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1 下列函数在第一象限中，y 的值随着 x 的值的增大而减小的是 （
A.$y=x^2 +1$
B.$y=\frac{2}{x}$
C.$y=x+1$
D.$y=-\frac{1}{x}$
B
）A.$y=x^2 +1$
B.$y=\frac{2}{x}$
C.$y=x+1$
D.$y=-\frac{1}{x}$
答案
1. B 【解析】A选项,$y=x^2+1$是二次函数,图象开口向上,y轴是对称轴,在第一象限中,y的值随着x的值增大而增大,不符合题意; B选项,$y=\frac{2}{x}$是反比例函数,图象分布在第一、三象限,在第一象限中,y的值随着x的值增大而减小,符合题意; C选项,y=x+1是一次函数,k=1＞0,在第一象限中,y的值随着x的值增大而增大,不符合题意; D选项,$y=-\frac{1}{x}$是反比例函数,图象分布在第二、四象限,不符合题意. 故选B.
解析
【分析】
本题需要判断各选项函数在第一象限内y随x的变化情况，解题思路为：首先明确每个选项对应的函数类型，再分别回忆各类函数的图象性质（包括开口方向、增减性、图象所在象限等），逐一分析是否符合“第一象限内y随x增大而减小”的要求，用排除法选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $y=x^2+1$是二次函数，图象开口向上，对称轴为y轴，在第一象限（$x＞0$）时，y的值随x值的增大而增大，不符合题意；
B. $y=\frac{2}{x}$是反比例函数，$k=2＞0$，图象分布在第一、三象限，在每个象限内y的值随x值的增大而减小，第一象限内满足要求，符合题意；
C. $y=x+1$是一次函数，斜率$k=1＞0$，y的值随x值的增大而增大，在第一象限也满足该增减性，不符合题意；
D. $y=-\frac{1}{x}$是反比例函数，$k=-1＜0$，图象分布在第二、四象限，第一象限内没有该函数的图象，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是函数性质的基础考查题，解题的关键是熟练掌握三类常见函数的图象分布和增减性规律，需要注意反比例函数的增减性是在每个独立象限内讨论的，同时不要忽略函数图象所在的象限范围。
【难度系数】
0.8
本题需要判断各选项函数在第一象限内y随x的变化情况，解题思路为：首先明确每个选项对应的函数类型，再分别回忆各类函数的图象性质（包括开口方向、增减性、图象所在象限等），逐一分析是否符合“第一象限内y随x增大而减小”的要求，用排除法选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $y=x^2+1$是二次函数，图象开口向上，对称轴为y轴，在第一象限（$x＞0$）时，y的值随x值的增大而增大，不符合题意；
B. $y=\frac{2}{x}$是反比例函数，$k=2＞0$，图象分布在第一、三象限，在每个象限内y的值随x值的增大而减小，第一象限内满足要求，符合题意；
C. $y=x+1$是一次函数，斜率$k=1＞0$，y的值随x值的增大而增大，在第一象限也满足该增减性，不符合题意；
D. $y=-\frac{1}{x}$是反比例函数，$k=-1＜0$，图象分布在第二、四象限，第一象限内没有该函数的图象，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是函数性质的基础考查题，解题的关键是熟练掌握三类常见函数的图象分布和增减性规律，需要注意反比例函数的增减性是在每个独立象限内讨论的，同时不要忽略函数图象所在的象限范围。
【难度系数】
0.8
2[2026安徽合肥校级期中]已知二次函数$y=ax^2+(2a-1)x+1$图象的对称轴为$y$轴，将此函数图象向下平移3个单位，若点$M$为二次函数图象在$-1≤ x≤1$部分上任意一点，$O$为坐标原点，连接$OM$，则$OM$长度的最小值是（
A.$\sqrt{3}$
B.$2$
C.$\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{17}}{2}$
C
）A.$\sqrt{3}$
B.$2$
C.$\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{17}}{2}$
答案
2. C 【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2+(2a-1)x+1$图象的对称轴为y轴,
∴ $-\frac{2a-1}{2a}=0$,
∴ $a=\frac{1}{2}$,
∴ $y=\frac{1}{2}x^2+1$,将此函数图象向下平移3个单位,得到抛物线$y=\frac{1}{2}x^2-2$,
∴ 抛物线开口向上,有最小值-2,
∴ 在-1≤x≤1范围内y的最大值为$-\frac{3}{2}$,
∴ 点M坐标为$(-1,-\frac{3}{2})$或$(1,-\frac{3}{2})$时,OM的长度最小,最小值为$\sqrt{1^2+(-\frac{3}{2})^2}=\frac{\sqrt{13}}{2}$. 故选C.
∵ 二次函数$y=ax^2+(2a-1)x+1$图象的对称轴为y轴,
∴ $-\frac{2a-1}{2a}=0$,
∴ $a=\frac{1}{2}$,
∴ $y=\frac{1}{2}x^2+1$,将此函数图象向下平移3个单位,得到抛物线$y=\frac{1}{2}x^2-2$,
∴ 抛物线开口向上,有最小值-2,
∴ 在-1≤x≤1范围内y的最大值为$-\frac{3}{2}$,
∴ 点M坐标为$(-1,-\frac{3}{2})$或$(1,-\frac{3}{2})$时,OM的长度最小,最小值为$\sqrt{1^2+(-\frac{3}{2})^2}=\frac{\sqrt{13}}{2}$. 故选C.
