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6.已知在平面直角坐标系$xOy$中，直线$y=2x+2$和直线$y=\frac{2}{3}x+2$分别交$x$轴于点$A$和点$B$，则下列直线中，与$x$轴的交点不在线段$AB$上的直线是（
A.$y=x+2$
B.$y=\sqrt{2}x+2$
C.$y=4x+2$
D.$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}x+2$
C
）A.$y=x+2$
B.$y=\sqrt{2}x+2$
C.$y=4x+2$
D.$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}x+2$
答案
6.C
解析
【分析】
要判断直线与x轴的交点是否在线段AB上，解题思路分为三步：第一步，根据x轴上点的纵坐标为0的性质，分别求出两条已知直线与x轴交点A、B的坐标，确定线段AB上点的横坐标的取值范围；第二步，分别求出四个选项中直线与x轴的交点横坐标；第三步，逐一比对各交点横坐标是否在上述取值范围内，不在范围内的即为所求答案。
【解析】
首先求点A、B的坐标：
对于直线$y=2x+2$，令$y=0$，得$0=2x+2$，解得$x=-1$，即$A(-1,0)$；
对于直线$y=\frac{2}{3}x+2$，令$y=0$，得$0=\frac{2}{3}x+2$，解得$x=-3$，即$B(-3,0)$。
因此线段AB上的点的横坐标取值范围为$-3≤ x≤ -1$。
接下来分别计算各选项直线与x轴的交点横坐标：
A. 对于$y=x+2$，令$y=0$，得$x=-2$，$-3＜-2＜-1$，交点在线段AB上，不符合题意；
B. 对于$y=\sqrt{2}x+2$，令$y=0$，得$x=-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\approx-1.414$，$-3＜-1.414＜-1$，交点在线段AB上，不符合题意；
C. 对于$y=4x+2$，令$y=0$，得$x=-\frac{2}{4}=-0.5$，$-0.5＞-1$，交点不在线段AB上，符合题意；
D. 对于$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}x+2$，令$y=0$，得$x=-2×\frac{3}{2\sqrt{3}}=-\sqrt{3}\approx-1.732$，$-3＜-1.732＜-1$，交点在线段AB上，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数与坐标轴交点求解
2. 实数大小比较
【点评】
本题核心考查一次函数图象与x轴交点的计算方法，解题关键是先确定线段AB对应的横坐标范围，再逐一验证各选项交点是否在范围内，属于基础题型，掌握一次函数求交点的基本方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要判断直线与x轴的交点是否在线段AB上，解题思路分为三步：第一步，根据x轴上点的纵坐标为0的性质，分别求出两条已知直线与x轴交点A、B的坐标，确定线段AB上点的横坐标的取值范围；第二步，分别求出四个选项中直线与x轴的交点横坐标；第三步，逐一比对各交点横坐标是否在上述取值范围内，不在范围内的即为所求答案。
【解析】
首先求点A、B的坐标：
对于直线$y=2x+2$，令$y=0$，得$0=2x+2$，解得$x=-1$，即$A(-1,0)$；
对于直线$y=\frac{2}{3}x+2$，令$y=0$，得$0=\frac{2}{3}x+2$，解得$x=-3$，即$B(-3,0)$。
因此线段AB上的点的横坐标取值范围为$-3≤ x≤ -1$。
接下来分别计算各选项直线与x轴的交点横坐标：
A. 对于$y=x+2$，令$y=0$，得$x=-2$，$-3＜-2＜-1$，交点在线段AB上，不符合题意；
B. 对于$y=\sqrt{2}x+2$，令$y=0$，得$x=-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\approx-1.414$，$-3＜-1.414＜-1$，交点在线段AB上，不符合题意；
C. 对于$y=4x+2$，令$y=0$，得$x=-\frac{2}{4}=-0.5$，$-0.5＞-1$，交点不在线段AB上，符合题意；
D. 对于$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}x+2$，令$y=0$，得$x=-2×\frac{3}{2\sqrt{3}}=-\sqrt{3}\approx-1.732$，$-3＜-1.732＜-1$，交点在线段AB上，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数与坐标轴交点求解
2. 实数大小比较
【点评】
