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10[2025江苏南京质检]如图,某药剂在空气中的浓度$y(\mathrm{mg/m}^3)$与时间$x(\mathrm{min})$之间先满足正比例函数的关系,再满足反比例函数的关系,且当$x=12$时,$y$有最大值,最大值为$a$,则当$y=\frac{2}{3}a$时,$x$的值是
8或18
.答案
10. 8或18 【解析】设正比例函数的表达式为$y=k_1x$,则$a=12k_1$,解得$k_1=\frac{a}{12}$,
∴ 正比例函数的表达式为$y=\frac{a}{12}x$. 设反比例函数的表达式为$y=\frac{k_2}{x}$,则$a=\frac{k_2}{12}$,解得$k_2=12a$,
∴ 反比例函数的表达式为$y=\frac{12a}{x}$. 当x≤12时,把$y=\frac{2}{3}a$代入$y=\frac{a}{12}x$,得$\frac{a}{12}x=\frac{2}{3}a$,解得x=8. 当x＞12时,把$y=\frac{2}{3}a$代入$y=\frac{12a}{x}$,得$\frac{12a}{x}=\frac{2}{3}a$,解得x=18. 综上,当$y=\frac{2}{3}a$时,x的值是8或18. 故答案为8或18.
∴ 正比例函数的表达式为$y=\frac{a}{12}x$. 设反比例函数的表达式为$y=\frac{k_2}{x}$,则$a=\frac{k_2}{12}$,解得$k_2=12a$,
∴ 反比例函数的表达式为$y=\frac{12a}{x}$. 当x≤12时,把$y=\frac{2}{3}a$代入$y=\frac{a}{12}x$,得$\frac{a}{12}x=\frac{2}{3}a$,解得x=8. 当x＞12时,把$y=\frac{2}{3}a$代入$y=\frac{12a}{x}$,得$\frac{12a}{x}=\frac{2}{3}a$,解得x=18. 综上,当$y=\frac{2}{3}a$时,x的值是8或18. 故答案为8或18.
解析
【分析】
本题是分段函数的实际应用问题，0≤x≤12时函数为正比例函数，x＞12时为反比例函数，两段函数的交点为(12,a)。解题时首先需要利用交点坐标分别求出两段函数的解析式，再分x≤12和x＞12两种情况，将$y=\frac{2}{3}a$代入对应解析式求解x，最后验证x是否符合对应分段的取值范围即可。
【解析】
当$0≤x≤12$时，设正比例函数解析式为$y = k_1x$（$k_1≠0$），
将点$(12,a)$代入得：$a = 12k_1$，解得$k_1 = \frac{a}{12}$，
∴正比例函数解析式为$y = \frac{a}{12}x$。
当$x＞12$时，设反比例函数解析式为$y = \frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$），
将点$(12,a)$代入得：$a = \frac{k_2}{12}$，解得$k_2 = 12a$，
∴反比例函数解析式为$y = \frac{12a}{x}$。
分两种情况讨论：
①当$0≤x≤12$时，把$y=\frac{2}{3}a$代入$y = \frac{a}{12}x$，得：
$\frac{a}{12}x = \frac{2}{3}a$，a≠0，两边同时除以a，解得$x=8$，符合$0≤8≤12$的范围；
②当$x＞12$时，把$y=\frac{2}{3}a$代入$y = \frac{12a}{x}$，得：
$\frac{12a}{x} = \frac{2}{3}a$，a≠0，两边同时除以a，解得$x=18$，符合$18＞12$的范围。
综上，x的值为8或18。
【答案】
8或18
【知识点】
正比例函数解析式求解；反比例函数解析式求解；分段函数求值
【点评】
本题结合实际场景考查正反比例函数的综合应用，解题核心是先根据公共交点求出两段函数的解析式，再结合自变量的取值范围分情况讨论求解，注意不要忽略取值范围导致漏解。
【难度系数】
0.7
本题是分段函数的实际应用问题，0≤x≤12时函数为正比例函数，x＞12时为反比例函数，两段函数的交点为(12,a)。解题时首先需要利用交点坐标分别求出两段函数的解析式，再分x≤12和x＞12两种情况，将$y=\frac{2}{3}a$代入对应解析式求解x，最后验证x是否符合对应分段的取值范围即可。
【解析】
当$0≤x≤12$时，设正比例函数解析式为$y = k_1x$（$k_1≠0$），
将点$(12,a)$代入得：$a = 12k_1$，解得$k_1 = \frac{a}{12}$，
∴正比例函数解析式为$y = \frac{a}{12}x$。
当$x＞12$时，设反比例函数解析式为$y = \frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$），
将点$(12,a)$代入得：$a = \frac{k_2}{12}$，解得$k_2 = 12a$，
∴反比例函数解析式为$y = \frac{12a}{x}$。
分两种情况讨论：
①当$0≤x≤12$时，把$y=\frac{2}{3}a$代入$y = \frac{a}{12}x$，得：
$\frac{a}{12}x = \frac{2}{3}a$，a≠0，两边同时除以a，解得$x=8$，符合$0≤8≤12$的范围；
②当$x＞12$时，把$y=\frac{2}{3}a$代入$y = \frac{12a}{x}$，得：
$\frac{12a}{x} = \frac{2}{3}a$，a≠0，两边同时除以a，解得$x=18$，符合$18＞12$的范围。
综上，x的值为8或18。
【答案】
8或18
【知识点】
正比例函数解析式求解；反比例函数解析式求解；分段函数求值
【点评】
本题结合实际场景考查正反比例函数的综合应用，解题核心是先根据公共交点求出两段函数的解析式，再结合自变量的取值范围分情况讨论求解，注意不要忽略取值范围导致漏解。
【难度系数】
0.7
11 已知抛物线$y=x^2-2ax$与x轴交于点A,B(点B在x轴正半轴上),且AB=4.
