考向1 测量液体密度
思路引导
图示及步骤
方法分析
1.标记法:液体的体积$V_{液}=$水的体积$V_{水}$(标记处)
2.分析:(1)空烧杯的 $m_1$
(2)加入水后的总质量$m_2$→水的质量$m_{水}=$→水的体积$V_{水}=$→液体的体积$V_{液}$(水的密度为$\rho_{水}$)
(3)加入液体到标记处的总质量$m_3$→液体的质量$m_{液}=$
3.液体的密度$\rho_{液}=$(写出表达式)

思路引导 $m_2-m_1$；$\frac{m_2-m_1}{\rho_水}$；$m_3-m_1$；$\frac{\rho_水(m_3-m_1)}{m_2-m_1}$

【分析】
本题利用标记法（等体积法）测量液体密度，核心是利用水和待测液体体积相等，结合已知的水的密度，通过测量质量差来推导待测液体的密度。解题思路为：先确定空烧杯质量，再通过装水后的总质量算出水的质量和体积，该体积即为待测液体的体积；再通过装液体后的总质量算出液体质量，最后利用密度公式求出液体密度。
【解析】
1. 水的质量：空烧杯质量为$ m_1 $，装水到标记处的总质量为$ m_2 $，因此水的质量$ m_{水}=m_2 - m_1 $；
2. 水的体积：根据密度公式$ \rho=\frac{m}{V} $，变形得$ V=\frac{m}{\rho} $，已知水的密度为$ \rho_{水} $，则水的体积$ V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{m_2 - m_1}{\rho_{水}} $；
3. 液体的质量：装液体到标记处的总质量为$ m_3 $，空烧杯质量为$ m_1 $，因此液体的质量$ m_{液}=m_3 - m_1 $；
4. 液体的体积：因液体和水均装到烧杯的标记处，故$ V_{液}=V_{水}=\frac{m_2 - m_1}{\rho_{水}} $；
5. 液体的密度：根据密度公式，$ \rho_{液}=\frac{m_{液}}{V_{液}}=\frac{m_3 - m_1}{\frac{m_2 - m_1}{\rho_{水}}}=\frac{\rho_{水}(m_3 - m_1)}{m_2 - m_1} $。
【答案】
$ m_2 - m_1 $；$ \frac{m_2 - m_1}{\rho_{水}} $；$ m_3 - m_1 $；$ \frac{\rho_{水}(m_3 - m_1)}{m_2 - m_1} $
【知识点】
测量液体密度、密度公式应用
【点评】
本题是密度测量的经典题型，利用等体积法巧妙结合已知密度的水来间接测量未知液体密度，考查对密度公式的灵活运用，解题思路清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.5

3.在测量橙汁密度的实验中,只有天平、砝码、两个完全相同的烧杯及水,没有量筒,实验的步骤如下:($\rho_{水}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$)

(1)用天平测出空的烧杯质量为45 g。
(2)在烧杯中装入适量的橙汁,用天平测出橙汁和烧杯的总质量如图甲,橙汁的质量为g,再在烧杯上标记此时液面的位置。
(3)在另一个烧杯中装入等记号的水(如图乙),用天平测出烧杯和水的总质量为55 g,算出橙汁的密度是$\mathrm{kg/m}^3$。
(4)若在上面烧杯中放入等记号的砂子,同样的方法测量砂子的密度,会使测出的砂子密度值(填“偏大”“偏小”或“准确”)。

3. (2)11.8 (3)$1.18×10^3$ (4)偏小
【点拨】(2)橙汁和烧杯的总质量为 50 g+5 g+1.8 g=56.8 g,橙汁的质量 m=56.8 g-45 g=11.8 g。(3)在另一个烧杯中装入等记号的水,用天平测出烧杯和水的总质量为 55 g,水的质量 $m_水=55\ \mathrm{g}-45\ \mathrm{g}=10\ \mathrm{g}$,水的体积$V=\frac{m_水}{\rho_水}=\frac{10\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm^3}}=10\ \mathrm{cm^3}=1×10^{-5}\ \mathrm{m^3}$,橙汁体积等于水的体积,所以橙汁的密度 $\rho_{橙汁}=\frac{m}{V}=\frac{11.8×10^{-3}\ \mathrm{kg}}{1×10^{-5}\ \mathrm{m^3}}=1.18×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$。(4)若在上面烧杯中放入等记号的砂子,因为砂子间有间隙,测得的砂子的体积偏大,根据 $\rho=\frac{m}{V}$ 知,会使测出的砂子密度值偏小。

