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3. 已知实数$a,b$互为相反数，$c,d$互为倒数，$x$的绝对值为$\sqrt{6}$，求代数式$x^2 + (a+b)x + \sqrt{cd}$的值.
答案
7
解析
【分析】
解题时先从题干给出的三个条件入手，先回忆相反数、倒数、绝对值的相关性质，将文字描述转化为代数数值：首先互为相反数的两个数和为0，可得a+b的值；互为倒数的两个数乘积为1，可得cd的值；绝对值为√6的数，其平方等于绝对值的平方，可得x²的值，最后将所有值代入待求代数式计算即可，注意中间项含x的部分因为系数为0，无需考虑x的正负取值。
【解析】
解：
∵ 实数a,b互为相反数，
∴ a + b = 0，
∵ c,d互为倒数，
∴ cd = 1，
∵ x的绝对值为$\sqrt{6}$，
∴ $x^2 = |x|^2 = (\sqrt{6})^2 = 6$，
将$a+b=0$、$cd=1$、$x^2=6$代入代数式得：
$x^2 + (a+b)x + \sqrt{cd}$
$= 6 + 0×x + \sqrt{1}$
$= 6 + 0 + 1$
$= 7$
【答案】
7
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；绝对值的运算
【点评】
本题属于基础概念应用类题目，解题核心是准确将题目中的文字条件转化为对应的代数关系，代入计算时注意0乘任何数都为0，无需额外讨论x的正负，熟练掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从题干给出的三个条件入手，先回忆相反数、倒数、绝对值的相关性质，将文字描述转化为代数数值：首先互为相反数的两个数和为0，可得a+b的值；互为倒数的两个数乘积为1，可得cd的值；绝对值为√6的数，其平方等于绝对值的平方，可得x²的值，最后将所有值代入待求代数式计算即可，注意中间项含x的部分因为系数为0，无需考虑x的正负取值。
【解析】
解：
∵ 实数a,b互为相反数，
∴ a + b = 0，
∵ c,d互为倒数，
∴ cd = 1，
∵ x的绝对值为$\sqrt{6}$，
∴ $x^2 = |x|^2 = (\sqrt{6})^2 = 6$，
将$a+b=0$、$cd=1$、$x^2=6$代入代数式得：
$x^2 + (a+b)x + \sqrt{cd}$
$= 6 + 0×x + \sqrt{1}$
$= 6 + 0 + 1$
$= 7$
【答案】
7
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；绝对值的运算
【点评】
本题属于基础概念应用类题目，解题核心是准确将题目中的文字条件转化为对应的代数关系，代入计算时注意0乘任何数都为0，无需额外讨论x的正负，熟练掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 阅读例题,再解答问题.
例 请表示$\sqrt{6}$的小数部分.
解:因为$\sqrt{6}$的整数部分是2,将$\sqrt{6}$减去其整数部分,差就是小数部分.所以$\sqrt{6}$的小数部分是$\sqrt{6}-2$.
(1) 请表示$\sqrt[3]{9}$的小数部分；
(2) 已知$7+\sqrt{13}=x+y$,其中$x$是一个整数,且$0＜y＜1$,求出$3x+(\sqrt{13}-y)$的值.
例 请表示$\sqrt{6}$的小数部分.
解:因为$\sqrt{6}$的整数部分是2,将$\sqrt{6}$减去其整数部分,差就是小数部分.所以$\sqrt{6}$的小数部分是$\sqrt{6}-2$.
(1) 请表示$\sqrt[3]{9}$的小数部分；
(2) 已知$7+\sqrt{13}=x+y$,其中$x$是一个整数,且$0＜y＜1$,求出$3x+(\sqrt{13}-y)$的值.