本题核心考查一次函数图象与x轴交点的计算方法，解题关键是先确定线段AB对应的横坐标范围，再逐一验证各选项交点是否在范围内，属于基础题型，掌握一次函数求交点的基本方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
7.九年级某班30位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖.下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是 （
A.平均数，方差
B.中位数，方差
C.中位数，众数
D.平均数，众数
C
）A.平均数，方差
B.中位数，方差
C.中位数，众数
D.平均数，众数
答案
7.C
解析
【分析】首先计算已统计的人数总和，得出被遮盖的两个成绩对应的总人数为3人，再分别分析各统计量的影响因素：众数是出现次数最多的数，现有成绩中30分的人数最多，远多于被遮盖的总人数，因此众数不受影响；30个数据的中位数是排序后第15、16个数据的平均数，通过累计各成绩的人数可发现第15、16个数据固定为29，和被遮盖数据无关；平均数受所有数据大小的影响，被遮盖数据取值变化会改变总分数，因此平均数会变化；方差反映数据波动，数据变化会导致方差变化，据此即可判断正确选项。
【解析】首先计算已知人数之和：$2+3+6+7+9=27$，总人数为30，因此成绩为24、25的总人数为$30-27=3$人。
1. 众数分析：现有成绩中30分的人数有9人，是所有成绩里人数最多的，即使被遮盖的3人都为同一成绩，对应人数最多为3，远小于9，因此众数一定是30，和被遮盖数据无关。
2. 中位数分析：30个数据按从小到大排序后，中位数是第15、16个数据的平均数。从小到大累计人数：24、25共3人（对应第1~3位），26分2人（第4~5位），27分3人（第6~8位），28分6人（第9~14位），29分7人（第15~21位），可见第15、16个数据都是29，因此中位数为29，和被遮盖数据无关。
3. 平均数分析：平均数=总成绩÷总人数，被遮盖的24、25的人数不同，总成绩就不同，因此平均数受被遮盖数据影响。
4. 方差分析：方差反映数据的波动程度，被遮盖的数据变化会改变各数据与平均数的差值，因此方差也受被遮盖数据影响。
综上，与被遮盖数据无关的是中位数和众数，答案选C。
【答案】C
【知识点】中位数，众数，统计量的特征
【点评】本题重点考查不同统计量的特点，解题的关键是先确定被遮盖数据的总数量，再结合各统计量的定义判断是否受未知数据的影响，掌握中位数、众数的计算方法是解题的核心。
【难度系数】0.7
【解析】首先计算已知人数之和：$2+3+6+7+9=27$，总人数为30，因此成绩为24、25的总人数为$30-27=3$人。
1. 众数分析：现有成绩中30分的人数有9人，是所有成绩里人数最多的，即使被遮盖的3人都为同一成绩，对应人数最多为3，远小于9，因此众数一定是30，和被遮盖数据无关。
2. 中位数分析：30个数据按从小到大排序后，中位数是第15、16个数据的平均数。从小到大累计人数：24、25共3人（对应第1~3位），26分2人（第4~5位），27分3人（第6~8位），28分6人（第9~14位），29分7人（第15~21位），可见第15、16个数据都是29，因此中位数为29，和被遮盖数据无关。
3. 平均数分析：平均数=总成绩÷总人数，被遮盖的24、25的人数不同，总成绩就不同，因此平均数受被遮盖数据影响。
4. 方差分析：方差反映数据的波动程度，被遮盖的数据变化会改变各数据与平均数的差值，因此方差也受被遮盖数据影响。
综上，与被遮盖数据无关的是中位数和众数，答案选C。
【答案】C
【知识点】中位数，众数，统计量的特征
【点评】本题重点考查不同统计量的特点，解题的关键是先确定被遮盖数据的总数量，再结合各统计量的定义判断是否受未知数据的影响，掌握中位数、众数的计算方法是解题的核心。
【难度系数】0.7
8.如图所示，已知直线$l:y=2x$，分别过$x$轴上的点$A_1(1,0),A_2(2,0),\dots,A_n(n,0)$作垂直于$x$轴的直线交$l$于点$B_1,B_2,\dots,B_n$，将$△ OA_1B_1$，四边形$A_1A_2B_2B_1,\dots,$四边形$A_{n-1}A_nB_nB_{n-1}$的面积依次记为$S_1,S_2,\dots,S_n$，则$S_n=$（
A.$n^2$
B.$2n+1$
C.$2n$
D.$2n-1$
D
）A.$n^2$
B.$2n+1$
C.$2n$
D.$2n-1$
答案
8.D
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据直线l的解析式求出各点Bₖ的纵坐标，得到线段AₖBₖ的长度；再明确S₁是三角形面积，S₂到Sₙ都是梯形面积，相邻A点间距为1；可以先计算前几个S的值找规律，也可以直接利用梯形面积公式推导Sₙ的通用表达式。
【解析】
1. 求线段AₖBₖ的长度：已知直线$l:y=2x$，点$A_k$坐标为$(k,0)$，过$A_k$作x轴的垂线交l于$B_k$，则$B_k$的横坐标为k，代入解析式得$B_k$纵坐标为$2k$，因此$A_kB_k=2k$，且相邻两点A的间距$A_kA_{k+1}=1$。
