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9[2025山东德州中考]在平面直角坐标系中,函数$y=-\frac{1}{|x|}$的图象是（
C
）答案
9. C 【解析】当x＞0时,|x|=x,$y=-\frac{1}{|x|}＜0$,
∴ 此时图象分布在第四象限. 当x＜0时,|x|=-x,$y=-\frac{1}{|x|}＜0$,
∴ 此时图象分布在第三象限. 故选C.
∴ 此时图象分布在第四象限. 当x＜0时,|x|=-x,$y=-\frac{1}{|x|}＜0$,
∴ 此时图象分布在第三象限. 故选C.
解析
【分析】
拿到这道题首先观察函数表达式含有绝对值，解题思路分三步：第一步对x的取值分类讨论，去掉绝对值符号；第二步分别判断x＞0、x＜0两种情况下y的正负，确定图象所在的象限；第三步结合选项排除不符合的情况，即可得到正确答案。
【解析】
判断函数$y=-\frac{1}{|x|}$的图象，分两种情况讨论：
1. 当$x＞0$时，$|x|=x$，代入得$y=-\frac{1}{x}$，由于x为正数，因此$y=-\frac{1}{x}＜0$，此时x正、y负，对应图象在第四象限；
2. 当$x＜0$时，$|x|=-x$（结果为正数），代入得$y=-\frac{1}{|x|}＜0$，此时x负、y负，对应图象在第三象限。
综上，函数图象分布在第三、第四象限，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象，绝对值化简，分类讨论思想
【点评】
本题考查含绝对值的反比例函数图象的判断，核心是利用分类讨论去掉绝对值，结合函数值的正负确定图象所在象限，属于基础性质应用类题目，掌握绝对值性质和反比例函数图象特点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先观察函数表达式含有绝对值，解题思路分三步：第一步对x的取值分类讨论，去掉绝对值符号；第二步分别判断x＞0、x＜0两种情况下y的正负，确定图象所在的象限；第三步结合选项排除不符合的情况，即可得到正确答案。
【解析】
判断函数$y=-\frac{1}{|x|}$的图象，分两种情况讨论：
1. 当$x＞0$时，$|x|=x$，代入得$y=-\frac{1}{x}$，由于x为正数，因此$y=-\frac{1}{x}＜0$，此时x正、y负，对应图象在第四象限；
2. 当$x＜0$时，$|x|=-x$（结果为正数），代入得$y=-\frac{1}{|x|}＜0$，此时x负、y负，对应图象在第三象限。
综上，函数图象分布在第三、第四象限，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象，绝对值化简，分类讨论思想
【点评】
本题考查含绝对值的反比例函数图象的判断，核心是利用分类讨论去掉绝对值，结合函数值的正负确定图象所在象限，属于基础性质应用类题目，掌握绝对值性质和反比例函数图象特点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
10 [2025 山东枣庄中考]如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形。
若函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点B，则满足$y≥2$的x的取值范围为 （
A.$0＜x≤2$
B.$x≥2$
C.$0＜x≤4$
D.$x≥4$
若函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点B，则满足$y≥2$的x的取值范围为 （
A
）A.$0＜x≤2$
B.$x≥2$
C.$0＜x≤4$
D.$x≥4$
答案
10. A 【解析】
∵ 四边形OABC是面积为4的正方形,
∴ 设点B的坐标为(b,b),
∴ $b^2=4$,
∴ b=2,
∴ 点B的坐标为(2,2).
∵ 函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点B,
∴ 满足y≥2的x的取值范围为0＜x≤2,故选A.
∵ 四边形OABC是面积为4的正方形,
∴ 设点B的坐标为(b,b),
∴ $b^2=4$,
∴ b=2,
∴ 点B的坐标为(2,2).
∵ 函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点B,
∴ 满足y≥2的x的取值范围为0＜x≤2,故选A.