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“二次函数对称轴为y轴”入手，利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，y轴对应的x值为0，可列方程求出参数a的值，得到原二次函数的解析式；再根据“向下平移3个单位”的平移规则，得到平移后的新函数解析式；最后要计算原点到区间$-1≤x≤1$上点M的最小距离，可先分析该区间内函数上点的坐标特征，分别计算关键位置点（顶点、区间端点对应的抛物线上的点）到原点的距离，比较后得到最小值。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2+(2a-1)x+1$的对称轴为y轴，即对称轴为直线$x=0$，
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得：
$-\frac{2a-1}{2a}=0$，
分母$2a≠0$，因此分子$2a-1=0$，解得$a=\frac{1}{2}$，
∴ 原二次函数解析式为$y=\frac{1}{2}x^2+1$，
将函数图象向下平移3个单位，根据平移规则“上加下减”，得到新的抛物线解析式为：
$y=\frac{1}{2}x^2+1-3=\frac{1}{2}x^2-2$，
该抛物线开口向上，在$-1≤x≤1$范围内：
当$x=0$时，$y$取最小值$-2$，对应点为$(0,-2)$，此时$OM=\sqrt{0^2+(-2)^2}=2$；
当$x=\pm1$时，$y=\frac{1}{2}×1^2-2=-\frac{3}{2}$，对应点为$(1,-\frac{3}{2})$和$(-1,-\frac{3}{2})$，此时$OM=\sqrt{1^2+(-\frac{3}{2})^2}=\sqrt{1+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{13}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$，
比较$\frac{\sqrt{13}}{2}＜2$，因此OM长度的最小值为$\frac{\sqrt{13}}{2}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴性质，二次函数图象平移，两点间距离公式
【点评】
本题综合考查二次函数相关性质与距离计算，解题的核心是先准确求出平移后的函数解析式，再结合自变量的取值范围分析所有可能的最短距离点，避免直接默认顶点为距离最近的点而出错。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知条件“二次函数对称轴为y轴”入手，利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，y轴对应的x值为0，可列方程求出参数a的值，得到原二次函数的解析式；再根据“向下平移3个单位”的平移规则，得到平移后的新函数解析式；最后要计算原点到区间$-1≤x≤1$上点M的最小距离，可先分析该区间内函数上点的坐标特征，分别计算关键位置点（顶点、区间端点对应的抛物线上的点）到原点的距离，比较后得到最小值。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2+(2a-1)x+1$的对称轴为y轴，即对称轴为直线$x=0$，
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得：
$-\frac{2a-1}{2a}=0$，
分母$2a≠0$，因此分子$2a-1=0$，解得$a=\frac{1}{2}$，
∴ 原二次函数解析式为$y=\frac{1}{2}x^2+1$，
将函数图象向下平移3个单位，根据平移规则“上加下减”，得到新的抛物线解析式为：
$y=\frac{1}{2}x^2+1-3=\frac{1}{2}x^2-2$，
该抛物线开口向上，在$-1≤x≤1$范围内：
当$x=0$时，$y$取最小值$-2$，对应点为$(0,-2)$，此时$OM=\sqrt{0^2+(-2)^2}=2$；
当$x=\pm1$时，$y=\frac{1}{2}×1^2-2=-\frac{3}{2}$，对应点为$(1,-\frac{3}{2})$和$(-1,-\frac{3}{2})$，此时$OM=\sqrt{1^2+(-\frac{3}{2})^2}=\sqrt{1+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{13}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$，
比较$\frac{\sqrt{13}}{2}＜2$，因此OM长度的最小值为$\frac{\sqrt{13}}{2}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴性质，二次函数图象平移，两点间距离公式
【点评】
本题综合考查二次函数相关性质与距离计算，解题的核心是先准确求出平移后的函数解析式，再结合自变量的取值范围分析所有可能的最短距离点，避免直接默认顶点为距离最近的点而出错。
