类型1 缺天平砝码
考向1 测量液体密度
思路引导

1.等质量法:液体的质量=水的质量
2.分析:(1)液体的质量 $m=\rho_{水}V_{1}$
(2)液体的体积为 $V_{2}$
3.液体的密度 $\rho_{液} =$ （写出表达式）
达式）

$\frac{\rho_{水}V_1}{V_2}$

【分析】
本题是利用等质量法测量液体密度的问题，核心思路是利用天平平衡时液体和水的质量相等，通过等量替换结合密度公式推导液体密度的表达式。
【解析】
根据等质量法，天平平衡时液体的质量等于水的质量，即$m_{液}=m_{水}$。
水的质量$m_{水}=\rho_{水}V_{1}$，因此液体的质量$m_{液}=\rho_{水}V_{1}$。
已知液体的体积为$V_{2}$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得液体的密度$\rho_{液}=\frac{m_{液}}{V_{2}}=\frac{\rho_{水}V_{1}}{V_{2}}$。
【答案】
$\frac{\rho_{水}V_1}{V_2}$
【知识点】
密度的计算、等质量法测密度
【点评】
本题考查利用等量替换法测量液体密度，属于基础题型，关键是抓住天平平衡时质量相等的特点，结合密度公式推导表达式。
【难度系数】
0.6

1.小荣设计了如下方案，利用天平(已调平、无砝码)、刻度尺、胶头滴管、两个分别装有水和胡麻油的相同平底柱状杯来测量胡麻油的密度。

(1)测出杯中胡麻油的深度为$h_1$，将装有胡麻油的杯放在天平左盘，装水的杯放在右盘，天平右端下沉，如图所示。
(2)接下来的操作是为$h_2$。
(3)胡麻油密度的表达式:$\rho=$(用所测物理量$h_1$、$h_2$和水的密度$\rho_{水}$表示)。

1. (2)用胶头滴管从右盘上的杯中取出适量的水,直至天平平衡,测出杯中水的深度 (3)$\frac{h_2}{h_1}\rho_{水}$
【点拨】(2)天平右端下沉,说明水的质量较大,故接下来的操作是用胶头滴管从右盘上的杯中取出适量的水,直至天平平衡,此时胡麻油和水的质量相同,并测出杯中水的深度为$h_2$。(3)设平底柱状杯的底面积为 S,则胡麻油的体积 $V_1=Sh_1$,其质量 $m_1=\rho V_1=\rho Sh_1$,水的体积$V_2=Sh_2$,水的质量 $m_2=\rho_水 V_2=\rho_水 Sh_2$,胡麻油和水的质量相同,即 $m_1=m_2$,则有 $\rho Sh_1=\rho_水 Sh_2$,解得 $\rho=\frac{h_2}{h_1}\rho_水$。

【分析】
要测量胡麻油的密度，利用天平平衡时左右两盘物体质量相等的特点，结合相同平底柱状杯的底面积相同，体积与高度成正比的关系推导。首先天平右端下沉，说明右盘水的质量大于左盘胡麻油的质量，需减少右盘水的质量使天平平衡，再通过质量相等的条件推导密度表达式。
【解析】
(2) 天平右端下沉，说明右盘水的质量更大，接下来应用胶头滴管从右盘的杯中取出适量的水，直至天平平衡，此时胡麻油和水的质量相等，再测出此时杯中水的深度为$h_2$。
(3) 设平底柱状杯的底面积为$S$，则胡麻油的体积$V_1=Sh_1$，水的体积$V_2=Sh_2$。天平平衡时，胡麻油和水的质量相等，即$m_1=m_2$，根据密度公式$m=\rho V$可得：$\rho V_1=\rho_水 V_2$，代入体积表达式得$\rho Sh_1=\rho_水 Sh_2$，约去$S$后解得胡麻油密度$\rho=\frac{h_2}{h_1}\rho_水$。
【答案】
(2) 用胶头滴管从右盘上的杯中取出适量的水，直至天平平衡，测出杯中水的深度；(3) $\frac{h_2}{h_1}\rho_水$
【知识点】密度的测量、天平的使用
【点评】
本题利用天平平衡的特点，结合柱状容器体积与高度的关系，通过转换法间接测量液体密度，需要理解质量相等时的推导逻辑，是密度测量的典型应用。
【难度系数】
0.5