解析
【分析】
解题时首先结合正方形的性质分析点B的坐标特征：正方形OABC的邻边OA、OC分别在x轴、y轴上，因此点B的横坐标和纵坐标相等，均等于正方形的边长；再通过正方形面积求出边长，得到点B的坐标；最后利用x＞0时反比例函数的增减性，结合点B的函数值，即可推出y≥2时x的取值范围。
【解析】
∵四边形OABC是面积为4的正方形，
∴设点B的坐标为$(b,b)$（$b＞0$，b为正方形边长），
由正方形面积公式得$b^2=4$，解得$b=2$（边长为正，舍去负解），
∴点B的坐标为$(2,2)$。
将$B(2,2)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$k=2×2=4$，即反比例函数解析式为$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$。
∵$x＞0$时，$y=\dfrac{4}{x}$的函数值y随x的增大而减小，当$y=2$时$x=2$，
∴满足$y≥2$的x的取值范围是$0＜x≤2$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质、正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与正方形性质结合的基础题，解题核心是先确定反比例函数上关键点B的坐标，再利用反比例函数的增减性求解自变量的取值范围，解题时注意x＞0的隐含限制条件。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合正方形的性质分析点B的坐标特征：正方形OABC的邻边OA、OC分别在x轴、y轴上，因此点B的横坐标和纵坐标相等，均等于正方形的边长；再通过正方形面积求出边长，得到点B的坐标；最后利用x＞0时反比例函数的增减性，结合点B的函数值，即可推出y≥2时x的取值范围。
【解析】
∵四边形OABC是面积为4的正方形，
∴设点B的坐标为$(b,b)$（$b＞0$，b为正方形边长），
由正方形面积公式得$b^2=4$，解得$b=2$（边长为正，舍去负解），
∴点B的坐标为$(2,2)$。
将$B(2,2)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$k=2×2=4$，即反比例函数解析式为$y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$。
∵$x＞0$时，$y=\dfrac{4}{x}$的函数值y随x的增大而减小，当$y=2$时$x=2$，
∴满足$y≥2$的x的取值范围是$0＜x≤2$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质、正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与正方形性质结合的基础题，解题核心是先确定反比例函数上关键点B的坐标，再利用反比例函数的增减性求解自变量的取值范围，解题时注意x＞0的隐含限制条件。
【难度系数】
0.8
11[2025贵州中考]如图,一次函数$y=x(x≥0)$与反比例函数$y=\frac{9}{x}(x＞0)$的图象交于点C,过反比例函数图象上点A作x轴垂线,垂足为点D,交$y=x$的图象于点B,点A的横坐标为1.有以下结论:
①线段AB的长为8;
②点C的坐标为$(3,3)$;
③当$x＞3$时,一次函数的值小于反比例函数的值.
其中结论正确的个数是 (
A.0
B.1
C.2
D.3
①线段AB的长为8;
②点C的坐标为$(3,3)$;
③当$x＞3$时,一次函数的值小于反比例函数的值.
其中结论正确的个数是 (
C
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
11. C 【解析】
∵ 点A的横坐标为1,点A在$y=\frac{9}{x}(x＞0)$的图象上,
∴ A(1,9).
∵ 过反比例函数图象上点A作x轴垂线,垂足为点D,交y=x的图象于点B,
∴ B(1,1),
∴ AB=8,故①正确. 联立两表达式得$\begin{cases}y=x,\\y=\frac{9}{x},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=3,\\y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=-3,\\y=-3\end{cases}$(舍去),
∴ 点C的坐标为(3,3),故②正确. 由图象可知,当x＞3时,一次函数的值大于反比例函数的值,故③错误. 故选C.
∵ 点A的横坐标为1,点A在$y=\frac{9}{x}(x＞0)$的图象上,
∴ A(1,9).