【难度系数】
0.6
3[2025安徽合肥庐江校级模拟]已知关于x的函数$y=ax^2-(a+1)x+(a-1)$的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数a可能的值有 (
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
A
)A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
3. A 【解析】分情况讨论：①当a=0时，函数为y=-x-1，与坐标轴交于(-1,0)和(0,-1)两个点，符合题意；②当a≠0时，函数为二次函数，若图象过原点，则a-1=0，a=1，此时函数为y=x²-2x，与坐标轴交于(0,0),(2,0)两个点，符合题意；③当a≠0，且图象与x轴只有一个交点，与y轴交于另一个点时，Δ=[-(a+1)]²-4a(a-1)=0，解得$a=\frac{3±2\sqrt{3}}{3}$，共两个值。综上a的可能值有4个，故选A
.解析
【分析】
解决本题需先根据二次项系数$a$是否为0判断函数类型，再分类讨论满足图象与坐标轴共有2个不同交点的情况：①$a=0$时函数为一次函数，直接判断交点数即可；②$a≠0$时函数为二次函数，再细分为两种情况：一是图象过原点（此时与y轴交点和x轴的一个交点重合，总交点数为2），二是图象不过原点（此时需保证与x轴仅有1个交点，加上与y轴的1个交点共2个），最后汇总所有符合条件的$a$的个数即可。
【解析】
分三类情况讨论：
1. 当$a=0$时，函数解析式为$y=-x-1$，属于一次函数：
与x轴交点为$(-1,0)$，与y轴交点为$(0,-1)$，共2个不同交点，符合题意。
2. 当$a≠0$时，函数为二次函数，若图象过原点：
此时常数项$a-1=0$，解得$a=1$，代入得函数$y=x^2-2x$，与坐标轴交点为$(0,0)$、$(2,0)$，共2个不同交点，符合题意。
3. 当$a≠0$且图象不过原点时：
此时与y轴交点为$(0,a-1)$（非原点），要使总交点数为2，需二次函数与x轴仅有1个交点，即判别式$\Delta=0$：
计算得$\Delta=[-(a+1)]^2-4a(a-1)=-3a^2+6a+1=0$，
解该方程得$a=\frac{3±2\sqrt{3}}{3}$，两个值均满足$a≠0$且$a≠1$，符合题意。
综上，符合条件的$a$的值共4个。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数图象性质；根的判别式应用
【点评】
本题重点考查分类讨论思想，解题时容易遗漏$a=0$的一次函数情况，或是遗漏二次函数过原点的情况，导致少算符合条件的$a$的值，做题时要注意按层级分类，避免漏解。
【难度系数】
0.55
解决本题需先根据二次项系数$a$是否为0判断函数类型，再分类讨论满足图象与坐标轴共有2个不同交点的情况：①$a=0$时函数为一次函数，直接判断交点数即可；②$a≠0$时函数为二次函数，再细分为两种情况：一是图象过原点（此时与y轴交点和x轴的一个交点重合，总交点数为2），二是图象不过原点（此时需保证与x轴仅有1个交点，加上与y轴的1个交点共2个），最后汇总所有符合条件的$a$的个数即可。
【解析】
分三类情况讨论：
1. 当$a=0$时，函数解析式为$y=-x-1$，属于一次函数：
与x轴交点为$(-1,0)$，与y轴交点为$(0,-1)$，共2个不同交点，符合题意。
2. 当$a≠0$时，函数为二次函数，若图象过原点：
此时常数项$a-1=0$，解得$a=1$，代入得函数$y=x^2-2x$，与坐标轴交点为$(0,0)$、$(2,0)$，共2个不同交点，符合题意。
3. 当$a≠0$且图象不过原点时：
此时与y轴交点为$(0,a-1)$（非原点），要使总交点数为2，需二次函数与x轴仅有1个交点，即判别式$\Delta=0$：
计算得$\Delta=[-(a+1)]^2-4a(a-1)=-3a^2+6a+1=0$，
解该方程得$a=\frac{3±2\sqrt{3}}{3}$，两个值均满足$a≠0$且$a≠1$，符合题意。
综上，符合条件的$a$的值共4个。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数图象性质；根的判别式应用
【点评】
本题重点考查分类讨论思想，解题时容易遗漏$a=0$的一次函数情况，或是遗漏二次函数过原点的情况，导致少算符合条件的$a$的值，做题时要注意按层级分类，避免漏解。
【难度系数】
0.55
4[2025安徽马鞍山质检]已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，若对于任意实数$x$，都满足$x^2+3x-5≤y≤3x^2+7x-3$，则$a-b+c$的值是（
A.-4
B.-5
C.-6
D.-7
D
）A.-4
B.-5
C.-6
D.-7
答案
4. D 【解析】当x=-1时,$y=ax^2+bx+c=a-b+c$,将x=-1代入$x^2+3x-5≤y≤3x^2+7x-3$,得$(-1)^2+3×(-1)-5≤y≤3×(-1)^2+7×(-1)-3$,化简得-7≤y≤-7,即y=-7,
∴ a-b+c=-7. 故选D.
∴ a-b+c=-7. 故选D.
