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一、选择题
1.若式子$\sqrt{-a}+\frac{1}{\sqrt{ab}}$有意义，则点$P(a,b)$在 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
1.若式子$\sqrt{-a}+\frac{1}{\sqrt{ab}}$有意义，则点$P(a,b)$在 （
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
1.C
解析
【分析】
要确定点P所在的象限，需先求出a、b的正负性。解题时先根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0的要求，分别列出关于a、b的不等式，求解得到a、b的符号后，再结合各象限内点的坐标特征判断即可。
【解析】
要使式子$\sqrt{-a}+\frac{1}{\sqrt{ab}}$有意义，需同时满足以下条件：
1. 对于二次根式$\sqrt{-a}$，被开方数需满足：$-a≥0$，解得$a≤0$；
2. 对于分式$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，分母$\sqrt{ab}$不能为0，且$\sqrt{ab}$的被开方数需满足：$ab＞0$，即a、b同号，且$a≠0$，$b≠0$。
结合两个结论可得：$a＜0$，又因为$ab＞0$，所以$b＜0$。
根据象限内点的坐标特征：横坐标为负、纵坐标为负的点在第三象限，因此点$P(a,b)$在第三象限。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是基础综合题，将代数式有意义的条件和平面直角坐标系的知识点结合考查，解题的核心是准确推导a、b的正负性，易错点是容易忽略分式分母不能为0的要求，误将ab的范围判断为大于等于0。
【难度系数】
0.8
要确定点P所在的象限，需先求出a、b的正负性。解题时先根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0的要求，分别列出关于a、b的不等式，求解得到a、b的符号后，再结合各象限内点的坐标特征判断即可。
【解析】
要使式子$\sqrt{-a}+\frac{1}{\sqrt{ab}}$有意义，需同时满足以下条件：
1. 对于二次根式$\sqrt{-a}$，被开方数需满足：$-a≥0$，解得$a≤0$；
2. 对于分式$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，分母$\sqrt{ab}$不能为0，且$\sqrt{ab}$的被开方数需满足：$ab＞0$，即a、b同号，且$a≠0$，$b≠0$。
结合两个结论可得：$a＜0$，又因为$ab＞0$，所以$b＜0$。
根据象限内点的坐标特征：横坐标为负、纵坐标为负的点在第三象限，因此点$P(a,b)$在第三象限。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是基础综合题，将代数式有意义的条件和平面直角坐标系的知识点结合考查，解题的核心是准确推导a、b的正负性，易错点是容易忽略分式分母不能为0的要求，误将ab的范围判断为大于等于0。
【难度系数】
0.8
2.已知直角三角形的一个锐角是$60°$，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（
A.$\frac{5}{2}$
B.3
C.$\sqrt{3}+2$
D.$\frac{\sqrt{3}+3}{2}$
D
）A.$\frac{5}{2}$
B.3
C.$\sqrt{3}+2$
D.$\frac{\sqrt{3}+3}{2}$
答案
2.D
解析
【分析】
拿到题目首先明确是直角三角形，已知一个锐角为60°、斜边长为1，我们可以先算出另一个锐角为30°，利用30°直角三角形的特殊性质先求出短直角边的长度，再通过勾股定理求出长直角边的长度，最后将三边长度相加得到周长，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：
∵ 该三角形为直角三角形，一个锐角为60°
∴ 另一个锐角的度数为：$90° - 60° = 30°$
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，已知斜边长为1，可得30°角对应的直角边长为：$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
设另一条直角边长为$x$，由勾股定理可得：
$x^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1^2$
解得$x^2 = 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，因为边长为正数，所以$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$
则三角形周长为：$1+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}+3}{2}$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形性质、30°直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考察特殊直角三角形的边角关系和勾股定理的应用，熟练掌握特殊角度直角三角形的性质可快速简化计算，提升解题速度。
【难度系数】
0.8