∵ 过反比例函数图象上点A作x轴垂线,垂足为点D,交y=x的图象于点B,
∴ B(1,1),
∴ AB=8,故①正确. 联立两表达式得$\begin{cases}y=x,\\y=\frac{9}{x},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=3,\\y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=-3,\\y=-3\end{cases}$(舍去),
∴ 点C的坐标为(3,3),故②正确. 由图象可知,当x＞3时,一次函数的值大于反比例函数的值,故③错误. 故选C.
解析
【分析】
我们需要逐个验证3个结论的正确性：①先根据点A的横坐标和反比例函数解析式求出A点坐标，再由AD垂直x轴可知B点横坐标与A相同，代入一次函数求出B点坐标，两点纵坐标的差就是AB的长度；②求两个函数的交点C，联立两个函数的解析式解方程组，结合x＞0的取值范围确定C点坐标；③判断x＞3时两个函数值的大小，可直接结合图象位置或代入大于3的数值比较即可。
【解析】
1. 验证结论①：
∵点A的横坐标为1，且A在反比例函数$y=\frac{9}{x}(x＞0)$的图象上，将$x=1$代入解析式得$y=\frac{9}{1}=9$，
∴$A(1,9)$。
∵AD垂直x轴，交一次函数$y=x$于点B，
∴B点横坐标也为1，将$x=1$代入$y=x$得$y=1$，
∴$B(1,1)$。
∴$AB=9-1=8$，故①正确。
2. 验证结论②：
联立两个函数的解析式得方程组$\begin{cases}y=x\\y=\frac{9}{x}\end{cases}$，将$y=x$代入$y=\frac{9}{x}$得$x=\frac{9}{x}$，即$x^2=9$，解得$x=3$或$x=-3$。
∵$x＞0$，
∴舍去$x=-3$，此时$y=3$，
∴点C的坐标为$(3,3)$，故②正确。
3. 验证结论③：
观察图象可知，当$x＞3$时，一次函数$y=x$的图象在反比例函数$y=\frac{9}{x}$图象的上方，即此时一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误。
综上，正确的结论为①②，共2个。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数性质，一次函数性质，函数交点求解
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，考查了函数图象上点的坐标特征、函数交点的求解方法以及利用图象比较函数值大小，结合图象分析问题会更直观简便。
【难度系数】
0.7
我们需要逐个验证3个结论的正确性：①先根据点A的横坐标和反比例函数解析式求出A点坐标，再由AD垂直x轴可知B点横坐标与A相同，代入一次函数求出B点坐标，两点纵坐标的差就是AB的长度；②求两个函数的交点C，联立两个函数的解析式解方程组，结合x＞0的取值范围确定C点坐标；③判断x＞3时两个函数值的大小，可直接结合图象位置或代入大于3的数值比较即可。
【解析】
1. 验证结论①：
∵点A的横坐标为1，且A在反比例函数$y=\frac{9}{x}(x＞0)$的图象上，将$x=1$代入解析式得$y=\frac{9}{1}=9$，
∴$A(1,9)$。
∵AD垂直x轴，交一次函数$y=x$于点B，
∴B点横坐标也为1，将$x=1$代入$y=x$得$y=1$，
∴$B(1,1)$。
∴$AB=9-1=8$，故①正确。
2. 验证结论②：
联立两个函数的解析式得方程组$\begin{cases}y=x\\y=\frac{9}{x}\end{cases}$，将$y=x$代入$y=\frac{9}{x}$得$x=\frac{9}{x}$，即$x^2=9$，解得$x=3$或$x=-3$。
∵$x＞0$，
∴舍去$x=-3$，此时$y=3$，
∴点C的坐标为$(3,3)$，故②正确。
3. 验证结论③：
观察图象可知，当$x＞3$时，一次函数$y=x$的图象在反比例函数$y=\frac{9}{x}$图象的上方，即此时一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误。
综上，正确的结论为①②，共2个。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数性质，一次函数性质，函数交点求解
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，考查了函数图象上点的坐标特征、函数交点的求解方法以及利用图象比较函数值大小，结合图象分析问题会更直观简便。
【难度系数】
0.7
12[2025北京中考]如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N(M，N不重合).给出下面四个结论：
①△COM与△CON的面积一定相等；
②△MON与△MCN的面积可能相等；
③△MON一定是锐角三角形；
④△MON可能是等边三角形.