答案
(1) $\sqrt[3]{9}$的整数部分是2，小数部分是$\sqrt[3]{9}-2$
(2) 33
(2) 33
解析
【分析】
第(1)问：解题思路和例题一致，要先确定$\sqrt[3]{9}$介于哪两个连续整数之间，得到它的整数部分，再用$\sqrt[3]{9}$减去整数部分就得到小数部分，需要通过计算相邻整数的立方来确定$\sqrt[3]{9}$的范围。
第(2)问：先估算$\sqrt{13}$的取值范围，从而得到$7+\sqrt{13}$的整数部分$x$，再结合$7+\sqrt{13}=x+y$（$0＜y＜1$）求出$y$的表达式，最后将$x$和$y$代入目标代数式计算即可。
【解析】
(1) 因为$2^3=8$，$3^3=27$，可得$8＜9＜27$，
所以$\sqrt[3]{8}＜\sqrt[3]{9}＜\sqrt[3]{27}$，即$2＜\sqrt[3]{9}＜3$，
因此$\sqrt[3]{9}$的整数部分是2，小数部分为$\sqrt[3]{9}-2$。
(2) 因为$3^2=9$，$4^2=16$，可得$9＜13＜16$，
所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，
则$7+3＜7+\sqrt{13}＜7+4$，也就是$10＜7+\sqrt{13}＜11$。
由题意$7+\sqrt{13}=x+y$，$x$是整数且$0＜y＜1$，可得：
$x=10$，$y=7+\sqrt{13}-10=\sqrt{13}-3$，
将$x=10$，$y=\sqrt{13}-3$代入$3x+(\sqrt{13}-y)$得：
$3×10+[\sqrt{13}-(\sqrt{13}-3)]=30+3=33$。
【答案】
(1) $\sqrt[3]{9}-2$；(2) $33$
【知识点】
1. 无理数的大小估算
2. 代数式求值
3. 实数的运算
【点评】
本题重点考查无理数整数部分、小数部分的求解方法，核心是通过平方或立方运算估算无理数的取值范围，确定其整数部分，再结合题干条件推导计算即可，解题逻辑清晰，方法通用性强。
【难度系数】
0.8
第(1)问：解题思路和例题一致，要先确定$\sqrt[3]{9}$介于哪两个连续整数之间，得到它的整数部分，再用$\sqrt[3]{9}$减去整数部分就得到小数部分，需要通过计算相邻整数的立方来确定$\sqrt[3]{9}$的范围。
第(2)问：先估算$\sqrt{13}$的取值范围，从而得到$7+\sqrt{13}$的整数部分$x$，再结合$7+\sqrt{13}=x+y$（$0＜y＜1$）求出$y$的表达式，最后将$x$和$y$代入目标代数式计算即可。
【解析】
(1) 因为$2^3=8$，$3^3=27$，可得$8＜9＜27$，
所以$\sqrt[3]{8}＜\sqrt[3]{9}＜\sqrt[3]{27}$，即$2＜\sqrt[3]{9}＜3$，
因此$\sqrt[3]{9}$的整数部分是2，小数部分为$\sqrt[3]{9}-2$。
(2) 因为$3^2=9$，$4^2=16$，可得$9＜13＜16$，
所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，
则$7+3＜7+\sqrt{13}＜7+4$，也就是$10＜7+\sqrt{13}＜11$。
由题意$7+\sqrt{13}=x+y$，$x$是整数且$0＜y＜1$，可得：
$x=10$，$y=7+\sqrt{13}-10=\sqrt{13}-3$，
将$x=10$，$y=\sqrt{13}-3$代入$3x+(\sqrt{13}-y)$得：
$3×10+[\sqrt{13}-(\sqrt{13}-3)]=30+3=33$。
【答案】
(1) $\sqrt[3]{9}-2$；(2) $33$
【知识点】
1. 无理数的大小估算
2. 代数式求值
3. 实数的运算
【点评】
本题重点考查无理数整数部分、小数部分的求解方法，核心是通过平方或立方运算估算无理数的取值范围，确定其整数部分，再结合题干条件推导计算即可，解题逻辑清晰，方法通用性强。
【难度系数】
0.8
某装修公司现有一块面积为$64\ \mathrm{m}^2$的正方形的木板用作装饰材料，王师傅设计了如下两种方案：
方案一：沿着边的方向裁出一块面积为$60\ \mathrm{m}^2$的长方形装饰材料；
方案二：沿着边的方向裁出一块面积为$60\ \mathrm{m}^2$的长方形装饰材料，且长与宽比为$4:3$.
王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，应如何裁剪？若不可行，请说明理由.
方案一：沿着边的方向裁出一块面积为$60\ \mathrm{m}^2$的长方形装饰材料；
方案二：沿着边的方向裁出一块面积为$60\ \mathrm{m}^2$的长方形装饰材料，且长与宽比为$4:3$.
王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，应如何裁剪？若不可行，请说明理由.
答案
方案一可行.理由如下:
∵ 正方形木板的面积为 64 m²,
∴ 正方形木板的边长为√64=8(m).如
,沿着 EF 裁剪,∵ BC=EF=8 m,
∴ 只要使 BE=CF=60÷8=7.5(m)就满足条件.
方案二不可行.理由如下:设所裁长方形装饰材料的长为4x m、宽为 3x m,则 4x·3x=60,即 12x²=60,解得 x=√5(负值已舍去).
∴ 所裁长方形的长为4√5 m.
∵ 4√5＞8,
∴ 所裁长方形的长大于正方形的边长.