解析
【分析】
首先观察所求代数式$a-b+c$的结构，可发现它是二次函数$y=ax^2+bx+c$在$x=-1$时的函数值。题目给出对任意实数$x$，$y$都介于两个二次代数式之间，因此$x=-1$时该不等关系同样成立。将$x=-1$代入不等式左右两边的代数式计算，若两边结果相等，根据不等式的夹逼性，即可直接得到此时$y$的值，也就是$a-b+c$的值。
【解析】
∵ 当$x=-1$时，二次函数$y=ax^2+bx+c = a·(-1)^2 + b·(-1) + c = a-b+c$，
又
∵ 对任意实数$x$，都满足$x^2+3x-5 ≤ y ≤ 3x^2+7x-3$，
∴ $x=-1$时该不等式也成立，代入得：
左边：$(-1)^2 + 3×(-1) -5 = 1 - 3 -5 = -7$，
右边：$3×(-1)^2 +7×(-1) -3 = 3 -7 -3 = -7$，
∴ $-7 ≤ y ≤ -7$，即$y=-7$，
∴ $a-b+c=-7$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数求值，不等式性质，恒成立应用
【点评】
本题无需分别求解$a、b、c$的取值，而是通过观察所求代数式与二次函数特定自变量取值的对应关系，结合不等式恒成立的条件，利用夹逼法快速得到结果，解题思路灵活，侧重考查对代数式结构的观察能力和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察所求代数式$a-b+c$的结构，可发现它是二次函数$y=ax^2+bx+c$在$x=-1$时的函数值。题目给出对任意实数$x$，$y$都介于两个二次代数式之间，因此$x=-1$时该不等关系同样成立。将$x=-1$代入不等式左右两边的代数式计算，若两边结果相等，根据不等式的夹逼性，即可直接得到此时$y$的值，也就是$a-b+c$的值。
【解析】
∵ 当$x=-1$时，二次函数$y=ax^2+bx+c = a·(-1)^2 + b·(-1) + c = a-b+c$，
又
∵ 对任意实数$x$，都满足$x^2+3x-5 ≤ y ≤ 3x^2+7x-3$，
∴ $x=-1$时该不等式也成立，代入得：
左边：$(-1)^2 + 3×(-1) -5 = 1 - 3 -5 = -7$，
右边：$3×(-1)^2 +7×(-1) -3 = 3 -7 -3 = -7$，
∴ $-7 ≤ y ≤ -7$，即$y=-7$，
∴ $a-b+c=-7$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数求值，不等式性质，恒成立应用
【点评】
本题无需分别求解$a、b、c$的取值，而是通过观察所求代数式与二次函数特定自变量取值的对应关系，结合不等式恒成立的条件，利用夹逼法快速得到结果，解题思路灵活，侧重考查对代数式结构的观察能力和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.6
5[2025安徽阜阳校级期中]若实数$m$满足$m^2 + 2(1+\dfrac{2}{m})=0$，则下列对$m$值的估计正确的是（
A.$-2＜m＜-1$
B.$-1＜m＜0$
C.$0＜m＜1$
D.$1＜m＜2$
A
）A.$-2＜m＜-1$
B.$-1＜m＜0$
C.$0＜m＜1$
D.$1＜m＜2$
答案
5. A 【解析】
∵ $m^2+2(1+\frac{2}{m})=0$,
∴ $m^2+2+\frac{4}{m}=0$,
∴ $m^2+2=-\frac{4}{m}$,
∴ 方程的解是函数$y=m^2+2$与函数$y=-\frac{4}{m}$的图象的交点的横坐标
. 如图,当m＜0时,函数$y=m^2+2$的y值随m值的增大而减小,函数$y=-\frac{4}{m}$的y值随m值的增大而增大. 当m=-2时,$y=m^2+2=4+2=6$,$y=-\frac{4}{-2}=2$.∵ 6＞2,
∴ 交点横坐标大于-2; 当m=-1时,$y=m^2+2=1+2=3$,$y=-\frac{4}{-1}=4$.
∵ 3＜4,
∴ 交点横坐标小于-1,
∴ -2＜m＜-1. 故选A.
解析
【分析】
观察给定的方程，直接整理会得到三次方程，超出初中求解范围，因此考虑将方程变形，转化为两个熟悉的函数相等的问题，方程的解就是两个函数图象交点的横坐标。首先根据变形后式子左右两侧的符号判断m的正负，排除明显错误的选项，再利用两个函数在m＜0时的增减性，代入区间端点的m值比较两个函数的函数值大小，即可确定交点所在的区间，也就是m的取值范围。
【解析】
首先整理已知方程：
∵ $m^2+2(1+\frac{2}{m})=0$，
展开得 $m^2+2+\frac{4}{m}=0$，
移项得 $m^2+2=-\frac{4}{m}$，
因此方程的解就是函数$y=m^2+2$与函数$y=-\frac{4}{m}$的图象交点的横坐标。
首先判断m的符号：左边$y=m^2+2$恒大于0，因此右边$-\frac{4}{m}＞0$，可得$m＜0$，排除C、D选项。
再分析函数增减性：当$m＜0$时，$y=m^2+2$的y值随m的增大而减小，$y=-\frac{4}{m}$的y值随m的增大而增大。
代入边界值计算：
当$m=-2$时，$y=m^2+2=(-2)^2+2=6$，$y=-\frac{4}{m}=-\frac{4}{-2}=2$，此时$6＞2$，说明交点横坐标大于-2；
当$m=-1$时，$y=m^2+2=(-1)^2+2=3$，$y=-\frac{4}{m}=-\frac{4}{-1}=4$，此时$3＜4$，说明交点横坐标小于-1；
综上可得$-2＜m＜-1$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
函数与方程的关系，二次函数的性质，反比例函数的性质
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将方程解的问题转化为函数图象交点的问题，避免了求解高次方程的麻烦，要求熟练掌握二次函数和反比例函数的增减性，能够通过代入特殊值判断交点的取值范围。
【难度系数】
0.6