上述结论中，所有正确结论的序号是 (
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
①△COM与△CON的面积一定相等；
②△MON与△MCN的面积可能相等；
③△MON一定是锐角三角形；
④△MON可能是等边三角形.
上述结论中，所有正确结论的序号是 (
B
)A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
答案
12. B 【解析】设点C坐标为(a,b). 由矩形的性质和反比例函数中k的几何意义可知,$S_{△BOC}=S_{△AOC}$,$S_{△BON}=S_{△AOM}=\frac{1}{2}$,
∴ $S_{△CON}=S_{△COM}$,故①正确
. 如图,过点M作MP//x轴,交OC于P,连接NP.∵ C点坐标为(a,b),
∴ M点坐标为$(a,\frac{1}{a})$,N点坐标为$(\frac{1}{b},b)$,直线OC的表达式为$y=\frac{b}{a}x$,
∴ P点坐标为$(\frac{1}{b},\frac{1}{a})$,
∴ PN//y轴,
∴ 易得四边形PNCM为矩形,
∴ $S_{△CMN}=S_{△PMN}$. 若$S_{△OMN}=S_{△CMN}$,则$S_{△OMN}=S_{△PMN}$,
∴ OP//MN或O,P重合.
∵ 点P在OC上,
∴ OP不可能平行于MN.
∵ $\frac{1}{a}≠0,\frac{1}{b}≠0$,
∴ O,P不可能重合,故$S_{△MON}$和$S_{△MCN}$不可能相等,故②错误.
∵ $M(a,\frac{1}{a}),N(\frac{1}{b},b)$,
∴ $OM^2=a^2+\frac{1}{a^2}$,$ON^2=b^2+\frac{1}{b^2}$,$MN^2=(a-\frac{1}{b})^2+(b-\frac{1}{a})^2=a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}-\frac{2a}{b}-\frac{2b}{a}$.
∵ $a＞\frac{1}{b},b＞\frac{1}{a}$,A,B为动点,故可取a=1,b=3,依次代入可得$OM^2=2$,$ON^2=\frac{82}{9}$,$MN^2=\frac{40}{9}$.
∵ $OM^2+MN^2＜ON^2$,
∴ △OMN为钝角三角形,故③错误. 由题意可知,若△MON为等边三角形,则OM=ON=MN,
∴ $OM^2=ON^2$,即$a^2+\frac{1}{a^2}=b^2+\frac{1}{b^2}$,解得a=b或$a=\frac{1}{b}$(舍去). 当a=b时,
∵ $OM^2=MN^2$,
∴ $b^2+\frac{1}{b^2}=4$,解得$b^2=2+\sqrt{3}$或$b^2=2-\sqrt{3}$(不合题意,舍去),
∴ $b=\sqrt{2+\sqrt{3}}$,故存在当$a=b=\sqrt{2+\sqrt{3}}$时,△MON为等边三角形,故④正确. 故选B.
