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8. 下列式子,与$\sqrt{2}-6$的乘积结果中不含二次根式的是 (
A.$6-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}-6$
C.$\sqrt{2}+6$
D.$\sqrt{2}+\sqrt{6}$
C
)A.$6-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}-6$
C.$\sqrt{2}+6$
D.$\sqrt{2}+\sqrt{6}$
答案
8. C
9. 在算式$(\sqrt{\dfrac{3}{2}})□(\sqrt{\dfrac{2}{3}})$的“”中填入一个运算符号，使其结果最大，则这个运算符号是（
A.+
B.-
C.×
D.÷
A
）A.+
B.-
C.×
D.÷
答案
9. A
10. 计算：$(1-\sqrt{2})^{2024}(1+\sqrt{2})^{2025}=$
$1+\sqrt{2}$
.答案
10. $1+\sqrt{2}$
11. 在河南开封的清明上河园景区,有一个用于表演豫剧的长方形舞台(阴影部分),其面积为$\sqrt{6400}\ \mathrm{m}^2$,长为$\sqrt{128}\ \mathrm{m}$. 为增加舞台效果,准备在舞台的四周铺设宽度均为$\sqrt{2}\ \mathrm{m}$的装饰带,则舞台装饰后的面积为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}^2$.
答案
11. 140
12. 万唯原创 趋势情境 数学文化 我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”.
在如图的“幻圆”中,若内、外两个圆周上的四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等,则 $a - b = $
在如图的“幻圆”中,若内、外两个圆周上的四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等,则 $a - b = $
$-6\sqrt{2}$
.答案
12. $-6\sqrt{2}$
13. (2025 河南省实验中学期中)计算：
(1)$\frac{\sqrt{20}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} + \sqrt[3]{-27}$；
(2)$(\sqrt{3}-2)^2 - (\sqrt{7}-\sqrt{2})(\sqrt{7}+\sqrt{2})$。
(1)$\frac{\sqrt{20}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} + \sqrt[3]{-27}$；
(2)$(\sqrt{3}-2)^2 - (\sqrt{7}-\sqrt{2})(\sqrt{7}+\sqrt{2})$。
答案
13. 解:(1)原式=$\dfrac{2\sqrt{5}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - |2-\sqrt{3}| -3$
$=\dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-(2-\sqrt{3})-3$
$=3-2+\sqrt{3}-3$
$=-2+\sqrt{3}$；
(2)原式=$3-4\sqrt{3}+4-(7-2)$
$=3-4\sqrt{3}+4-5$
$=2-4\sqrt{3}$.
$=\dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-(2-\sqrt{3})-3$
$=3-2+\sqrt{3}-3$
$=-2+\sqrt{3}$；
(2)原式=$3-4\sqrt{3}+4-(7-2)$
$=3-4\sqrt{3}+4-5$
$=2-4\sqrt{3}$.
14. 万唯原创 中考新考法·阅读理解题，下面是李老师在黑板上给出的例题及其解答过程.
请根据上述方法完成下列题目：
(1)化简 $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ 的结果是
(2)计算：$(\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{50}+\sqrt{49}})×(\sqrt{50}+1)$；
(3)比较 $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ 与 $\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$ 的大小.(n为正整数且大于1)
请根据上述方法完成下列题目：
(1)化简 $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ 的结果是
$\sqrt{2} + 1$
；(2)计算：$(\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{50}+\sqrt{49}})×(\sqrt{50}+1)$；
(3)比较 $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ 与 $\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$ 的大小.(n为正整数且大于1)
答案
14. 解: (1) $\sqrt{2} + 1$； 【解法提示】$\dfrac{1}{\sqrt{2}-1} = \dfrac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1$.
(2)$(\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{50}+\sqrt{49}})×(\sqrt{50}+1)$
$=[\dfrac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})}+\dots+\dfrac{\sqrt{50}-\sqrt{49}}{(\sqrt{50}+\sqrt{49})(\sqrt{50}-\sqrt{49})}]×(\sqrt{50}+1)$
$=(\dfrac{\sqrt{2}-1}{2-1}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}+\dots+\dfrac{\sqrt{50}-\sqrt{49}}{50-49})×(\sqrt{50}+1)$
$=(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{50}-\sqrt{49})×(\sqrt{50}+1)$
$=(\sqrt{50}-1)×(\sqrt{50}+1)$
$=50-1$
$=49$；
(3)$\dfrac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}$
$=\dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{n+1-n}=\dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{1}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$,
$\dfrac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}=\dfrac{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}{(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}$
$=\dfrac{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}{n-(n-1)}=\dfrac{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}{1}=\sqrt{n}+\sqrt{n-1}$,
因为$\sqrt{n+1}＞\sqrt{n-1}$,
所以$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}＞\sqrt{n}+\sqrt{n-1}$,
所以$\dfrac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}＞\dfrac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}$,
所以$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}＜\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$.
(2)$(\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{50}+\sqrt{49}})×(\sqrt{50}+1)$
$=[\dfrac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})}+\dots+\dfrac{\sqrt{50}-\sqrt{49}}{(\sqrt{50}+\sqrt{49})(\sqrt{50}-\sqrt{49})}]×(\sqrt{50}+1)$
$=(\dfrac{\sqrt{2}-1}{2-1}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}+\dots+\dfrac{\sqrt{50}-\sqrt{49}}{50-49})×(\sqrt{50}+1)$
$=(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{50}-\sqrt{49})×(\sqrt{50}+1)$
$=(\sqrt{50}-1)×(\sqrt{50}+1)$
$=50-1$
$=49$；
(3)$\dfrac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}$
$=\dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{n+1-n}=\dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{1}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$,
$\dfrac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}=\dfrac{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}{(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}$
$=\dfrac{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}{n-(n-1)}=\dfrac{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}{1}=\sqrt{n}+\sqrt{n-1}$,
因为$\sqrt{n+1}＞\sqrt{n-1}$,
所以$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}＞\sqrt{n}+\sqrt{n-1}$,
所以$\dfrac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}＞\dfrac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}$,
所以$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}＜\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$.