观察给定的方程，直接整理会得到三次方程，超出初中求解范围，因此考虑将方程变形，转化为两个熟悉的函数相等的问题，方程的解就是两个函数图象交点的横坐标。首先根据变形后式子左右两侧的符号判断m的正负，排除明显错误的选项，再利用两个函数在m＜0时的增减性，代入区间端点的m值比较两个函数的函数值大小，即可确定交点所在的区间，也就是m的取值范围。
【解析】
首先整理已知方程：
∵ $m^2+2(1+\frac{2}{m})=0$，
展开得 $m^2+2+\frac{4}{m}=0$，
移项得 $m^2+2=-\frac{4}{m}$，
因此方程的解就是函数$y=m^2+2$与函数$y=-\frac{4}{m}$的图象交点的横坐标
。首先判断m的符号：左边$y=m^2+2$恒大于0，因此右边$-\frac{4}{m}＞0$，可得$m＜0$，排除C、D选项。
再分析函数增减性：当$m＜0$时，$y=m^2+2$的y值随m的增大而减小，$y=-\frac{4}{m}$的y值随m的增大而增大。
代入边界值计算：
当$m=-2$时，$y=m^2+2=(-2)^2+2=6$，$y=-\frac{4}{m}=-\frac{4}{-2}=2$，此时$6＞2$，说明交点横坐标大于-2；
当$m=-1$时，$y=m^2+2=(-1)^2+2=3$，$y=-\frac{4}{m}=-\frac{4}{-1}=4$，此时$3＜4$，说明交点横坐标小于-1；
综上可得$-2＜m＜-1$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
函数与方程的关系，二次函数的性质，反比例函数的性质
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将方程解的问题转化为函数图象交点的问题，避免了求解高次方程的麻烦，要求熟练掌握二次函数和反比例函数的增减性，能够通过代入特殊值判断交点的取值范围。
【难度系数】
0.6
6[2026安徽安庆校级期末]若双曲线的表达式为$y=\frac{4}{x}$，则阴影面积为2的是（
B
）答案
6. B 【解析】A选项,阴影面积为4,故不符合题意; B选项,阴影面积为$\frac{1}{2}×4=2$,故符合题意; C选项,阴影面积为$2×\frac{1}{2}×4=4$,故不符合题意; D选项,阴影面积为2×4=8,故不符合题意. 故选B.
解析
【分析】
本题考查反比例函数中k的几何意义的应用。解题思路如下：首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的几何性质：过图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，围成的矩形面积为$|k|$，以该点、原点、垂足为顶点的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。本题中$k=4$，可得$|k|=4$，接下来依次计算各选项阴影部分的面积，筛选出面积为2的选项即可。
【解析】
已知双曲线解析式为$y=\frac{4}{x}$，因此$k=4$，$|k|=4$：
A选项：阴影为矩形，面积$=|k|=4$，不符合题意；
B选项：阴影为三角形，面积$=\frac{1}{2}×|k|=\frac{1}{2}×4=2$，符合题意；
C选项：阴影由两个面积相等的三角形组成，总面积$=2×\frac{1}{2}×|k|=4$，不符合题意；
D选项：阴影为矩形，面积$=2×|k|=8$，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义、图形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心是对k的几何意义的理解和运用，只要掌握相关性质，结合图形特征就能快速求解。
【难度系数】
0.7
本题考查反比例函数中k的几何意义的应用。解题思路如下：首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的几何性质：过图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，围成的矩形面积为$|k|$，以该点、原点、垂足为顶点的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。本题中$k=4$，可得$|k|=4$，接下来依次计算各选项阴影部分的面积，筛选出面积为2的选项即可。
【解析】
已知双曲线解析式为$y=\frac{4}{x}$，因此$k=4$，$|k|=4$：
A选项：阴影为矩形，面积$=|k|=4$，不符合题意；
B选项：阴影为三角形，面积$=\frac{1}{2}×|k|=\frac{1}{2}×4=2$，符合题意；
C选项：阴影由两个面积相等的三角形组成，总面积$=2×\frac{1}{2}×|k|=4$，不符合题意；
D选项：阴影为矩形，面积$=2×|k|=8$，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义、图形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心是对k的几何意义的理解和运用，只要掌握相关性质，结合图形特征就能快速求解。
【难度系数】
0.7
7 如图,直线a,b都与直线l垂直,垂足分别为E,F,EF=1,正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}$,对角线AC在直线l上,且点C位于点E处,将正方形ABCD沿l向右平移,直到点A与点F重合为止,记点C平移的距离为x,正方形ABCD位于直线a,b之间部分(阴影部分)的面积为y,则y关于x的函数图象大致为 (
B
)答案
7. B 【解析】正方形对角线$AC=(\sqrt{2})^2=2$. ①当0≤x≤1时,如图(1). 设平移后的正方形交直线a于点G,H,则EC=x,△GHC为等腰直角三角形,故GH=2x,则$y=S_{△HGC}=\frac{1}{2}EC·GH=\frac{1}{2}·x·2x=x^2$,其图象为开口向上的抛物线的一部分
. ②当1＜x≤2时,如图(2). 设平移后的正方形交直线b于点M,N,交直线a于点G,H,则△AGH,△MNC均为等腰直角三角形,则$y=S_{正方形ABCD}-(S_{△AGH}+S_{△MNC})=(\sqrt{2})^2-[\frac{1}{2}(2-x)·(2-x)×2+2×(x-1)(x-1)]=-2x^2+6x-3$,该函数图象为开口向下的抛物线的一部分