2. 计算$S_1$：$S_1$是$△ OA_1B_1$的面积，底$OA_1=1$，高$A_1B_1=2×1=2$，所以$S_1=\frac{1}{2} × 1 × 2=1$。
3. 推导$S_n$的表达式：当$n≥2$时，$S_n$是梯形$A_{n-1}A_nB_nB_{n-1}$的面积，梯形上底$A_{n-1}B_{n-1}=2(n-1)$，下底$A_nB_n=2n$，高为$A_{n-1}A_n=1$，根据梯形面积公式：
$S_n=\frac{1}{2} × [2(n-1)+2n] × 1=\frac{1}{2} × (4n-2)=2n-1$，验证$n=1$时，$2×1-1=1$，也符合$S_1$的结果。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，图形面积计算，规律探究
【点评】
本题结合一次函数图象考查规律探究能力，解题的核心是先根据一次函数解析式得到各竖直线段的长度，再结合面积公式推导通用表达式，能够锻炼学生从特殊到一般的归纳思维。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据直线l的解析式求出各点Bₖ的纵坐标，得到线段AₖBₖ的长度；再明确S₁是三角形面积，S₂到Sₙ都是梯形面积，相邻A点间距为1；可以先计算前几个S的值找规律，也可以直接利用梯形面积公式推导Sₙ的通用表达式。
【解析】
1. 求线段AₖBₖ的长度：已知直线$l:y=2x$，点$A_k$坐标为$(k,0)$，过$A_k$作x轴的垂线交l于$B_k$，则$B_k$的横坐标为k，代入解析式得$B_k$纵坐标为$2k$，因此$A_kB_k=2k$，且相邻两点A的间距$A_kA_{k+1}=1$。
2. 计算$S_1$：$S_1$是$△ OA_1B_1$的面积，底$OA_1=1$，高$A_1B_1=2×1=2$，所以$S_1=\frac{1}{2} × 1 × 2=1$。
3. 推导$S_n$的表达式：当$n≥2$时，$S_n$是梯形$A_{n-1}A_nB_nB_{n-1}$的面积，梯形上底$A_{n-1}B_{n-1}=2(n-1)$，下底$A_nB_n=2n$，高为$A_{n-1}A_n=1$，根据梯形面积公式：
$S_n=\frac{1}{2} × [2(n-1)+2n] × 1=\frac{1}{2} × (4n-2)=2n-1$，验证$n=1$时，$2×1-1=1$，也符合$S_1$的结果。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，图形面积计算，规律探究
【点评】
本题结合一次函数图象考查规律探究能力，解题的核心是先根据一次函数解析式得到各竖直线段的长度，再结合面积公式推导通用表达式，能够锻炼学生从特殊到一般的归纳思维。
【难度系数】
0.7
9.若$|a - 2| + b^2 + 4b + 4 + \sqrt{c^2 - c + \frac{1}{4}} = 0$，则$\sqrt{b^2} · \sqrt{a} · \sqrt{c}$的值是（
A.4
B.2
C.-2
D.1
B
）A.4
B.2
C.-2
D.1
答案
9.B
解析
【分析】
解题时首先观察等式左边的结构，可通过完全平方公式将后两项变形为平方和算术平方根的形式。我们知道绝对值、偶次幂、算术平方根都是非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此可求出a、b、c的值，再代入所求的二次根式运算式计算即可，注意二次根式的运算结果是非负的。
【解析】
1. 变形原式：
利用完全平方公式整理得$b^2+4b+4=(b+2)^2$，$c^2 - c + \frac{1}{4}=(c-\frac{1}{2})^2$，因此原式可化为：
$|a - 2| + (b+2)^2 + \sqrt{(c-\frac{1}{2})^2} = 0$
2. 根据非负数性质求字母值：
因为$|a-2|≥0$，$(b+2)^2≥0$，$\sqrt{(c-\frac{1}{2})^2}≥0$，几个非负数的和为0时每个非负数都为0，因此：
$a-2=0$，$b+2=0$，$c-\frac{1}{2}=0$
解得$a=2$，$b=-2$，$c=\frac{1}{2}$
3. 代入计算：
$\sqrt{b^2} · \sqrt{a} · \sqrt{c} = |b| · \sqrt{ac}$，代入数值计算：
$|-2| × \sqrt{2×\frac{1}{2}} = 2 × \sqrt{1} = 2$
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质，完全平方公式，二次根式运算
【点评】
本题解题核心是利用非负数的性质求出未知字母的值，需要熟练掌握完全平方公式的变形，同时注意二次根式化简结果具有非负性，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察等式左边的结构，可通过完全平方公式将后两项变形为平方和算术平方根的形式。我们知道绝对值、偶次幂、算术平方根都是非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此可求出a、b、c的值，再代入所求的二次根式运算式计算即可，注意二次根式的运算结果是非负的。
