登录
活动一:数一数 算一算
1. 请你计算课本第86页图3-1中三个格点正方形的面积,它们之间存在什么数量关系?与同学交流求格点正方形面积的方法.
2. 完成课本第87页的“活动”.
1. 请你计算课本第86页图3-1中三个格点正方形的面积,它们之间存在什么数量关系?与同学交流求格点正方形面积的方法.
2. 完成课本第87页的“活动”.
答案
1. 三个正方形的面积分别为9，16，25。方法1：割，将大正方形割成四个直角三角形和一个边长为1的小正方形；方法2：补，将大正方形补成一个边长为5的正方形。9+16=25 2. 略
解析
【分析】
解决第1问时，先观察三个格点正方形的位置：两个小正方形分别在直角三角形的两条直角边上，边长可直接通过数格点得到，面积用边长平方即可计算；斜边上的大正方形无法直接通过边长求面积，因此想到用割补法计算：割法是将其分割为规则的直角三角形和小正方形分别求和，补法是将其补成更大的规则正方形减去多余部分的面积。得到三个面积后，对比数值即可找到数量关系。第2问为课本实践活动，结合课堂操作完成即可。
【解析】
1. 计算三个格点正方形面积：
① 直角边上边长为3的小正方形：面积=3×3=9；
② 直角边上边长为4的小正方形：面积=4×4=16；
③ 斜边上的正方形：
方法1（割法）：将其分割为4个直角边分别为3、4的直角三角形，和1个边长为1的小正方形。
总面积=4×(1/2×3×4) + 1×1=24+1=25。
方法2（补法）：在其外围补4个直角边分别为3、4的直角三角形，得到边长为5的大正方形。
总面积=5×5 - 4×(1/2×3×4)=25-24=25。
对比三个面积可得数量关系：9+16=25，即两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。
2. 略
【答案】
1. 三个正方形的面积分别为9，16，25。方法1：割，将大正方形割成四个直角三角形和一个边长为1的小正方形；方法2：补，将大正方形补成一个边长为5的正方形。9+16=25 2. 略
【知识点】
割补法求面积、勾股定理初步
【点评】
本题是勾股定理的探究类基础题，通过动手计算格点图形面积，帮助学生直观理解勾股定理的几何意义，同时掌握割补法求解不规则格点图形面积的常用方法，为后续勾股定理的应用做好铺垫。
【难度系数】
0.8
解决第1问时，先观察三个格点正方形的位置：两个小正方形分别在直角三角形的两条直角边上，边长可直接通过数格点得到，面积用边长平方即可计算；斜边上的大正方形无法直接通过边长求面积，因此想到用割补法计算：割法是将其分割为规则的直角三角形和小正方形分别求和，补法是将其补成更大的规则正方形减去多余部分的面积。得到三个面积后，对比数值即可找到数量关系。第2问为课本实践活动，结合课堂操作完成即可。
【解析】
1. 计算三个格点正方形面积：
① 直角边上边长为3的小正方形：面积=3×3=9；
② 直角边上边长为4的小正方形：面积=4×4=16；
③ 斜边上的正方形：
方法1（割法）：将其分割为4个直角边分别为3、4的直角三角形，和1个边长为1的小正方形。
总面积=4×(1/2×3×4) + 1×1=24+1=25。
方法2（补法）：在其外围补4个直角边分别为3、4的直角三角形，得到边长为5的大正方形。
总面积=5×5 - 4×(1/2×3×4)=25-24=25。
对比三个面积可得数量关系：9+16=25，即两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。
2. 略
【答案】
1. 三个正方形的面积分别为9，16，25。方法1：割，将大正方形割成四个直角三角形和一个边长为1的小正方形；方法2：补，将大正方形补成一个边长为5的正方形。9+16=25 2. 略
【知识点】
割补法求面积、勾股定理初步
【点评】
本题是勾股定理的探究类基础题，通过动手计算格点图形面积，帮助学生直观理解勾股定理的几何意义，同时掌握割补法求解不规则格点图形面积的常用方法，为后续勾股定理的应用做好铺垫。
【难度系数】
0.8
1. 比较分析上述问题的结论，你有什么发现？
答案
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
解析
【分析】
本题是勾股定理探究环节的归纳总结类题目，解题时需先回顾前面探究过程中得到的多组直角三角形三边的平方数据，对比不同直角三角形中两条直角边的平方和与斜边平方的数量关系，排除直角三角形的边长、锐角度数等特殊因素的干扰，提炼出所有直角三角形共有的三边规律即可。
【解析】
在前面的探究活动中，我们通过数方格、测量计算等方式得到了多组不同直角三角形的三边长，分别计算每组数据中两条直角边的平方和、斜边的平方后可以发现：无论直角三角形的大小、锐角度数如何变化，两条直角边的平方和始终与斜边的平方相等，由此可归纳得出通用结论。
【答案】
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
【知识点】
勾股定理、归纳推理
【点评】
本题属于基础探究类题目，重点考查从具体实验数据中提炼共性规律的能力，能够帮助学生直观理解勾股定理的推导来源，为后续勾股定理的证明与应用打好基础。
【难度系数】
0.9
本题是勾股定理探究环节的归纳总结类题目，解题时需先回顾前面探究过程中得到的多组直角三角形三边的平方数据，对比不同直角三角形中两条直角边的平方和与斜边平方的数量关系，排除直角三角形的边长、锐角度数等特殊因素的干扰，提炼出所有直角三角形共有的三边规律即可。
【解析】
在前面的探究活动中，我们通过数方格、测量计算等方式得到了多组不同直角三角形的三边长，分别计算每组数据中两条直角边的平方和、斜边的平方后可以发现：无论直角三角形的大小、锐角度数如何变化，两条直角边的平方和始终与斜边的平方相等，由此可归纳得出通用结论。
【答案】
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
【知识点】
勾股定理、归纳推理
【点评】
本题属于基础探究类题目，重点考查从具体实验数据中提炼共性规律的能力，能够帮助学生直观理解勾股定理的推导来源，为后续勾股定理的证明与应用打好基础。
【难度系数】
0.9
2. 若把直角三角形的两条直角边和斜边长分别记为$a,b,c$，请用含$a,b,c$的式子表示你的发现。
答案
猜想:$a^2+b^2=c^2$
解析
【分析】
要探究直角三角形三边的数量关系，可从两个角度思考：一是特殊值举例验证，选取几组已知的直角三角形三边长，分别计算两条直角边的平方和与斜边的平方，观察二者是否存在等量关系；二是面积法验证，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，计算三个正方形的面积，可发现两条直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积，结合正方形面积等于边长的平方，即可推导出三边的关系。
【解析】
我们可以通过两种方式验证得到结论：