. ③当2＜x≤3时,同理可得$y=(3-x)×2(3-x)×\frac{1}{2}=x^2-6x+9$,该函数图象为开口向上的抛物线的一部分. 故选B.解析
【分析】
解决这道题的核心是分类讨论正方形平移过程中阴影部分的形状，结合几何性质推导面积的函数表达式，再匹配对应图象。首先先计算正方形对角线AC的长度，再根据平移过程的临界点（点C到达F、点A到达E、点A到达F）将平移过程分为3个区间，分别计算每个区间内阴影面积y关于x的函数，根据函数类型（二次函数的开口方向）和图象特征即可判断正确选项。
【解析】
首先计算正方形ABCD的对角线长度：正方形边长为$\sqrt{2}$，故对角线$AC=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，已知EF=1，平移过程分三个阶段讨论：
①当$0≤ x≤1$时，如图(1)，平移后正方形交直线a于G、H，EC=x，$△ GHC$为等腰直角三角形，斜边上的高为EC=x，故斜边$GH=2x$，阴影面积$y=\frac{1}{2}· EC· GH=\frac{1}{2}· x· 2x=x^2$，对应图象为开口向上的抛物线的一部分。
②当$1＜x≤2$时，如图(2)，平移后正方形交直线b于M、N，交直线a于G、H，$△ AGH$和$△ MNC$均为等腰直角三角形，$S_{△ AGH}=(2-x)^2$，$S_{△ MNC}=(x-1)^2$，正方形面积为$(\sqrt{2})^2=2$，故阴影面积$y=2-[(2-x)^2+(x-1)^2]=-2x^2+6x-3$，对应图象为开口向下的抛物线的一部分。
③当$2＜x≤3$时，剩余阴影为等腰直角三角形，斜边上的高为$3-x$，故面积$y=(3-x)^2=x^2-6x+9$，对应图象为开口向上的抛物线的一部分。
综上，只有B选项的图象符合函数特征。
【答案】
B
【知识点】
动点函数图象；正方形的性质；二次函数图象
【点评】
本题是动态几何与函数结合的常考题型，需要结合平移的过程分类讨论阴影部分的面积表达式，既考查了正方形、等腰直角三角形的性质，也考查了二次函数图象的特征，渗透了分类讨论和数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
解决这道题的核心是分类讨论正方形平移过程中阴影部分的形状，结合几何性质推导面积的函数表达式，再匹配对应图象。首先先计算正方形对角线AC的长度，再根据平移过程的临界点（点C到达F、点A到达E、点A到达F）将平移过程分为3个区间，分别计算每个区间内阴影面积y关于x的函数，根据函数类型（二次函数的开口方向）和图象特征即可判断正确选项。
【解析】
首先计算正方形ABCD的对角线长度：正方形边长为$\sqrt{2}$，故对角线$AC=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，已知EF=1，平移过程分三个阶段讨论：
①当$0≤ x≤1$时，如图(1)，平移后正方形交直线a于G、H，EC=x，$△ GHC$为等腰直角三角形，斜边上的高为EC=x，故斜边$GH=2x$，阴影面积$y=\frac{1}{2}· EC· GH=\frac{1}{2}· x· 2x=x^2$，对应图象为开口向上的抛物线的一部分
。②当$1＜x≤2$时，如图(2)，平移后正方形交直线b于M、N，交直线a于G、H，$△ AGH$和$△ MNC$均为等腰直角三角形，$S_{△ AGH}=(2-x)^2$，$S_{△ MNC}=(x-1)^2$，正方形面积为$(\sqrt{2})^2=2$，故阴影面积$y=2-[(2-x)^2+(x-1)^2]=-2x^2+6x-3$，对应图象为开口向下的抛物线的一部分
。③当$2＜x≤3$时，剩余阴影为等腰直角三角形，斜边上的高为$3-x$，故面积$y=(3-x)^2=x^2-6x+9$，对应图象为开口向上的抛物线的一部分。
综上，只有B选项的图象符合函数特征。
【答案】
B
【知识点】
动点函数图象；正方形的性质；二次函数图象
【点评】
本题是动态几何与函数结合的常考题型，需要结合平移的过程分类讨论阴影部分的面积表达式，既考查了正方形、等腰直角三角形的性质，也考查了二次函数图象的特征，渗透了分类讨论和数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
8[2026安徽安庆校级质检]在平面直角坐标系中,将横、纵坐标和为18的点称为“乾坤点”,例如:$(-1,19),(-2007,2025)$都是“乾坤点”.若某函数图象上存在“乾坤点”,则把该函数称为“乾坤函数”.下列说法正确的是 (
A.$(2025,-2043)$是“乾坤点”
B.函数$y=6x+18$的图象上存在2个“乾坤点”
C.函数$y=x^2 -2x +2025$是“乾坤函数”
D.若“乾坤函数”$y=\frac{2a+1}{x}(2a+1≠0,a为常数)$图象上有且只有1个“乾坤点”,则“乾坤点”的坐标为$(9,9)$
D
)A.$(2025,-2043)$是“乾坤点”
B.函数$y=6x+18$的图象上存在2个“乾坤点”
C.函数$y=x^2 -2x +2025$是“乾坤函数”
D.若“乾坤函数”$y=\frac{2a+1}{x}(2a+1≠0,a为常数)$图象上有且只有1个“乾坤点”,则“乾坤点”的坐标为$(9,9)$
答案
8. D 【解析】A选项,
∵ 2025+(-2043)=-18≠18,
∴ (2025,-2043)不是“乾坤点”,故选项A错误. B选项,
∵ 函数y=6x+18的图象上存在“乾坤点”,
∴ x+6x+18=18,解得x=0,
∴ 该图象上的“乾坤点”为(0,18),
∴ 函数y=6x+18的图象上存在1个“乾坤点”,故选项B错误. C选项,若函数$y=x^2-2x+2025$是“乾坤函数”,则$x+x^2-2x+2025=18$,即$x^2-x+2007=0$,
∴ Δ=(-1)^2-4×2×2007=-8027＜0,
∴ 方程无实数根,
∴ 函数的图象上不存在“乾坤点”,故选项C错误. D选项,
∵ $y=\frac{2a+1}{x}$是“乾坤函数”,
∴ $x+\frac{2a+1}{x}=18$,化简得$x^2-18x+2a+1=0$.