【解析】
1. 变形原式：
利用完全平方公式整理得$b^2+4b+4=(b+2)^2$，$c^2 - c + \frac{1}{4}=(c-\frac{1}{2})^2$，因此原式可化为：
$|a - 2| + (b+2)^2 + \sqrt{(c-\frac{1}{2})^2} = 0$
2. 根据非负数性质求字母值：
因为$|a-2|≥0$，$(b+2)^2≥0$，$\sqrt{(c-\frac{1}{2})^2}≥0$，几个非负数的和为0时每个非负数都为0，因此：
$a-2=0$，$b+2=0$，$c-\frac{1}{2}=0$
解得$a=2$，$b=-2$，$c=\frac{1}{2}$
3. 代入计算：
$\sqrt{b^2} · \sqrt{a} · \sqrt{c} = |b| · \sqrt{ac}$，代入数值计算：
$|-2| × \sqrt{2×\frac{1}{2}} = 2 × \sqrt{1} = 2$
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质，完全平方公式，二次根式运算
【点评】
本题解题核心是利用非负数的性质求出未知字母的值，需要熟练掌握完全平方公式的变形，同时注意二次根式化简结果具有非负性，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
10.如图，在直线$ l $上有三个正方形$ m $，$ q $，$ n $.若$ m $，$ q $的面积分别为5和11，则$ n $的面积为（
A.4
B.6
C.16
D.55
C
）A.4
B.6
C.16
D.55
答案
10.C
解析
【分析】
解题时先结合正方形的性质寻找相等的边和直角，再利用同角的余角相等得到一组相等的锐角，证明夹在两个正方形m、q之间的两个直角三角形全等，得到对应边相等，最后结合勾股定理推导三个正方形面积的关系，代入已知面积计算即可。
【解析】
解：
∵ 正方形的边长相等、内角为直角，
∴ $AC=CD$，$∠ ACD=∠ ABC=∠ DEC=90°$，
∴ $∠ BAC + ∠ ACB = 90°$，$∠ ACB + ∠ DCE = 90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠ BAC = ∠ DCE$。
在$△ ABC$和$△ CED$中：
$\begin{cases}∠ ABC=∠ CED=90° \\∠ BAC=∠ ECD \\AC=CD\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ CED$（AAS），
∴ $BC=DE$。
根据勾股定理，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中：$AC^2 = AB^2 + BC^2$，
又
∵ $BC=DE$，
∴ $AC^2 = AB^2 + DE^2$。
正方形的面积等于边长的平方，因此$S_n=AC^2$，$S_m=AB^2=5$，$S_q=DE^2=11$，
代入得$S_n=5+11=16$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何常规综合题，核心是通过角度互余关系证明三角形全等，将三个正方形的面积通过勾股定理建立关联，掌握基础几何性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
解题时先结合正方形的性质寻找相等的边和直角，再利用同角的余角相等得到一组相等的锐角，证明夹在两个正方形m、q之间的两个直角三角形全等，得到对应边相等，最后结合勾股定理推导三个正方形面积的关系，代入已知面积计算即可。
【解析】
解：
∵ 正方形的边长相等、内角为直角，
∴ $AC=CD$，$∠ ACD=∠ ABC=∠ DEC=90°$，
∴ $∠ BAC + ∠ ACB = 90°$，$∠ ACB + ∠ DCE = 90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠ BAC = ∠ DCE$。
在$△ ABC$和$△ CED$中：
$\begin{cases}∠ ABC=∠ CED=90° \\∠ BAC=∠ ECD \\AC=CD\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ CED$（AAS），
∴ $BC=DE$。
根据勾股定理，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中：$AC^2 = AB^2 + BC^2$，
又
∵ $BC=DE$，
∴ $AC^2 = AB^2 + DE^2$。
