1=3×18°=54°$，$∠ 2=2×18°=36°$
【答案】
$54°$；$36°$
【知识点】
1. 余角的定义
2. 比例的应用
【点评】
本题属于基础概念结合简单计算的题型，解题关键是掌握互余两角的和为$90°$的性质，结合比例关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4.一个角的补角等于它的余角的6倍，求这个角。

4. 解:设这个角是$x°$.由题意,得 $180°-x°=6(90°-x°)$,解得 $x°=72°$.即这个角是 $72°$.

【分析】
解题时首先要回忆余角和补角的定义：两个角的和为90°则互为余角，两个角的和为180°则互为补角。我们可以先设这个角的度数为未知数，用含未知数的式子分别表示出它的余角和补角，再根据“补角等于余角的6倍”的等量关系列方程，最后解方程就能得到这个角的度数。
【解析】
解：设这个角是$x°$。
这个角的补角为$(180-x)°$，余角为$(90-x)°$，根据题意列方程：
$180 - x = 6(90 - x)$
展开右侧得：$180 - x = 540 - 6x$
移项得：$6x - x = 540 - 180$
合并同类项得：$5x = 360$
系数化为1得：$x = 72$
【答案】
这个角是$72°$
【知识点】
1. 余角和补角的定义
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是余角补角相关的基础典型题，解题核心是准确掌握余角、补角的概念，结合题目给出的数量关系建立方程求解，侧重考察基础概念的理解和方程思想的简单运用。
【难度系数】
0.8

5.如图,因为$∠1+∠COB=90°,∠2+∠COB=90°$,所以$∠1=∠2$的依据是 ()

A.同角的余角相等
B.等角的余角相等
C.同角的补角相等
D.等角的补角相等

5.A

【分析】
解题时首先观察已知条件：∠1和∠2分别与同一个角∠COB相加的和都为90°，第一步先根据余角的定义判断∠1、∠2都是∠COB的余角；第二步区分“同角”和“等角”的概念：“同角”指的是同一个角，“等角”指的是两个相等的不同角，本题中两个角都是∠COB的余角，对应余角的性质即可得到结论。
【解析】
已知∠1+∠COB=90°，根据余角的定义，可得∠1是∠COB的余角；
又已知∠2+∠COB=90°，同理可得∠2也是∠COB的余角；
根据余角的性质：同角的余角相等，因此∠1=∠2，对应依据为选项A。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义，余角的性质
【点评】
本题主要考查余角的性质，解题的关键是准确区分“同角”和“等角”的概念，属于基础概念考查题，熟练掌握余角相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9

6.若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，∠1=60°，则∠3=（）

A.50°
B.60°
C.30°
D.120°

6.B

【分析】
解题时首先回忆补角的定义：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角。我们有两种解题思路：第一种是先根据∠1的度数和∠1与∠2的互补关系求出∠2的度数，再根据∠2与∠3的互补关系求出∠3的度数；第二种是直接利用补角的性质：同角的补角相等，因为∠1和∠3都是∠2的补角，所以∠1和∠3相等，直接得出∠3的度数，第二种思路解题更简便。
【解析】
方法1：
∵ ∠1与∠2互补，
∴ ∠1 + ∠2 = 180°，
已知∠1=60°，
∴ ∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 60° = 120°，
又
∵ ∠2与∠3互补，
∴ ∠2 + ∠3 = 180°，
∴ ∠3 = 180° - ∠2 = 180° - 120° = 60°。
方法2：
∵ ∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，
∴ ∠1和∠3都是∠2的补角，
根据“同角的补角相等”可得∠1=∠3，
已知∠1=60°，
∴ ∠3=60°。
【答案】
B
【知识点】
补角的定义；同角的补角相等
【点评】
本题属于基础题，重点考查补角的相关概念和性质，熟练掌握基础概念和性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