∵ 该“乾坤函数”图象上有且只有1个“乾坤点”,
∴ $x^2-18x+2a+1=0$有两个相等的实数根,
∴ Δ=(-18)^2-4(2a+1)=0,
∴ a=40,
∴ 方程为$x^2-18x+81=0$,解得$x_1=x_2=9$,
∴ y=18-9=9,
∴ “乾坤点”的坐标为(9,9),故选项D正确,故选D.
∵ 2025+(-2043)=-18≠18,
∴ (2025,-2043)不是“乾坤点”,故选项A错误. B选项,
∵ 函数y=6x+18的图象上存在“乾坤点”,
∴ x+6x+18=18,解得x=0,
∴ 该图象上的“乾坤点”为(0,18),
∴ 函数y=6x+18的图象上存在1个“乾坤点”,故选项B错误. C选项,若函数$y=x^2-2x+2025$是“乾坤函数”,则$x+x^2-2x+2025=18$,即$x^2-x+2007=0$,
∴ Δ=(-1)^2-4×2×2007=-8027＜0,
∴ 方程无实数根,
∴ 函数的图象上不存在“乾坤点”,故选项C错误. D选项,
∵ $y=\frac{2a+1}{x}$是“乾坤函数”,
∴ $x+\frac{2a+1}{x}=18$,化简得$x^2-18x+2a+1=0$.
∵ 该“乾坤函数”图象上有且只有1个“乾坤点”,
∴ $x^2-18x+2a+1=0$有两个相等的实数根,
∴ Δ=(-18)^2-4(2a+1)=0,
∴ a=40,
∴ 方程为$x^2-18x+81=0$,解得$x_1=x_2=9$,
∴ y=18-9=9,
∴ “乾坤点”的坐标为(9,9),故选项D正确,故选D.
解析
【分析】
解题首先要明确核心定义：“乾坤点”满足横、纵坐标之和为18，即对任意点$(x,y)$，若$x+y=18$则为“乾坤点”；判断函数是否为“乾坤函数”，只需将函数解析式与$x+y=18$联立，转化为关于$x$的方程，通过判断方程是否有实根、实根个数即可。解题时逐个选项验证：A选项直接计算横纵坐标和判断；B、C、D选项分别联立函数与$x+y=18$，结合解方程、一元二次方程根的判别式判断解的情况，进而确定选项正误。
【解析】
A选项：计算横纵坐标之和：$2025+(-2043)=-18≠18$，不符合“乾坤点”定义，故A错误。
B选项：若函数$y=6x+18$的图象上存在“乾坤点”，将$y=6x+18$代入$x+y=18$得：$x+6x+18=18$，解得$x=0$，对应“乾坤点”仅$(0,18)$1个，故B错误。
C选项：若函数$y=x^2-2x+2025$是“乾坤函数”，联立$x+y=18$得：$x+x^2-2x+2025=18$，整理为$x^2-x+2007=0$，判别式$\Delta=(-1)^2-4×1×2007=-8027＜0$，方程无实根，该函数不是“乾坤函数”，故C错误。
D选项：将$y=\frac{2a+1}{x}$代入$x+y=18$得：$x+\frac{2a+1}{x}=18$，整理为$x^2-18x+2a+1=0$。因图象上仅有1个“乾坤点”，故该一元二次方程有两个相等实根，$\Delta=(-18)^2-4×1×(2a+1)=0$，解得$a=40$，代入方程得$x^2-18x+81=0$，解得$x_1=x_2=9$，对应$y=18-9=9$，即“乾坤点”为$(9,9)$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
新定义问题，函数与方程，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题以新定义为载体考查不同类型函数与方程的转化，解题关键是将陌生的新定义问题转化为熟悉的方程解的判定问题，计算时需注意判别式的正确代入，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确核心定义：“乾坤点”满足横、纵坐标之和为18，即对任意点$(x,y)$，若$x+y=18$则为“乾坤点”；判断函数是否为“乾坤函数”，只需将函数解析式与$x+y=18$联立，转化为关于$x$的方程，通过判断方程是否有实根、实根个数即可。解题时逐个选项验证：A选项直接计算横纵坐标和判断；B、C、D选项分别联立函数与$x+y=18$，结合解方程、一元二次方程根的判别式判断解的情况，进而确定选项正误。
【解析】
A选项：计算横纵坐标之和：$2025+(-2043)=-18≠18$，不符合“乾坤点”定义，故A错误。
B选项：若函数$y=6x+18$的图象上存在“乾坤点”，将$y=6x+18$代入$x+y=18$得：$x+6x+18=18$，解得$x=0$，对应“乾坤点”仅$(0,18)$1个，故B错误。
C选项：若函数$y=x^2-2x+2025$是“乾坤函数”，联立$x+y=18$得：$x+x^2-2x+2025=18$，整理为$x^2-x+2007=0$，判别式$\Delta=(-1)^2-4×1×2007=-8027＜0$，方程无实根，该函数不是“乾坤函数”，故C错误。
D选项：将$y=\frac{2a+1}{x}$代入$x+y=18$得：$x+\frac{2a+1}{x}=18$，整理为$x^2-18x+2a+1=0$。因图象上仅有1个“乾坤点”，故该一元二次方程有两个相等实根，$\Delta=(-18)^2-4×1×(2a+1)=0$，解得$a=40$，代入方程得$x^2-18x+81=0$，解得$x_1=x_2=9$，对应$y=18-9=9$，即“乾坤点”为$(9,9)$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