【分析】
本题利用天平、水和烧杯，通过等体积法间接测量橙汁密度，解题思路如下：
1. 天平读数：总质量为砝码质量加游码示数，减去空烧杯质量得到橙汁质量；
2. 利用相同烧杯装等体积的水，根据水的质量和密度算出体积，该体积等于橙汁体积，再用密度公式计算橙汁密度；
3. 分析砂子的体积测量误差：砂子间有空隙，测得体积偏大，结合密度公式判断密度偏差。
【解析】
(2) 天平测量总质量时，砝码总质量为$50\ \mathrm{g}+5\ \mathrm{g}=55\ \mathrm{g}$，游码示数为$1.8\ \mathrm{g}$，因此橙汁和烧杯的总质量为$55\ \mathrm{g}+1.8\ \mathrm{g}=56.8\ \mathrm{g}$。已知空烧杯质量为$45\ \mathrm{g}$，则橙汁的质量$m=56.8\ \mathrm{g}-45\ \mathrm{g}=11.8\ \mathrm{g}$。
(3) 烧杯和水的总质量为$55\ \mathrm{g}$，则水的质量$m_水=55\ \mathrm{g}-45\ \mathrm{g}=10\ \mathrm{g}$。根据$\rho=\frac{m}{V}$，水的体积$V_水=\frac{m_水}{\rho_水}=\frac{10\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm^3}}=10\ \mathrm{cm^3}$。由于橙汁和水体积相等，故橙汁体积$V=V_水=10\ \mathrm{cm^3}$，则橙汁密度$\rho_{橙汁}=\frac{m}{V}=\frac{11.8\ \mathrm{g}}{10\ \mathrm{cm^3}}=1.18\ \mathrm{g/cm^3}=1.18×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$。
(4) 装砂子时，砂子间存在间隙，测得的体积比砂子实际体积偏大。根据$\rho=\frac{m}{V}$，砂子质量测量准确，体积偏大，因此测出的砂子密度值偏小。
【答案】
(2)$11.8$；(3)$1.18×10^3$；(4)偏小
【知识点】
密度的测量、天平的使用
【点评】
本题采用等体积法间接测量液体密度，利用已知密度的水转换体积，是密度测量的经典方法，需掌握天平读数和密度公式的应用；最后一问考查对体积测量误差的分析，加深对密度公式的理解。
【难度系数】
0.6

考向2 测量固体密度
思路引导
图示及步骤
方法分析
1. 标记法:固体的体积$V_{\mathrm{固}}=$加入水的体积$V_{\mathrm{水}}$（标记处）
2. 分析:(1)固体的质量$m_1$
(2)烧杯和水的总质量$m_2\rightarrow$向水中加入固体,水面上升,作标记$\rightarrow$取出固体,继续加水至标记处,此时烧杯和水的总质量为$m_3\rightarrow$所加水的质量为 $\rightarrow$加入水的体积$V_{\mathrm{水}}=$ $\rightarrow$固体的体积$V_{\mathrm{固}}$（水的密度为$\rho_{\mathrm{水}}$）
3. 固体的密度$\rho_{\mathrm{固}}=$（写出表达式）

思路引导 $m_3-m_2$；$\frac{m_3-m_2}{\rho_水}$；$\frac{m_1}{m_3-m_2}\rho_水$

【分析】要计算固体的密度，需先确定固体的质量和体积。固体质量可直接测得为$m_1$；体积利用标记法（等效替代法）间接测量：先明确烧杯和原有水的总质量为$m_2$，加入固体后标记水面位置，取出固体后加水至标记处，此时总质量为$m_3$，补充水的体积等于固体体积，通过补充水的质量和水的密度即可算出该体积，最后结合密度公式推导固体密度。
【解析】1. 补充水的质量：烧杯和原有水总质量为$m_2$，加水至标记处后总质量为$m_3$，因此补充水的质量$\Delta m_{\mathrm{水}} = m_3 - m_2$；2. 补充水的体积：根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得$V_{\mathrm{水}}=\frac{\Delta m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{m_3 - m_2}{\rho_{\mathrm{水}}}$；3. 固体体积：由标记法可知，固体体积等于补充水的体积，即$V_{\mathrm{固}}=V_{\mathrm{水}}=\frac{m_3 - m_2}{\rho_{\mathrm{水}}}$；4. 固体密度：固体质量为$m_1$，代入密度公式得$\rho_{\mathrm{固}}=\frac{m_1}{V_{\mathrm{固}}}=\frac{m_1}{\frac{m_3 - m_2}{\rho_{\mathrm{水}}}}=\frac{m_1\rho_{\mathrm{水}}}{m_3 - m_2}$。
【答案】$m_3 - m_2$；$\frac{m_3 - m_2}{\rho_{\mathrm{水}}}$；$\frac{m_1\rho_{\mathrm{水}}}{m_3 - m_2}$
【知识点】固体密度测量、密度公式应用、排水法测体积
【点评】本题利用等效替代法测量固体体积，结合密度公式推导固体密度，考查密度测量的实验思路和公式应用，属于初中物理密度测量的基础题型，需理解等效替代的原理。
【难度系数】0.5