考向2 测量固体密度
思路引导
图示及步骤

方法分析
1. 等质量法:固体的质量$m=$水的质量
2. 分析:(1)固体的质量$m=\rho_{水}V_{1}$
(2)固体的体积$V=V_{3}-V_{2}$
3. 固体的密度$\rho_{固}=$（写出表达式）
2. 老师鼓励小明在缺少砝码的条件下测出大理石的密度。现有器材:天平(缺砝码)、量筒、两个完全相同的烧杯、水、一小块大理石、细线和滴管等。小明决定按以下步骤进行实验。($\rho_{水}=1.0×10^{3}kg/m^{3}$)
(1)实验过程。
①将天平放在水平台上,并将游码移至,调节使天平平衡;
②在天平左、右两盘内各放一相同的烧杯,将大理石放在左盘的烧杯里,在右盘的烧杯中加水,在将要平衡时用滴管缓缓滴入水,直至天平平衡,如图甲所示;
③将烧杯中的水倒入量筒中,液面位置如图乙所示,读出体积并记录;
④用量筒和水测得大理石的体积为$20cm^{3}$。

(2)记录实验数据并计算。
请你将实验数据填入下表,并进行相关计算。

(3)实验评估。
小红在分析小明的实验过程时,认为小明测得的密度偏(填“大”或“小”),此误差主要来源于步骤(填“①”“②”“③”或“④”)的测量。

思路引导 $\frac{\rho_水 V_1}{V_3-V_2}$
2. (1)①零刻度线处;平衡螺母 (2)54;54;54;20;2.7
(3)小;③
【点拨】(2)通过图乙读出水的体积 $V_1=54\ \mathrm{mL}=54\ \mathrm{cm^3}$,则烧杯中水的质量 $m_1=\rho_水 V_1=1.0\ \mathrm{g/cm^3}×54\ \mathrm{cm^3}=54\ \mathrm{g}$,大理石的质量 $m_2=m_1=54\ \mathrm{g}$,大理石的体积 $V_2=20\ \mathrm{cm^3}$,则大理石的密度 $\rho=\frac{m_2}{V_2}=\frac{54\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm^3}}=2.7\ \mathrm{g/cm^3}$。(3)步骤③中,烧杯中的水不能全部被倒入量筒,导致测得的水的体积偏小,即大理石的质量测量偏小,算出的密度偏小。

【分析】
本题是缺少砝码时测量固体密度的实验，核心思路是利用天平平衡时左盘大理石的质量等于右盘烧杯中水的质量（等质量法）。解题时需先明确天平的调节方法，再通过量筒测量水的体积计算水的质量（即大理石的质量），接着测量大理石的体积，最后根据密度公式计算密度；误差分析需关注实验操作中可能导致测量偏差的步骤，如烧杯中水残留的问题。
【解析】
1. 思路引导：根据等质量法，固体质量$m=\rho_{水}V_{1}$，固体体积$V=V_{3}-V_{2}$，因此固体密度$\rho_{固}=\frac{m}{V}=\frac{\rho_{水}V_{1}}{V_{3}-V_{2}}$。
2. 实验过程：
(1) 天平使用前，需将天平放在水平台上，游码移至零刻度线处，调节平衡螺母使天平平衡。
(2) 数据计算：由图乙可知水的体积$V_{水}=54\ \mathrm{mL}=54\ \mathrm{cm^3}$，水的质量$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm^3}×54\ \mathrm{cm^3}=54\ \mathrm{g}$；天平平衡时大理石质量$m_{石}=m_{水}=54\ \mathrm{g}$，大理石体积$V_{石}=20\ \mathrm{cm^3}$，则大理石密度$\rho_{石}=\frac{m_{石}}{V_{石}}=\frac{54\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm^3}}=2.7\ \mathrm{g/cm^3}$。
(3) 误差分析：步骤③中，将烧杯中的水倒入量筒时，烧杯内壁会残留部分水，导致测得的水的体积偏小，计算出的大理石质量偏小，因此测得的密度偏小，误差来源于步骤③。
【答案】
思路引导：$\frac{\rho_{水}V_{1}}{V_{3}-V_{2}}$
2. (1) ①零刻度线处；平衡螺母
(2) 54；54；54；20；2.7
(3) 小；③
【知识点】
测量固体密度、天平的使用、密度的计算
【点评】
本题考查缺砝码条件下固体密度的测量，利用等质量法巧妙解决无砝码时的质量测量问题，需掌握天平操作、密度公式应用及误差分析，是密度测量实验的典型变式题。
【难度系数】
0.5