1. 举例验证：取直角边为3、4，斜边为5的直角三角形，计算得$3^2+4^2=9+16=25=5^2$；再取直角边为5、12，斜边为13的直角三角形，计算得$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，多组特殊直角三角形均满足两条直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 面积法验证：分别以直角三角形的三边$a、b、c$为边长向外作正方形，通过割补法可证明，直角边对应的两个正方形的面积之和等于斜边对应的正方形面积，即$S_a+S_b=S_c$。因为正方形面积等于边长的平方，所以$S_a=a^2$，$S_b=b^2$，$S_c=c^2$，代入可得$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
猜想:$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 直角三角形三边关系
【点评】
本题属于勾股定理的入门探究类题目，核心是引导学生通过自主探究的方式发现直角三角形三边的数量关系，是后续学习勾股定理证明、应用的重要基础。
【难度系数】
0.8
要探究直角三角形三边的数量关系，可从两个角度思考：一是特殊值举例验证，选取几组已知的直角三角形三边长，分别计算两条直角边的平方和与斜边的平方，观察二者是否存在等量关系；二是面积法验证，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，计算三个正方形的面积，可发现两条直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积，结合正方形面积等于边长的平方，即可推导出三边的关系。
【解析】
我们可以通过两种方式验证得到结论：
1. 举例验证：取直角边为3、4，斜边为5的直角三角形，计算得$3^2+4^2=9+16=25=5^2$；再取直角边为5、12，斜边为13的直角三角形，计算得$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，多组特殊直角三角形均满足两条直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 面积法验证：分别以直角三角形的三边$a、b、c$为边长向外作正方形，通过割补法可证明，直角边对应的两个正方形的面积之和等于斜边对应的正方形面积，即$S_a+S_b=S_c$。因为正方形面积等于边长的平方，所以$S_a=a^2$，$S_b=b^2$，$S_c=c^2$，代入可得$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
猜想:$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 直角三角形三边关系
【点评】
本题属于勾股定理的入门探究类题目，核心是引导学生通过自主探究的方式发现直角三角形三边的数量关系，是后续学习勾股定理证明、应用的重要基础。
【难度系数】
0.8
1. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$.已知下列两边，求第三边.
(1) $a=9$, $b=12$;
(2) $a=8$, $c=10$;
(3) $b=3$, $c=13$.
(1) $a=9$, $b=12$;
(2) $a=8$, $c=10$;
(3) $b=3$, $c=13$.
答案
(1) 15 (2) 6 (3) $4\sqrt{10}$
解析
【分析】
题目中△ABC是直角三角形，且∠C=90°，因此∠C对应的边c是斜边，a、b为两条直角边，满足勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2+b^2=c^2$。解题时先判断已知边属于直角边还是斜边，再对勾股定理变形求解未知边：已知两条直角边求斜边用$c=\sqrt{a^2+b^2}$，已知斜边和一条直角边求另一条直角边用$a=\sqrt{c^2-b^2}$或$b=\sqrt{c^2-a^2}$，最终结果需化为最简形式。
【解析】
∵在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴c为斜边，a、b为直角边，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$计算：
(1) 已知a=9，b=12，求斜边c：
$c=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$
(2) 已知a=8，c=10，求直角边b：
$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$
(3) 已知b=3，c=13，求直角边a：
$a=\sqrt{c^2 - b^2}=\sqrt{13^2-3^2}=\sqrt{169-9}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$
【答案】
(1) 15；(2) 6；(3) $4\sqrt{10}$
【知识点】
勾股定理；二次根式化简
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是明确直角三角形中斜边是直角所对的最长边，灵活变形勾股定理代入计算即可，需注意二次根式结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
题目中△ABC是直角三角形，且∠C=90°，因此∠C对应的边c是斜边，a、b为两条直角边，满足勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2+b^2=c^2$。解题时先判断已知边属于直角边还是斜边，再对勾股定理变形求解未知边：已知两条直角边求斜边用$c=\sqrt{a^2+b^2}$，已知斜边和一条直角边求另一条直角边用$a=\sqrt{c^2-b^2}$或$b=\sqrt{c^2-a^2}$，最终结果需化为最简形式。
【解析】
∵在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴c为斜边，a、b为直角边，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$计算：
(1) 已知a=9，b=12，求斜边c：
$c=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$
(2) 已知a=8，c=10，求直角边b：
$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$
(3) 已知b=3，c=13，求直角边a：
$a=\sqrt{c^2 - b^2}=\sqrt{13^2-3^2}=\sqrt{169-9}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$
【答案】
(1) 15；(2) 6；(3) $4\sqrt{10}$
【知识点】
勾股定理；二次根式化简
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是明确直角三角形中斜边是直角所对的最长边，灵活变形勾股定理代入计算即可，需注意二次根式结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
