10.如果$(\dfrac{a^{3}}{b^{2}})^{2}÷(\dfrac{a}{b^{3}})^{2}=3$，那么$a^{8}b^{4}=$。

10.9

【分析】
解题时首先利用分式乘方法则对已知等式左侧的两个分式分别进行乘方运算，再将分式除法转化为乘法运算，通过同底数幂的运算法则约分后得到$a^4b^2$的值，最后观察所求代数式$a^8b^4$与$a^4b^2$的关系，利用幂的乘方的逆运算整体代入即可求出结果。
【解析】
先化简已知等式的左侧：
1. 根据分式乘方法则（分子分母分别乘方）计算：
$(\dfrac{a^{3}}{b^{2}})^{2}=\dfrac{(a^3)^2}{(b^2)^2}=\dfrac{a^6}{b^4}$，$(\dfrac{a}{b^{3}})^{2}=\dfrac{a^2}{(b^3)^2}=\dfrac{a^2}{b^6}$
2. 将除法转化为乘法运算：
$\dfrac{a^6}{b^4} ÷ \dfrac{a^2}{b^6} = \dfrac{a^6}{b^4} × \dfrac{b^6}{a^2}$
3. 约分计算：
同底数幂相除，底数不变指数相减，可得$\dfrac{a^6 · b^6}{b^4 · a^2} = a^{6-2}b^{6-4}=a^4b^2$
由已知等式得$a^4b^2=3$
再计算所求代数式：
$a^8b^4=(a^4)^2 · (b^2)^2=(a^4b^2)^2$
将$a^4b^2=3$代入得：$(a^4b^2)^2=3^2=9$
【答案】
9
【知识点】
1. 分式的乘方运算
2. 分式的乘除混合运算
3. 幂的乘方逆运算
【点评】
本题重点考查分式乘方及乘除混合运算的掌握情况，解题核心是正确运用运算法则化简已知条件，再通过整体代入的思路求值，需要熟练掌握幂的相关运算性质，注意运算时指数计算的准确性。
【难度系数】
0.7

11.计算：
(1)$\dfrac{a^4 - a^2b^2}{(a - b)^2} ÷ \dfrac{a(a + b)}{b^2} · \dfrac{b^2}{a}$；
(2)$( \dfrac{x^2 - y^2}{xy} )^2 ÷ (x + y)^2 · ( \dfrac{x}{x - y} )^3$。

11.(1)$\frac{b^4}{a-b}$ (2)$\frac{x}{y^2(x-y)}$

【分析】
分式乘除及乘方混合运算的解题思路如下：①先明确运算顺序：有乘方先算乘方，再将所有除法运算统一转化为乘法运算；②对分子、分母中能因式分解的多项式先进行因式分解；③将所有因式的分子相乘作为结果的分子，分母相乘作为结果的分母，最后约去全部公因式，得到最简分式即可。
【解析】
(1) 第一步将除法转化为乘法，第二步对分子因式分解，第三步约分化简：
原式$=\dfrac{a^4 - a^2b^2}{(a - b)^2} × \dfrac{b^2}{a(a + b)} × \dfrac{b^2}{a}$
对分子因式分解：$a^4 - a^2b^2=a^2(a^2-b^2)=a^2(a+b)(a-b)$，代入得：
$=\dfrac{a^2(a + b)(a - b)}{(a - b)^2} × \dfrac{b^2}{a(a + b)} × \dfrac{b^2}{a}$
约去公因式$a^2$、$(a+b)$、$(a-b)$后计算得：
$=\dfrac{b^4}{a - b}$
(2) 第一步先算乘方，第二步将除法转化为乘法，第三步对多项式因式分解，第四步约分化简：
原式$=\dfrac{(x^2 - y^2)^2}{(xy)^2} ÷ (x + y)^2 × \dfrac{x^3}{(x - y)^3}$
$=\dfrac{(x^2 - y^2)^2}{x^2y^2} × \dfrac{1}{(x + y)^2} × \dfrac{x^3}{(x - y)^3}$
对平方差因式分解：$(x^2-y^2)^2=[(x+y)(x-y)]^2=(x+y)^2(x-y)^2$，代入得：
$=\dfrac{(x + y)^2(x - y)^2}{x^2y^2} × \dfrac{1}{(x + y)^2} × \dfrac{x^3}{(x - y)^3}$
约去公因式$(x+y)^2$、$(x-y)^2$、$x^2$后计算得：
$=\dfrac{x}{y^2(x - y)}$
【答案】
(1)$\dfrac{b^4}{a-b}$ (2)$\dfrac{x}{y^2(x-y)}$
【知识点】
分式乘除混合运算，因式分解，分式乘方运算
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查运算顺序和约分规则，解题时先将除法转乘法、多项式因式分解后再约分，能有效减少计算失误。
【难度系数】
0.7