新定义问题，函数与方程，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题以新定义为载体考查不同类型函数与方程的转化，解题关键是将陌生的新定义问题转化为熟悉的方程解的判定问题，计算时需注意判别式的正确代入，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9[2026安徽合肥蜀山区校级质检]一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA,喷头A向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是$y=-x^2+2x+\frac{7}{4}$(x＞0),则水流喷出的最大高度是
9[2026安徽合肥蜀山区校级质检]一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA,喷头A向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是$y=-x^2+2x+\frac{7}{4}$(x＞0),则水流喷出的最大高度是
$\frac{11}{4}$
m.答案
9. $\frac{11}{4}$ 【解析】
∵ 水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是$y=-x^2+2x+\frac{7}{4}=-(x-1)^2+\frac{11}{4}$,
∴ 抛物线的顶点坐标为$(1,\frac{11}{4})$,
∴ 水流喷出的最大高度是$\frac{11}{4}$m,故答案为$\frac{11}{4}$.
∵ 水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是$y=-x^2+2x+\frac{7}{4}=-(x-1)^2+\frac{11}{4}$,
∴ 抛物线的顶点坐标为$(1,\frac{11}{4})$,
∴ 水流喷出的最大高度是$\frac{11}{4}$m,故答案为$\frac{11}{4}$.
解析
【分析】
本题要求水流喷出的最大高度，本质是求给定二次函数在x＞0范围内的最大值。首先观察二次函数解析式，二次项系数为-1＜0，抛物线开口向下，顶点处的y值就是函数的最大值。我们可以通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接得到顶点纵坐标，同时验证顶点横坐标是否满足x＞0的条件，即可求出最大高度。
【解析】
已知水流高度y与水平距离x的函数关系式为$y=-x^2+2x+\frac{7}{4}$（$x＞0$），对解析式进行配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+1+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+\frac{11}{4}\end{aligned}$
可得抛物线顶点坐标为$(1,\frac{11}{4})$，横坐标$1＞0$，符合x的取值范围，因此顶点的纵坐标就是水流喷出的最大高度。
【答案】
$\frac{11}{4}$
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的最值、配方法化顶点式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用题，解题关键是将实际问题中的“最大高度”转化为二次函数的最值问题，熟练掌握配方法求二次函数顶点式、二次函数的图像性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题要求水流喷出的最大高度，本质是求给定二次函数在x＞0范围内的最大值。首先观察二次函数解析式，二次项系数为-1＜0，抛物线开口向下，顶点处的y值就是函数的最大值。我们可以通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接得到顶点纵坐标，同时验证顶点横坐标是否满足x＞0的条件，即可求出最大高度。
【解析】
已知水流高度y与水平距离x的函数关系式为$y=-x^2+2x+\frac{7}{4}$（$x＞0$），对解析式进行配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+1+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+\frac{11}{4}\end{aligned}$
可得抛物线顶点坐标为$(1,\frac{11}{4})$，横坐标$1＞0$，符合x的取值范围，因此顶点的纵坐标就是水流喷出的最大高度。
【答案】
$\frac{11}{4}$
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的最值、配方法化顶点式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用题，解题关键是将实际问题中的“最大高度”转化为二次函数的最值问题，熟练掌握配方法求二次函数顶点式、二次函数的图像性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