解析
【分析】
本题是反比例函数与矩形结合的综合判断题，解题可按以下思路展开：首先设出点C的坐标，用参数表示出反比例函数图象上M、N两点的坐标；再结合对应性质逐一验证4个结论：①利用反比例函数k的几何意义计算两个三角形面积即可判断；②分别表示出两个三角形的面积，列方程判断是否存在符合条件的参数解；③可通过举反例，计算三角形三边平方，用勾股定理逆定理判断三角形形状；④假设三角形为等边三角形，根据三边相等列方程，验证是否存在正参数解即可。
【解析】
设点$C$坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$），由矩形$OACB$的性质可得：点$M$在边$AC$上，横坐标为$a$，代入$y=\frac{1}{x}$得$M(a,\frac{1}{a})$；点$N$在边$BC$上，纵坐标为$b$，代入$y=\frac{1}{x}$得$N(\frac{1}{b},b)$。
1. 验证结论①：
由反比例函数$k$的几何意义可知，$S_{△ BON}=S_{△ AOM}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}$，又$S_{△ BOC}=S_{△ AOC}=\frac{1}{2}ab$，
因此$S_{△ CON}=S_{△ BOC}-S_{△ BON}=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}$，$S_{△ COM}=S_{△ AOC}-S_{△ AOM}=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}$，
可得$S_{△ COM}=S_{△ CON}$，故①正确。
2. 验证结论②：
$△ MCN$的面积为$S_{△ MCN}=\frac{1}{2}· CM· CN=\frac{1}{2}(a-\frac{1}{b})(b-\frac{1}{a})$，
矩形$OACB$的面积为$ab$，因此$△ MON$的面积为：
$S_{△ MON}=ab - S_{△ AOM} - S_{△ BON} - S_{△ MCN}=ab - 1 - \frac{1}{2}(a-\frac{1}{b})(b-\frac{1}{a})$，
若$S_{△ MON}=S_{△ MCN}$，则$ab - 1 - \frac{1}{2}(a-\frac{1}{b})(b-\frac{1}{a})=\frac{1}{2}(a-\frac{1}{b})(b-\frac{1}{a})$，
整理得$ab - 1 = ab - 2 + \frac{1}{ab}$，化简得$ab=1$，此时$a=\frac{1}{b}$，点$M$、$N$重合，不符合题意，因此$S_{△ MON}$与$S_{△ MCN}$不可能相等，故②错误。
3. 验证结论③：
取$a=1,b=3$，此时$M(1,1)$，$N(\frac{1}{3},3)$，计算三边平方：
$OM^2=1^2+1^2=2$，$ON^2=(\frac{1}{3})^2+3^2=\frac{82}{9}$，$MN^2=(1-\frac{1}{3})^2+(1-3)^2=\frac{40}{9}$，
因为$OM^2+MN^2=\frac{58}{9}＜\frac{82}{9}=ON^2$，由勾股定理逆定理可知此时$△ MON$为钝角三角形，故③错误。
4. 验证结论④：
若$△ MON$为等边三角形，则$OM=ON=MN$。
先由$OM^2=ON^2$得：$a^2+\frac{1}{a^2}=b^2+\frac{1}{b^2}$，整理得$(a^2-b^2)(1-\frac{1}{a^2b^2})=0$，解得$a=b$或$ab=1$（$ab=1$时$M$、$N$重合，舍去）。
当$a=b$时，$MN^2=2(a-\frac{1}{a})^2$，令$OM^2=MN^2$，即$a^2+\frac{1}{a^2}=2(a^2 - 2 + \frac{1}{a^2})$，
化简得$a^2+\frac{1}{a^2}=4$，解得$a^2=2+\sqrt{3}$或$a^2=2-\sqrt{3}$，均为正数，存在符合条件的$a$值，因此$△ MON$可能是等边三角形，故④正确。
综上，正确结论为①④，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，矩形的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题综合考查反比例函数与平面几何的结合，需要熟练运用坐标法表示点坐标、计算线段长度和图形面积，既可以通过举反例快速排除错误结论，也可以通过方程思想验证结论的成立性，对学生的综合分析能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