12.(1)先化简,再求值:$( \dfrac{2ab^2}{a+b} )^3 ÷ ( \dfrac{ab^3}{a^2 - b^2} )^2 · [ \dfrac{1}{2(a - b)} ]^2$,其中$a = -\dfrac{1}{2}$,$b = \dfrac{2}{3}$;
(2)已知$a^2 - 3a + 1 = 0$,求$\dfrac{a^2 - 2a + 1}{a^2 - 2a} ÷ \dfrac{a - 1}{a^2 + 1} · \dfrac{2 - a}{a - 1}$的值.

12.(1)化简的结果为$\frac{2a}{a+b}$,值为$-6$ (2)$-3$

【分析】
(1)本题是分式乘方及乘除混合运算的化简求值题，解题思路为：先按照分式乘方法则计算每个乘方项，再将除法运算转化为乘法运算，同时对$a^2-b^2$因式分解，之后通过约分化为最简分式，最后代入$a$、$b$的值计算结果即可。
(2)本题可先利用已知条件得到$a^2+1=3a$的关系，无需直接求解$a$的值；先将所求分式的分子分母因式分解，把除法转化为乘法后约分得到最简形式，再将已知条件整体代入求值，可简化计算。
【解析】
(1) 先计算乘方，再将除法转为乘法：
$\begin{aligned}&( \dfrac{2ab^2}{a+b} )^3 ÷ ( \dfrac{ab^3}{a^2 - b^2} )^2 · [ \dfrac{1}{2(a - b)} ]^2\\=&\dfrac{8a^3b^6}{(a+b)^3} ÷ \dfrac{a^2b^6}{(a^2-b^2)^2} · \dfrac{1}{4(a-b)^2}\\=&\dfrac{8a^3b^6}{(a+b)^3} · \dfrac{(a-b)^2(a+b)^2}{a^2b^6} · \dfrac{1}{4(a-b)^2}\\=&\dfrac{8a^3b^6 · (a-b)^2(a+b)^2}{4a^2b^6 (a+b)^3 (a-b)^2}\\=&\dfrac{2a}{a+b}\end{aligned}$
代入$a=-\dfrac{1}{2}$，$b=\dfrac{2}{3}$：
$a+b=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{6}$，则原式$=\dfrac{2×(-\dfrac{1}{2})}{\dfrac{1}{6}}=-6$。
(2) 先化简所求分式，因式分解后将除法转为乘法：
$\begin{aligned}&\dfrac{a^2 - 2a + 1}{a^2 - 2a} ÷ \dfrac{a - 1}{a^2 + 1} · \dfrac{2 - a}{a - 1}\\=&\dfrac{(a-1)^2}{a(a-2)} · \dfrac{a^2+1}{a-1} · \dfrac{-(a-2)}{a-1}\\=&-\dfrac{a^2+1}{a}\end{aligned}$
由$a^2-3a+1=0$可得$a^2+1=3a$，代入上式：
原式$=-\dfrac{3a}{a}=-3$（$a≠0$，否则$a^2-3a+1=1≠0$，可约去$a$）。
【答案】
(1)化简的结果为$\frac{2a}{a+b}$,值为$-6$ (2)$-3$
【知识点】
分式乘除混合运算、分式的乘方、整体代入求值
【点评】
本题重点考查分式运算的基本规则，运算时需遵循先乘方、再乘除的顺序，正确因式分解和约分是化简的核心；第二题通过整体代入的方法可避免求解一元二次方程，大幅减少计算量，是这类题的常用技巧。
【难度系数】
0.7