拿到题目首先明确是直角三角形，已知一个锐角为60°、斜边长为1，我们可以先算出另一个锐角为30°，利用30°直角三角形的特殊性质先求出短直角边的长度，再通过勾股定理求出长直角边的长度，最后将三边长度相加得到周长，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：
∵ 该三角形为直角三角形，一个锐角为60°
∴ 另一个锐角的度数为：$90° - 60° = 30°$
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，已知斜边长为1，可得30°角对应的直角边长为：$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
设另一条直角边长为$x$，由勾股定理可得：
$x^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1^2$
解得$x^2 = 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，因为边长为正数，所以$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$
则三角形周长为：$1+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}+3}{2}$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形性质、30°直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考察特殊直角三角形的边角关系和勾股定理的应用，熟练掌握特殊角度直角三角形的性质可快速简化计算，提升解题速度。
【难度系数】
0.8
3.下列各曲线中表示 y 是 x 的函数的是 （
）
）答案
3.D
解析
【分析】
判断曲线是否表示y是x的函数，核心依据是函数的定义：在变化过程中，对x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应。实际判断可采用“竖线法”：作垂直于x轴的直线，沿x轴方向平移，若直线与曲线始终最多只有1个交点，说明每个x对应唯一的y，该曲线就是y关于x的函数图像，否则不是。接下来用这个方法逐一分析选项即可。
【解析】
根据函数的定义，我们用“竖线法”逐一判断：
1. 选项A：作垂直于x轴的直线，平移后可与图像出现2个交点，说明存在一个x对应2个y值，不符合函数定义，不是y关于x的函数；
2. 选项B：作垂直于x轴的直线（除与圆相切的位置外），都会和圆有2个交点，说明存在一个x对应2个y值，不符合函数定义，不是y关于x的函数；
3. 选项C：当x＞0时，作垂直于x轴的直线，会和图像有2个交点，说明存在一个x对应2个y值，不符合函数定义，不是y关于x的函数；
4. 选项D：任意作垂直于x轴的直线，平移后都只会和图像有1个交点，说明对任意确定的x，都有唯一的y与之对应，符合函数定义，是y关于x的函数。
【答案】
D
【知识点】
函数的定义；函数图像判断
【点评】
本题是函数概念的基础考查题，掌握“竖线法”这一判断技巧就能快速得出答案，是对函数定义理解的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
判断曲线是否表示y是x的函数，核心依据是函数的定义：在变化过程中，对x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应。实际判断可采用“竖线法”：作垂直于x轴的直线，沿x轴方向平移，若直线与曲线始终最多只有1个交点，说明每个x对应唯一的y，该曲线就是y关于x的函数图像，否则不是。接下来用这个方法逐一分析选项即可。
【解析】
根据函数的定义，我们用“竖线法”逐一判断：
1. 选项A：作垂直于x轴的直线，平移后可与图像出现2个交点，说明存在一个x对应2个y值，不符合函数定义，不是y关于x的函数；
2. 选项B：作垂直于x轴的直线（除与圆相切的位置外），都会和圆有2个交点，说明存在一个x对应2个y值，不符合函数定义，不是y关于x的函数；
3. 选项C：当x＞0时，作垂直于x轴的直线，会和图像有2个交点，说明存在一个x对应2个y值，不符合函数定义，不是y关于x的函数；
4. 选项D：任意作垂直于x轴的直线，平移后都只会和图像有1个交点，说明对任意确定的x，都有唯一的y与之对应，符合函数定义，是y关于x的函数。
【答案】
D
【知识点】
函数的定义；函数图像判断
【点评】
本题是函数概念的基础考查题，掌握“竖线法”这一判断技巧就能快速得出答案，是对函数定义理解的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
4.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线$y=x+5$和直线$y=ax+b$相交于点$P$,根据图象可知,方程$x+5=ax+b$的解是（
A.$x=20$
B.$x=5$
C.$x=25$
D.$x=15$
A
）A.$x=20$
B.$x=5$
C.$x=25$
D.$x=15$
答案
4.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一次函数与一元一次方程的对应关系：方程$x+5=ax+b$的本质是求两个一次函数$y=x+5$和$y=ax+b$的函数值相等时自变量$x$的值，对应到图象上，就是两条直线交点的横坐标。接下来我们只需从图象中提取两直线交点的横坐标，即可得到方程的解。
【解析】
方程$x+5=ax+b$的解对应直线$y=x+5$和直线$y=ax+b$交点的横坐标。