本题是反比例函数与矩形结合的综合判断题，解题可按以下思路展开：首先设出点C的坐标，用参数表示出反比例函数图象上M、N两点的坐标；再结合对应性质逐一验证4个结论：①利用反比例函数k的几何意义计算两个三角形面积即可判断；②分别表示出两个三角形的面积，列方程判断是否存在符合条件的参数解；③可通过举反例，计算三角形三边平方，用勾股定理逆定理判断三角形形状；④假设三角形为等边三角形，根据三边相等列方程，验证是否存在正参数解即可。
【解析】
设点$C$坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$），由矩形$OACB$的性质可得：点$M$在边$AC$上，横坐标为$a$，代入$y=\frac{1}{x}$得$M(a,\frac{1}{a})$；点$N$在边$BC$上，纵坐标为$b$，代入$y=\frac{1}{x}$得$N(\frac{1}{b},b)$。
1. 验证结论①：
由反比例函数$k$的几何意义可知，$S_{△ BON}=S_{△ AOM}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}$，又$S_{△ BOC}=S_{△ AOC}=\frac{1}{2}ab$，
因此$S_{△ CON}=S_{△ BOC}-S_{△ BON}=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}$，$S_{△ COM}=S_{△ AOC}-S_{△ AOM}=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}$，
可得$S_{△ COM}=S_{△ CON}$，故①正确
。2. 验证结论②：
$△ MCN$的面积为$S_{△ MCN}=\frac{1}{2}· CM· CN=\frac{1}{2}(a-\frac{1}{b})(b-\frac{1}{a})$，
矩形$OACB$的面积为$ab$，因此$△ MON$的面积为：
$S_{△ MON}=ab - S_{△ AOM} - S_{△ BON} - S_{△ MCN}=ab - 1 - \frac{1}{2}(a-\frac{1}{b})(b-\frac{1}{a})$，
若$S_{△ MON}=S_{△ MCN}$，则$ab - 1 - \frac{1}{2}(a-\frac{1}{b})(b-\frac{1}{a})=\frac{1}{2}(a-\frac{1}{b})(b-\frac{1}{a})$，
整理得$ab - 1 = ab - 2 + \frac{1}{ab}$，化简得$ab=1$，此时$a=\frac{1}{b}$，点$M$、$N$重合，不符合题意，因此$S_{△ MON}$与$S_{△ MCN}$不可能相等，故②错误。
3. 验证结论③：
取$a=1,b=3$，此时$M(1,1)$，$N(\frac{1}{3},3)$，计算三边平方：
$OM^2=1^2+1^2=2$，$ON^2=(\frac{1}{3})^2+3^2=\frac{82}{9}$，$MN^2=(1-\frac{1}{3})^2+(1-3)^2=\frac{40}{9}$，
因为$OM^2+MN^2=\frac{58}{9}＜\frac{82}{9}=ON^2$，由勾股定理逆定理可知此时$△ MON$为钝角三角形，故③错误。
4. 验证结论④：
若$△ MON$为等边三角形，则$OM=ON=MN$。
先由$OM^2=ON^2$得：$a^2+\frac{1}{a^2}=b^2+\frac{1}{b^2}$，整理得$(a^2-b^2)(1-\frac{1}{a^2b^2})=0$，解得$a=b$或$ab=1$（$ab=1$时$M$、$N$重合，舍去）。
当$a=b$时，$MN^2=2(a-\frac{1}{a})^2$，令$OM^2=MN^2$，即$a^2+\frac{1}{a^2}=2(a^2 - 2 + \frac{1}{a^2})$，
化简得$a^2+\frac{1}{a^2}=4$，解得$a^2=2+\sqrt{3}$或$a^2=2-\sqrt{3}$，均为正数，存在符合条件的$a$值，因此$△ MON$可能是等边三角形，故④正确。
综上，正确结论为①④，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，矩形的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题综合考查反比例函数与平面几何的结合，需要熟练运用坐标法表示点坐标、计算线段长度和图形面积，既可以通过举反例快速排除错误结论，也可以通过方程思想验证结论的成立性，对学生的综合分析能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