∴ 方案二不可行
解析
【分析】
解题首先需要求出原正方形木板的边长，这是裁剪的最大边长限制，裁剪出的长方形的长和宽均不能超过该值。针对方案一：沿着边裁剪时，可让长方形的一条边与正方形边长相等，再结合长方形面积公式求出另一条边的长度，判断其是否小于等于正方形边长，即可判断方案是否可行；针对方案二：已知长宽比，可通过设未知数，结合面积公式列方程求出长方形的长，再和正方形边长比较，若长超过正方形边长则方案不可行，反之可行。
【解析】
1. 计算正方形木板的边长
已知正方形木板面积为$64\ \mathrm{m}^2$，根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为边长），可得边长$a=\sqrt{64}=8\ \mathrm{m}$，即裁剪出的长方形的长、宽均不能超过$8\ \mathrm{m}$。
2. 验证方案一可行性
沿着边裁剪时，令长方形的长等于正方形边长$8\ \mathrm{m}$，已知长方形面积为$60\ \mathrm{m}^2$，根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得长方形的宽为$60÷8=7.5\ \mathrm{m}$，$7.5\mathrm{m}＜8\mathrm{m}$，符合裁剪要求，方案一可行。
3. 验证方案二可行性
设裁剪的长方形长为$4x\ \mathrm{m}$，宽为$3x\ \mathrm{m}$，根据面积为$60\ \mathrm{m}^2$列方程：
$4x·3x=60$
整理得$12x^2=60$，即$x^2=5$，因为边长为正，所以舍去负根，得$x=\sqrt{5}$。
则长方形的长为$4\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，由于$4\sqrt{5}=\sqrt{80}＞\sqrt{64}=8$，即长方形的长大于正方形的边长，不符合裁剪要求，方案二不可行。
【答案】
方案一可行.理由如下:
∵ 正方形木板的面积为 64 m²,
∴ 正方形木板的边长为√64=8(m).如,沿着 EF 裁剪,
∵ BC=EF=8 m,
∴ 只要使 BE=CF=60÷8=7.5(m)就满足条件.
方案二不可行.理由如下:设所裁长方形装饰材料的长为4x m、宽为 3x m,则 4x·3x=60,即 12x²=60,解得 x=√5(负值已舍去).
∴ 所裁长方形的长为4√5 m.
∵ 4√5＞8,
∴ 所裁长方形的长大于正方形的边长.
∴ 方案二不可行
【知识点】
正方形面积计算，长方形面积计算，实数大小比较
【点评】
本题结合实际裁剪场景，考查了正方形、长方形面积计算以及实数大小比较的应用，解题核心是明确裁剪出的图形边长不能超过原正方形的边长，需要结合实际情况对计算结果进行合理性验证。
【难度系数】
0.7
解题首先需要求出原正方形木板的边长，这是裁剪的最大边长限制，裁剪出的长方形的长和宽均不能超过该值。针对方案一：沿着边裁剪时，可让长方形的一条边与正方形边长相等，再结合长方形面积公式求出另一条边的长度，判断其是否小于等于正方形边长，即可判断方案是否可行；针对方案二：已知长宽比，可通过设未知数，结合面积公式列方程求出长方形的长，再和正方形边长比较，若长超过正方形边长则方案不可行，反之可行。
【解析】
1. 计算正方形木板的边长
已知正方形木板面积为$64\ \mathrm{m}^2$，根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为边长），可得边长$a=\sqrt{64}=8\ \mathrm{m}$，即裁剪出的长方形的长、宽均不能超过$8\ \mathrm{m}$。
2. 验证方案一可行性
沿着边裁剪时，令长方形的长等于正方形边长$8\ \mathrm{m}$，已知长方形面积为$60\ \mathrm{m}^2$，根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得长方形的宽为$60÷8=7.5\ \mathrm{m}$，$7.5\mathrm{m}＜8\mathrm{m}$，符合裁剪要求，方案一可行。
3. 验证方案二可行性
设裁剪的长方形长为$4x\ \mathrm{m}$，宽为$3x\ \mathrm{m}$，根据面积为$60\ \mathrm{m}^2$列方程：
$4x·3x=60$
整理得$12x^2=60$，即$x^2=5$，因为边长为正，所以舍去负根，得$x=\sqrt{5}$。
则长方形的长为$4\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，由于$4\sqrt{5}=\sqrt{80}＞\sqrt{64}=8$，即长方形的长大于正方形的边长，不符合裁剪要求，方案二不可行。
【答案】
方案一可行.理由如下:
∵ 正方形木板的面积为 64 m²,
∴ 正方形木板的边长为√64=8(m).如
,沿着 EF 裁剪,∵ BC=EF=8 m,
∴ 只要使 BE=CF=60÷8=7.5(m)就满足条件.
方案二不可行.理由如下:设所裁长方形装饰材料的长为4x m、宽为 3x m,则 4x·3x=60,即 12x²=60,解得 x=√5(负值已舍去).
∴ 所裁长方形的长为4√5 m.
∵ 4√5＞8,
∴ 所裁长方形的长大于正方形的边长.
∴ 方案二不可行
【知识点】
正方形面积计算，长方形面积计算，实数大小比较
【点评】
本题结合实际裁剪场景，考查了正方形、长方形面积计算以及实数大小比较的应用，解题核心是明确裁剪出的图形边长不能超过原正方形的边长，需要结合实际情况对计算结果进行合理性验证。
【难度系数】
0.7