由图象可知，两条直线的交点为$P(20,25)$，其横坐标为20，因此方程$x+5=ax+b$的解是$x=20$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的图象
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，核心考查一次函数和一元一次方程的对应关系，只要理解两个一次函数交点的横坐标就是对应一元一次方程的解，即可快速解题，属于基础类题目。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先要明确一次函数与一元一次方程的对应关系：方程$x+5=ax+b$的本质是求两个一次函数$y=x+5$和$y=ax+b$的函数值相等时自变量$x$的值，对应到图象上，就是两条直线交点的横坐标。接下来我们只需从图象中提取两直线交点的横坐标，即可得到方程的解。
【解析】
方程$x+5=ax+b$的解对应直线$y=x+5$和直线$y=ax+b$交点的横坐标。
由图象可知，两条直线的交点为$P(20,25)$，其横坐标为20，因此方程$x+5=ax+b$的解是$x=20$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的图象
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，核心考查一次函数和一元一次方程的对应关系，只要理解两个一次函数交点的横坐标就是对应一元一次方程的解，即可快速解题，属于基础类题目。
【难度系数】
0.85
5.在2023年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：
关于这组数据的结论不正确的是 （
A.中位数是10.5
B.平均数是10.3
C.众数是10
D.方差是0.81
关于这组数据的结论不正确的是 （
A
）A.中位数是10.5
B.平均数是10.3
C.众数是10
D.方差是0.81
答案
5.A
解析
【分析】
要判断哪个结论不正确，我们需要分别计算这组数据的中位数、平均数、众数、方差，再逐一对应选项验证。首先明确各统计量的计算思路：1. 中位数：将10个数据从小到大排序后，取第5、第6个数据的平均值；2. 平均数：用加权平均数公式，总得分除以总人数；3. 众数：出现次数最多的成绩；4. 方差：按方差公式计算各数据与平均数差值的平方的加权平均值。
【解析】
首先将10名男生的成绩从小到大排列：9，9，10，10，10，10，11，11，11，12。
1. 计算中位数：10个数据的中位数是第5、第6个数据的平均数，第5和第6个数据都是10，因此中位数为$\frac{10+10}{2}=10$，故A选项结论错误。
2. 计算平均数：$\overline{x}=\frac{12×1 + 11×3 +10×4 +9×2}{1+3+4+2}=\frac{12+33+40+18}{10}=10.3$，故B选项结论正确。
3. 确定众数：成绩10出现的次数最多（4次），因此众数是10，故C选项结论正确。
4. 计算方差：
$s^2=\frac{1}{10}×[(12-10.3)^2×1 + (11-10.3)^2×3 + (10-10.3)^2×4 + (9-10.3)^2×2]$
$=\frac{1}{10}×(2.89 + 1.47 + 0.36 + 3.38)$
$=\frac{8.1}{10}=0.81$，故D选项结论正确。
综上，结论不正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
中位数，加权平均数，方差
【点评】
本题考查基础统计量的计算，需熟练掌握各统计量的定义与计算方法，计算中位数时注意先对数据从小到大排序，计算加权平均数和方差时要注意对应各成绩的人数，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
要判断哪个结论不正确，我们需要分别计算这组数据的中位数、平均数、众数、方差，再逐一对应选项验证。首先明确各统计量的计算思路：1. 中位数：将10个数据从小到大排序后，取第5、第6个数据的平均值；2. 平均数：用加权平均数公式，总得分除以总人数；3. 众数：出现次数最多的成绩；4. 方差：按方差公式计算各数据与平均数差值的平方的加权平均值。
【解析】
首先将10名男生的成绩从小到大排列：9，9，10，10，10，10，11，11，11，12。
1. 计算中位数：10个数据的中位数是第5、第6个数据的平均数，第5和第6个数据都是10，因此中位数为$\frac{10+10}{2}=10$，故A选项结论错误。
2. 计算平均数：$\overline{x}=\frac{12×1 + 11×3 +10×4 +9×2}{1+3+4+2}=\frac{12+33+40+18}{10}=10.3$，故B选项结论正确。
3. 确定众数：成绩10出现的次数最多（4次），因此众数是10，故C选项结论正确。
4. 计算方差：
$s^2=\frac{1}{10}×[(12-10.3)^2×1 + (11-10.3)^2×3 + (10-10.3)^2×4 + (9-10.3)^2×2]$
$=\frac{1}{10}×(2.89 + 1.47 + 0.36 + 3.38)$
$=\frac{8.1}{10}=0.81$，故D选项结论正确。
综上，结论不正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
中位数，加权平均数，方差
【点评】
本题考查基础统计量的计算，需熟练掌握各统计量的定义与计算方法，计算中位数时注意先对数据从小到大排序，计算加权平均数和方差时要注意对应各成绩的人数，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