7. 如图所示，$∠ AOC=∠ BOC=90°$，$∠ AOD=∠ COE$，则图中互为余角的共有（）

A.5对
B.4对
C.3对
D.2对

7.B

【分析】
首先回忆余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角。解题时先从已知的两个直角出发，找出直接相加等于90°的角对，再结合∠AOD=∠COE的条件，通过等量代换找出其余的互余角对，计数时注意不重不漏。
【解析】
已知$∠ AOC=∠ BOC=90°$，
1. 由$∠ AOC=90°$可得：$∠ AOD+∠ DOC=90°$，因此$∠ AOD$与$∠ DOC$互余；
2. 由$∠ BOC=90°$可得：$∠ COE+∠ EOB=90°$，因此$∠ COE$与$∠ EOB$互余；
3. 已知$∠ AOD=∠ COE$，将第一个式子中的$∠ AOD$替换为$∠ COE$，可得：$∠ COE+∠ DOC=90°$，因此$∠ COE$与$∠ DOC$互余；
4. 将第二个式子中的$∠ COE$替换为$∠ AOD$，可得：$∠ AOD+∠ EOB=90°$，因此$∠ AOD$与$∠ EOB$互余。
综上，共有4对互为余角的角。
【答案】
B
【知识点】
余角的定义，等量代换，角的和差计算
【点评】
本题考查余角的识别，解题的关键是结合已知条件，先找出直接互余的角对，再通过等量代换挖掘出隐含的互余角对，避免漏算或重复计数。
【难度系数】
0.7

8.如果∠α和∠β互余，那么下列式子中：①$180° - ∠α$；②$∠β + 90°$；③$∠α + 2∠β$；④$2∠α + ∠β$，能表示∠α的补角的式子有.(填序号)

8.①②③

【分析】
解题首先要明确两个核心概念：一是互余的两个角和为90°，即由∠α和∠β互余可得∠α+∠β=90°；二是一个角的补角为180°减去这个角，即∠α的补角是180°-∠α。接下来我们可以将∠β替换为90°-∠α，逐个验证四个式子是否等于180°-∠α，就能判断哪些符合要求。
【解析】
解：
∵∠α和∠β互余，根据余角的定义得：∠α + ∠β = 90°，即∠β = 90° - ∠α。
∠α的补角根据补角的定义为：180° - ∠α，逐个判断四个式子：
①：180° - ∠α，与∠α的补角定义完全一致，故①符合要求；
②：将∠β = 90° - ∠α代入得：∠β + 90° = (90° - ∠α) + 90° = 180° - ∠α，故②符合要求；
③：将∠β = 90° - ∠α代入得：∠α + 2∠β = ∠α + 2(90° - ∠α) = ∠α + 180° - 2∠α = 180° - ∠α，故③符合要求；
④：将∠β = 90° - ∠α代入得：2∠α + ∠β = 2∠α + (90° - ∠α) = 90° + ∠α，仅当∠α=45°时等于180°-∠α，不具有普遍性，故④不符合要求。
综上，能表示∠α补角的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
余角的定义；补角的定义；角度运算
【点评】
本题主要考查余角和补角定义的灵活应用，解题的关键是利用互余两角的关系进行等量代换，再通过计算验证式子是否符合补角的要求，掌握基础定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

9. 如图,已知点O在直线AB上,$∠1=∠2$,$∠3=∠4$,$∠AOF=∠BOF=90°$,则:

(1)$∠AOC$的补角是;
(2)$∠AOC$的余角是;
(3)$∠COF$的补角是;
(4)$∠EOF$的余角是.