4. 物理实践小组的同学想测一下家里苹果的密度，他们取来一个溢水杯和一个小烧杯，进行了如下操作。
(1)用天平测出苹果的质量$m$。
(2)用天平测出小烧杯的质量$m_1$。
(3)如图所示，在溢水杯中装满水，用筷子将苹果按入水中，用小烧杯接住溢出的水，当水不再流出时，用天平测出________为$m_2$。
(4)计算出苹果的密度$\rho=\_\_\_\_\_\_$($\rho_{\mathrm{水}}$用字母表示)。
(5)用以上方法测量苹果的密度，导致测量值与真实值相比________。
(6)实验中可能存在哪些误差来源？请写出两条。

小挑战:如果没有天平，而是再给你一把刻度尺，你能想办法测出苹果的密度吗？
别担心，现在的你可能还没办法——但学完八年级下册的“浮力”后，你就能轻松搞定啦！
知识就像拼图，今天的疑问，会是明天的灵感！

4. (3)小烧杯和溢出水的质量 (4)$\frac{m}{m_2-m_1}\rho_水$
(5)偏小 (6)①筷子会排开一定体积的水,导致测量的苹果的体积偏大。②溢水杯中的水没有刚好装满到溢水口。③苹果表面沾有气泡,导致溢出的水偏多。(合理即可)
【点拨】(4)溢出水的质量 $m_0=m_2-m_1$,苹果的体积等于溢出水的体积,即 $V_1=\frac{m_0}{\rho_水}=\frac{m_2-m_1}{\rho_水}$,则苹果的密度$\rho=\frac{m}{V_1}=\frac{m}{\frac{m_2-m_1}{\rho_水}}=\frac{m}{m_2-m_1}\rho_水$。(5)筷子会排开一定体积的水,导致测量的苹果的体积偏大,苹果质量测量准确,故密度的测量值要偏小。

【分析】
本题是利用排水法测量苹果密度的实验，核心思路是：测量固体密度需先获取质量和体积，苹果质量用天平测出，体积通过排水法（苹果浸没时排开水的体积等于苹果体积）得到。解题时需明确各测量量的关系，结合密度公式推导表达式，再分析实验操作带来的误差，最后列举误差来源。
【解析】
(3) 要计算溢出水的质量，需先测出小烧杯和溢出水的总质量，因此此处应填“小烧杯和溢出水的总质量”。
(4) 溢出水的质量为$m_{溢}=m_2 - m_1$，苹果浸没时体积等于溢出水的体积，即$V_{苹果}=V_{溢}=\frac{m_{溢}}{\rho_{水}}=\frac{m_2 - m_1}{\rho_{水}}$。根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，代入苹果体积得：$\rho=\frac{m}{V_{苹果}}=\frac{m}{\frac{m_2 - m_1}{\rho_{水}}}=\frac{m}{m_2 - m_1}\rho_{水}$。
(5) 用筷子按苹果时，筷子会排开一部分水，导致溢出的水体积比苹果实际体积大，即测得的苹果体积偏大。苹果质量测量准确，由$\rho=\frac{m}{V}$可知，体积偏大则密度测量值偏小。
(6) 误差来源可从操作、装置等方面分析，例如：①筷子排开一定体积的水，使溢出水体积偏大；②溢水杯未装满水，导致溢出的水体积偏小；③苹果表面沾有气泡，使溢出的水体积偏大等（合理即可）。
【答案】
(3) 小烧杯和溢出水的总质量；(4) $\frac{m}{m_2 - m_1}\rho_{水}$；(5) 偏小；(6) 示例：①筷子会排开一定体积的水，导致测量的苹果体积偏大；②溢水杯中的水没有刚好装满到溢水口（合理即可）
【知识点】
密度测量、排水法测体积
【点评】
本题结合天平、溢水杯测量固体密度，考查密度公式的应用与实验误差分析，是密度与浮力结合的典型实验题，需学生理解排水法测体积的原理，掌握误差分析的基本思路。
【难度系数】
0.6