正方形的面积等于边长的平方，因此$S_n=AC^2$，$S_m=AB^2=5$，$S_q=DE^2=11$，
代入得$S_n=5+11=16$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何常规综合题，核心是通过角度互余关系证明三角形全等，将三个正方形的面积通过勾股定理建立关联，掌握基础几何性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
11.将$n$个边长都为1 cm的正方形按下图所示的方法摆放，点$A_1,A_2,\dots,A_n$分别是正方形对角线的交点，则$n$个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（
A.$\frac{1}{4}\ \mathrm{cm}^2$
B.$\frac{n-1}{4}\ \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{n}{4}\ \mathrm{cm}^2$
D.$(\frac{1}{4})^n\ \mathrm{cm}^2$
B
）A.$\frac{1}{4}\ \mathrm{cm}^2$
B.$\frac{n-1}{4}\ \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{n}{4}\ \mathrm{cm}^2$
D.$(\frac{1}{4})^n\ \mathrm{cm}^2$
答案
11.B
解析
【分析】
解题时我们可以先从特殊情况推导规律：首先研究2个正方形重叠时单个重叠部分的面积，再探究n个正方形对应的重叠区域总数量，最后计算面积和即可。①首先回忆正方形性质：正方形的对角线交点是它的中心，中心可将正方形分成4个面积相等的部分，每部分面积是正方形总面积的$\frac{1}{4}$；②再验证：当一个正方形的顶点落在另一个正方形的中心时，无论怎么旋转，重叠部分的面积始终等于正方形面积的$\frac{1}{4}$；③最后找数量关系：n个正方形依次摆放，相邻两个正方形形成1个重叠区域，总共有$(n-1)$个重叠区域，总面积就是单个重叠面积乘重叠数量。
【解析】
1. 计算单个正方形的面积：边长为1cm的正方形面积为$1×1=1\ \mathrm{cm}^2$。
2. 计算单个重叠部分的面积：根据正方形的性质，两个正方形重叠时，重叠部分的面积是正方形面积的$\frac{1}{4}$，即单个重叠部分面积为$1×\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
3. 计算重叠区域的总数量：n个正方形依次摆放，相邻两个正方形形成1个重叠部分，总共有$(n-1)$个这样的重叠区域。
4. 计算总面积和：总面积和为$\frac{1}{4}×(n-1)=\frac{n-1}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、重叠面积计算、规律探究
【点评】
本题属于图形规律类题目，核心是先推导单个重叠部分的固定面积，再找到重叠数量和正方形个数的对应关系，解题过程用到了从特殊到一般的数学思想，掌握正方形的基础性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以先从特殊情况推导规律：首先研究2个正方形重叠时单个重叠部分的面积，再探究n个正方形对应的重叠区域总数量，最后计算面积和即可。①首先回忆正方形性质：正方形的对角线交点是它的中心，中心可将正方形分成4个面积相等的部分，每部分面积是正方形总面积的$\frac{1}{4}$；②再验证：当一个正方形的顶点落在另一个正方形的中心时，无论怎么旋转，重叠部分的面积始终等于正方形面积的$\frac{1}{4}$；③最后找数量关系：n个正方形依次摆放，相邻两个正方形形成1个重叠区域，总共有$(n-1)$个重叠区域，总面积就是单个重叠面积乘重叠数量。
【解析】
1. 计算单个正方形的面积：边长为1cm的正方形面积为$1×1=1\ \mathrm{cm}^2$。
2. 计算单个重叠部分的面积：根据正方形的性质，两个正方形重叠时，重叠部分的面积是正方形面积的$\frac{1}{4}$，即单个重叠部分面积为$1×\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
3. 计算重叠区域的总数量：n个正方形依次摆放，相邻两个正方形形成1个重叠部分，总共有$(n-1)$个这样的重叠区域。
4. 计算总面积和：总面积和为$\frac{1}{4}×(n-1)=\frac{n-1}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、重叠面积计算、规律探究
【点评】
本题属于图形规律类题目，核心是先推导单个重叠部分的固定面积，再找到重叠数量和正方形个数的对应关系，解题过程用到了从特殊到一般的数学思想，掌握正方形的基础性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