9.(1)$∠COB$ (2)$∠3,∠4$ (3)$∠AOE$ (4)$∠3,∠4$

【分析】
解题首先要明确余角、补角的定义：两个角的和为90°则互为余角，和为180°则互为补角。再结合题目给出的条件：点O在直线AB上可得∠AOB=180°，∠AOF=∠BOF=90°，以及∠1=∠2、∠3=∠4的等角关系，结合图形的角的和差规律逐一推导对应角的余角和补角即可。
【解析】
已知点O在直线AB上，故∠AOB=180°，又题中给出∠AOF=∠BOF=90°，∠1=∠2，∠3=∠4：
(1) 因为$∠ AOC + ∠ COB = ∠ AOB = 180°$，根据补角定义，$∠ AOC$的补角是$∠ COB$；
(2) 因为$∠ AOC + ∠ 3 = ∠ AOF = 90°$，所以$∠ 3$是$∠ AOC$的余角，又因为$∠ 3=∠ 4$，所以$∠ 4$也和$∠ AOC$互余，因此$∠ AOC$的余角是$∠ 3、∠ 4$；
(3) 由$∠ COF = ∠ AOF - ∠ AOC = 90°-∠ AOC$，又$∠ AOE = ∠ AOB - ∠ 4 = 180°-∠ 4$，结合$∠ AOC+∠3=90°$、$∠3=∠4$，可得$∠4=90°-∠ AOC$，代入得$∠ AOE=180°-(90°-∠ AOC)=90°+∠ AOC$，因此$∠ COF+∠ AOE=(90°-∠ AOC)+(90°+∠ AOC)=180°$，故$∠ COF$的补角是$∠ AOE$；
(4) 因为$∠ EOF + ∠ 4 = ∠ BOF=90°$，所以$∠4$是$∠ EOF$的余角，又$∠3=∠4$，所以$∠3$也和$∠ EOF$互余，因此$∠ EOF$的余角是$∠3、∠4$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{∠COB}$；(2)$\boldsymbol{∠3,∠4}$；(3)$\boldsymbol{∠AOE}$；(4)$\boldsymbol{∠3,∠4}$
【知识点】
补角的定义；余角的定义；角的和差计算
【点评】
本题核心是对余角、补角概念的应用，解题时要结合图形梳理角之间的和差关系，同时利用已知的等角条件避免漏解，是余角补角章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7

10.(核心素养·模型观念)如图,已知$∠ 1=20°,∠ AOE=96°,OB$平分$∠ AOC,OD$平分$∠ COE$.
(1)求$∠ 3$的度数;
(2)若以$O$为观察中心,$OA$为正东方向,射线$OD$在什么位置?
(3)若以$OA$为钟面上的时针,$OD$为分针,且$OA$正好在“3”的下方不远处,你知道此时的时刻吗?

10.(1)解:$28°$. (2)易得$∠AOD=68°$.因为$OA$为正东方向,所以有 $90°-68°=22°$,所以 $OD$ 表示北偏东 $22°$方向. (3)设此时为 3 时 $x$ 分,则 $90°+0.5°x-6°x=68°,x=4$,即此时是 3 时 4 分.

【分析】
(1) 求解∠3的度数时，先利用角平分线的性质得到相等的角，再结合∠AOE的总度数，将角的和转化为含∠3的关系式即可计算；
(2) 确定OD的方向，先求出∠AOD的度数，再结合正东OA与正北方向的夹角为90°，算出OD偏离正北的角度即可判断方向；
(3) 解决钟面问题，先明确时针、分针每分钟的转动角度，再根据3时整时针的初始角度，结合时针与分针的夹角度数列方程求解即可。
【解析】
(1)
∵OB平分∠AOC，
∴∠2=∠1=20°
∵OD平分∠COE，
∴∠3=∠DOE
又
∵∠AOE=∠1+∠2+∠3+∠DOE=96°
代入得：20°+20°+2∠3=96°
解得2∠3=56°，即∠3=28°
(2) ∠AOD=∠AOE - ∠DOE=96°-28°=68°
∵OA为正东方向，正东与正北的夹角为90°
∴OD与正北方向的夹角为90°-68°=22°，即OD在北偏东22°方向
(3) 钟面上，时针每分钟转0.5°，分针每分钟转6°
设此时为3时x分，3时整时针与12点方向夹角为90°，则x分后时针角度为90°+0.5°x，分针角度为6°x，二者夹角为68°，可列方程：
90°+0.5°x - 6°x =68°
解得x=4，即此时为3时4分
【答案】
(1) $\boldsymbol{28°}$；(2) $\boldsymbol{北偏东22°}$方向；(3) $\boldsymbol{3时4分}$
【知识点】
角平分线的定义，方向角，钟面角计算
【点评】
本题将角的基本运算与方向识别、钟面场景结合，考查角的相关计算，需要灵活运用角平分线性质，结合实际场景建立角度的数量关系，综合性较强，贴近生活应用。
【难度系数】
0.7