13.【新考法·阅读理解】观察下列各式：
$(\frac{1}{x} - 1)(\frac{1}{x} + 1) = \frac{1}{x^2} - 1$，
$(\frac{1}{x} - 1)(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} + 1) = \frac{1}{x^3} - 1$，
$(\frac{1}{x} - 1)(\frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} + 1) = \frac{1}{x^4} - 1$，
……
(1)上面的算式及计算结果有规律，根据你发现的规律计算：$(\frac{1}{x} - 1)(\frac{1}{x^7} + \frac{1}{x^6} + \frac{1}{x^5} + \frac{1}{x^4} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} + 1) = \_\_\_\_\_\_.$
(2)利用数学的整体思想，设$\frac{1}{x} = m(m≠1)$，分解因式：$m^7 + m^6 + m^5 + m^4 + m^3 + m^2 + m + 1.$
(3)已知$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7 = a·b·c·d$，$a,b,c,d$都是正整数，且$a ＞ b ＞ c ＞ d$.求$(-\frac{b}{cd})^2 ÷ (-\frac{5b}{17c}) · \frac{6d}{a}$的值.

13.(1)$\frac{1}{x^8}-1$ (2)$(m+1)(m^2+1)(m^4+1)$ (3)$-2$

【分析】
(1) 先观察已知等式找规律：等式左边都是$(\frac{1}{x}-1)$乘上从$\frac{1}{x^n}$到1的降幂排列多项式，结果为$\frac{1}{x^{n+1}}-1$，第一问中多项式最高次为$\frac{1}{x^7}$，代入规律即可求解；
(2) 根据(1)的规律可得$(m-1)(m^7+m^6+\dots+m+1)=m^8-1$，待分解因式的式子可变形为$\frac{m^8-1}{m-1}$，多次用平方差公式分解$m^8-1$后约去$m-1$即可得到结果；
(3) 利用前面的规律先求出$1+2+2^2+\dots+2^7$的数值，将其分解为4个正整数的乘积，按大小关系得到$a,b,c,d$的值，再按照分式乘除混合运算的规则，先算乘方、再将除法转为乘法，约分后代入数值计算即可。
【解析】
(1) 观察已知等式可归纳规律：
$(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{x^n}+\frac{1}{x^{n-1}}+\dots+\frac{1}{x}+1)=\frac{1}{x^{n+1}}-1$
当$n=7$时，代入得原式$=\frac{1}{x^{7+1}}-1=\frac{1}{x^8}-1$。
(2) 由规律可得：$(m-1)(m^7+m^6+m^5+m^4+m^3+m^2+m+1)=m^8-1$，
因为$m≠1$，所以$m^7+m^6+\dots+m+1=\frac{m^8-1}{m-1}$，
对$m^8-1$用平方差公式分解：
$m^8-1=(m^4-1)(m^4+1)=(m^2-1)(m^2+1)(m^4+1)=(m-1)(m+1)(m^2+1)(m^4+1)$，
代入约去$m-1$得：原式$=(m+1)(m^2+1)(m^4+1)$。
(3) 令$m=2$代入规律得：
$(2-1)(1+2+2^2+\dots+2^7)=2^8-1=255$，即$1+2+2^2+\dots+2^7=255$，
将255分解为4个正整数乘积：$255=17×5×3×1$，结合$a＞b＞c＞d$得$a=17,b=5,c=3,d=1$。
计算分式：
$\begin{aligned}&(-\frac{b}{cd})^2 ÷ (-\frac{5b}{17c}) · \frac{6d}{a}\\=&\frac{b^2}{c^2d^2} · (-\frac{17c}{5b}) · \frac{6d}{a}\\=&-\frac{102b}{5acd}\end{aligned}$
代入$a=17,b=5,c=3,d=1$得：
原式$=-\frac{102×5}{5×17×3×1}=-2$。
【答案】
(1)$\frac{1}{x^8}-1$ (2)$(m+1)(m^2+1)(m^4+1)$ (3)$-2$
【知识点】
规律探究，平方差公式，分式乘除运算
【点评】
本题为规律探究类综合题，需要先从已知式子中归纳通用规律，再将规律迁移应用到因式分解、代数式求值的问题中，兼顾考查了归纳推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.65