13[2025山东潍坊中考]如图(1),点$A_1(x_1,y_1)$是函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$图象上任意一点,过$A_1$向y轴作垂线交y轴于点$B_1$,向x轴作垂线交x轴于点$C_1$,矩形$A_1B_1OC_1$的周长$L_1=2(A_1B_1+A_1C_1)=2(x_1+y_1)=2(x_1+\frac{1}{x_1})$,当$x_1=\frac{1}{x_1}$时,$L_1$有最小值4;如图(2),点$A_2(x_2,y_2)$是函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$图象上任意一点,同样作矩形$A_2B_2OC_2$,它的周长$L_2=2(x_2+\frac{2}{x_2})$,同理得$L_2$的最小值为$4\sqrt{2}$;…;点$A_n(x_n,y_n)$是函数$y=\frac{n}{x}(x＞0,n为正整数)$图象上任意一点,作矩形$A_nB_nOC_n$,它的周长为$L_n$,则$L_n$的最小值为
$4\sqrt{n}$
.答案
13. $4\sqrt{n}$ 【解析】由题意得$L_1=2(x_1+\frac{1}{x_1})$,当$x_1=\frac{1}{x_1}$时,$L_1$有最小值$4=4\sqrt{1}$; $L_2=2(x_2+\frac{2}{x_2})$,当$x_2=\frac{2}{x_2}$时,$L_2$有最小值$4\sqrt{2}$; $L_3=2(x_3+\frac{3}{x_3})$,当$x_3=\frac{3}{x_3}$时,$L_3$有最小值$4\sqrt{3}$;…;$L_n=2(x_n+\frac{n}{x_n})$,当$x_n=\frac{n}{x_n}$时,$L_n$有最小值$4\sqrt{n}$,故答案为$4\sqrt{n}$.
解析
【分析】
本题是结合反比例函数的规律探究题，解题思路如下：首先观察题干给出的n=1、n=2时矩形周长最小值的推导过程，总结通用的最值获取条件；再写出第n个矩形的周长表达式，参照给出的最值条件代入计算，即可推导出Lₙ的最小值。
【解析】
由题意可知，点Aₙ在函数$y=\frac{n}{x}$（$x＞0$）上，因此矩形$A_nB_nOC_n$的周长$L_n=2(x_n+\frac{n}{x_n})$。
根据题干给出的规律，当$x_n = \frac{n}{x_n}$时，$L_n$取得最小值。
因为$x_n＞0$，解方程$x_n = \frac{n}{x_n}$得$x_n^2=n$，即$x_n=\sqrt{n}$。
将$x_n=\sqrt{n}$代入周长表达式：
$x_n + \frac{n}{x_n} = \sqrt{n} + \frac{n}{\sqrt{n}} = \sqrt{n} + \sqrt{n} = 2\sqrt{n}$
因此$L_n$的最小值为$2×2\sqrt{n}=4\sqrt{n}$。
【答案】
$4\sqrt{n}$
【知识点】
规律探究，反比例函数的应用，代数式求值
【点评】
本题侧重考查归纳总结能力与知识迁移能力，题干已经给出前两种情况的推导方法，只需将方法迁移到第n个的情形即可，整体计算量小，掌握规律探究的通用方法就能快速解题。
【难度系数】
0.7
本题是结合反比例函数的规律探究题，解题思路如下：首先观察题干给出的n=1、n=2时矩形周长最小值的推导过程，总结通用的最值获取条件；再写出第n个矩形的周长表达式，参照给出的最值条件代入计算，即可推导出Lₙ的最小值。
【解析】
由题意可知，点Aₙ在函数$y=\frac{n}{x}$（$x＞0$）上，因此矩形$A_nB_nOC_n$的周长$L_n=2(x_n+\frac{n}{x_n})$。
根据题干给出的规律，当$x_n = \frac{n}{x_n}$时，$L_n$取得最小值。
因为$x_n＞0$，解方程$x_n = \frac{n}{x_n}$得$x_n^2=n$，即$x_n=\sqrt{n}$。
将$x_n=\sqrt{n}$代入周长表达式：
$x_n + \frac{n}{x_n} = \sqrt{n} + \frac{n}{\sqrt{n}} = \sqrt{n} + \sqrt{n} = 2\sqrt{n}$
因此$L_n$的最小值为$2×2\sqrt{n}=4\sqrt{n}$。
【答案】
$4\sqrt{n}$
【知识点】
规律探究，反比例函数的应用，代数式求值
【点评】
本题侧重考查归纳总结能力与知识迁移能力，题干已经给出前两种情况的推导方法，只需将方法迁移到第n个的情形即可，整体计算量小，掌握规律探究的通用方法就能快速解题。
【难度系数】
0.7
14 新考向跨学科综合 [2025江苏连云港中考]某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强$p(\mathrm{Pa})$是气球体积$V(\mathrm{m}^3)$的反比例函数. 当$V=1.2\ \mathrm{m}^3$时，$p=20\ 000\ \mathrm{Pa}$. 则当$V=1.5\ \mathrm{m}^3$时，$p=\_\_\_\_\_\_\mathrm{Pa}$.