(1)此抛物线的顶点坐标为
(2)若点P(m,n)为抛物线上一动点,作$PQ ⊥ x$轴,交一次函数$y=kx-4(k＞0)$的图象于点Q,当$1＜m＜4$时,PQ的长度随m的增大而增大,则k的取值范围是
(1)此抛物线的顶点坐标为
$(2,-4)$
;(2)若点P(m,n)为抛物线上一动点,作$PQ ⊥ x$轴,交一次函数$y=kx-4(k＞0)$的图象于点Q,当$1＜m＜4$时,PQ的长度随m的增大而增大,则k的取值范围是
$k≥4$
.答案
11. (1)$(2,-4)$ (2)$k≥4$ 【解析】(1)令y=0,则$x^2-2ax=0$,解得x=0或2a.
∵ 点B在x轴正半轴上,
∴ A(0,0),B(2a,0),
∴ AB=2a=4,
∴ a=2,
∴ 抛物线的表达式为$y=x^2-4x$.
∵ $y=x^2-4x=(x-2)^2-4$,
∴ 抛物线的顶点坐标为(2,-4),故答案为(2,-4). (2)由(1)得B(4,0). 一次函数y=kx-4(k＞0)图象过点B时,4k-4=0,解得k=1. 此时一次函数与二次函数的图象的另一个交点为(1,-3). 由P(m,n),得Q(m,mk-4). 当k≥1时,如图(1)
,此时PQ=mk-4-n=mk-4-m²+4m=-m²+(4+k)m-4,∴ 上述函数图象的对称轴为直线$m=-\frac{4+k}{2×(-1)}=\frac{4+k}{2}$.
∵ 当1＜m＜4时,PQ的长度随m的增大而增大,
∴ $\frac{4+k}{2}≥4$,解得k≥4. 当0＜k＜1时,如图(2)
,此时PQ=|m²-4m-mk+4|=|m²-(4+k)m+4|,当PQ=-m²+(4+k)m-4时,易知不符合题意; 当PQ=m²-(4+k)m+4时,此时该函数图象的对称轴为直线$m=-\frac{-(4+k)}{2}=\frac{4+k}{2}$.∵ 当1＜m＜4时,PQ的长度随m的增大而增大,
∴ $\frac{4+k}{2}≤1$,
∴ k≤-2,不符合题意,舍去,故答案为k≥4.
解析
【分析】
(1) 先令抛物线解析式中y=0，求出与x轴的交点A、B的坐标，结合AB=4且点B在x轴正半轴的条件求出a的值，再将抛物线解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标。
(2) 先写出P、Q两点的坐标，分$k≥1$和$0＜k＜1$两种情况讨论：PQ的长度为两点纵坐标差的绝对值，将PQ表示为关于m的二次函数，结合二次函数的增减性，若$1＜m＜4$时PQ随m增大而增大，说明给定区间在二次函数图象的递增区间内，据此列不等式求解，最后结合$k＞0$的条件筛选符合要求的k的范围。
【解析】
(1) 令$y=0$，则$x^2-2ax=0$，因式分解得$x(x-2a)=0$，解得$x=0$或$x=2a$。
∵点B在x轴正半轴上，
∴$A(0,0)$，$B(2a,0)$，
∴$AB=2a-0=4$，解得$a=2$。
∴抛物线的解析式为$y=x^2-4x$，配方得$y=(x-2)^2-4$，
∴抛物线的顶点坐标为$(2,-4)$。
(2) 由(1)得$B(4,0)$，当一次函数$y=kx-4(k＞0)$的图象过点B时，代入得$4k-4=0$，解得$k=1$，此时一次函数与二次函数图象的另一个交点为$(1,-3)$。
已知点$P(m,n)$在抛物线上，故$n=m^2-4m$，点Q在一次函数图象上且横坐标为m，故$Q(m,mk-4)$。
① 当$k≥1$时，如图(1)，此区间内一次函数图象位于抛物线上方，故$PQ=mk-4 - (m^2-4m)=-m^2+(4+k)m-4$。
该二次函数开口向下，对称轴为直线$m=\frac{4+k}{2}$，要使$1＜m＜4$时PQ随m增大而增大，需该区间在对称轴左侧，即$\frac{4+k}{2}≥4$，解得$k≥4$，符合$k≥1$的条件。
② 当$0＜k＜1$时，如图(2)，此时$PQ=|m^2-4m - (mk-4)|=|m^2-(4+k)m+4|$：
若$PQ=-m^2+(4+k)m-4$，开口向下，要使$1＜m＜4$时递增，需$\frac{4+k}{2}≥4$，解得$k≥4$，与$0＜k＜1$矛盾，舍去；
若$PQ=m^2-(4+k)m+4$，开口向上，要使$1＜m＜4$时递增，需该区间在对称轴右侧，即$\frac{4+k}{2}≤1$，解得$k≤-2$，与$k＞0$矛盾，舍去。
综上，k的取值范围是$k≥4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,-4)}$
(2) $\boldsymbol{k≥4}$
【知识点】