答案
14. 16 000 【解析】设p与V之间的函数关系式为$p=\frac{k}{V}$(k为常数,且k≠0). 将V=1.2,p=20 000代入,得$20000=\frac{k}{1.2}$,解得k=24000,
∴ p与V之间的函数关系式为$p=\frac{24000}{V}$,
∴ 当V=1.5 m³时,$p=\frac{24000}{1.5}=16000$(Pa). 故答案为16 000.
∴ p与V之间的函数关系式为$p=\frac{24000}{V}$,
∴ 当V=1.5 m³时,$p=\frac{24000}{1.5}=16000$(Pa). 故答案为16 000.
解析
【分析】
首先根据题目中“p是V的反比例函数”的描述，设出反比例函数的一般形式；再将已知的V、p对应值代入函数式，利用待定系数法求出常数k，得到p与V的确定函数关系式；最后将V=1.5代入所得函数式，计算即可求出对应的p值。
【解析】
设p与V之间的函数关系式为$p=\frac{k}{V}$（k为常数，且$k\ne0$）。
将$V=1.2\ \mathrm{m}^3$，$p=20000\ \mathrm{Pa}$代入上式，得$20000=\frac{k}{1.2}$，
解得$k=20000×1.2=24000$，
所以p与V的函数关系式为$p=\frac{24000}{V}$。
当$V=1.5\ \mathrm{m}^3$时，代入得$p=\frac{24000}{1.5}=16000$（Pa）。
【答案】
16000
【知识点】
反比例函数概念；待定系数法；函数值计算
【点评】
本题为跨学科综合题，结合物理中气体压强的相关知识考查反比例函数的实际应用，核心考查待定系数法的运用，解题思路清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
首先根据题目中“p是V的反比例函数”的描述，设出反比例函数的一般形式；再将已知的V、p对应值代入函数式，利用待定系数法求出常数k，得到p与V的确定函数关系式；最后将V=1.5代入所得函数式，计算即可求出对应的p值。
【解析】
设p与V之间的函数关系式为$p=\frac{k}{V}$（k为常数，且$k\ne0$）。
将$V=1.2\ \mathrm{m}^3$，$p=20000\ \mathrm{Pa}$代入上式，得$20000=\frac{k}{1.2}$，
解得$k=20000×1.2=24000$，
所以p与V的函数关系式为$p=\frac{24000}{V}$。
当$V=1.5\ \mathrm{m}^3$时，代入得$p=\frac{24000}{1.5}=16000$（Pa）。
【答案】
16000
【知识点】
反比例函数概念；待定系数法；函数值计算
【点评】
本题为跨学科综合题，结合物理中气体压强的相关知识考查反比例函数的实际应用，核心考查待定系数法的运用，解题思路清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