二次函数的性质，一次函数图象，二次函数的增减性
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，解题时需要结合函数图象特征分类讨论，重点考查了二次函数顶点坐标求解、增减性与对称轴的关系，渗透了数形结合和分类讨论的数学思想，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
(1) 先令抛物线解析式中y=0，求出与x轴的交点A、B的坐标，结合AB=4且点B在x轴正半轴的条件求出a的值，再将抛物线解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标。
(2) 先写出P、Q两点的坐标，分$k≥1$和$0＜k＜1$两种情况讨论：PQ的长度为两点纵坐标差的绝对值，将PQ表示为关于m的二次函数，结合二次函数的增减性，若$1＜m＜4$时PQ随m增大而增大，说明给定区间在二次函数图象的递增区间内，据此列不等式求解，最后结合$k＞0$的条件筛选符合要求的k的范围。
【解析】
(1) 令$y=0$，则$x^2-2ax=0$，因式分解得$x(x-2a)=0$，解得$x=0$或$x=2a$。
∵点B在x轴正半轴上，
∴$A(0,0)$，$B(2a,0)$，
∴$AB=2a-0=4$，解得$a=2$。
∴抛物线的解析式为$y=x^2-4x$，配方得$y=(x-2)^2-4$，
∴抛物线的顶点坐标为$(2,-4)$。
(2) 由(1)得$B(4,0)$，当一次函数$y=kx-4(k＞0)$的图象过点B时，代入得$4k-4=0$，解得$k=1$，此时一次函数与二次函数图象的另一个交点为$(1,-3)$。
已知点$P(m,n)$在抛物线上，故$n=m^2-4m$，点Q在一次函数图象上且横坐标为m，故$Q(m,mk-4)$。
① 当$k≥1$时，如图(1)
，此区间内一次函数图象位于抛物线上方，故$PQ=mk-4 - (m^2-4m)=-m^2+(4+k)m-4$。该二次函数开口向下，对称轴为直线$m=\frac{4+k}{2}$，要使$1＜m＜4$时PQ随m增大而增大，需该区间在对称轴左侧，即$\frac{4+k}{2}≥4$，解得$k≥4$，符合$k≥1$的条件。
② 当$0＜k＜1$时，如图(2)
，此时$PQ=|m^2-4m - (mk-4)|=|m^2-(4+k)m+4|$：若$PQ=-m^2+(4+k)m-4$，开口向下，要使$1＜m＜4$时递增，需$\frac{4+k}{2}≥4$，解得$k≥4$，与$0＜k＜1$矛盾，舍去；
若$PQ=m^2-(4+k)m+4$，开口向上，要使$1＜m＜4$时递增，需该区间在对称轴右侧，即$\frac{4+k}{2}≤1$，解得$k≤-2$，与$k＞0$矛盾，舍去。
综上，k的取值范围是$k≥4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,-4)}$
(2) $\boldsymbol{k≥4}$
【知识点】
二次函数的性质，一次函数图象，二次函数的增减性
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，解题时需要结合函数图象特征分类讨论，重点考查了二次函数顶点坐标求解、增减性与对称轴的关系，渗透了数形结合和分类讨论的数学思想，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
三、解答题(本大题共3小题,共45分)
12 如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象与直线$y=3x$相交于点 C,过直线上点$A(1,3)$作$AB⊥x$轴于点 B,交反比例函数图象于点 D,且$AB=3BD$.
(1)求$k$的值.
(2)在$y$轴上确定一点$M$,使点$M$到$A,B$两点距离之和$d = MA + MB$最小,求点$M$的坐标.
12 如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象与直线$y=3x$相交于点 C,过直线上点$A(1,3)$作$AB⊥x$轴于点 B,交反比例函数图象于点 D,且$AB=3BD$.
(1)求$k$的值.
(2)在$y$轴上确定一点$M$,使点$M$到$A,B$两点距离之和$d = MA + MB$最小,求点$M$的坐标.
答案
12.【解】(1)
∵ A(1,3),AB⊥x轴,
∴ AB=3,OB=1.
∵ AB=3BD,
∴ BD=1,
∴ D(1,1). 将点D坐标代入反比例函数表达式得k=1.
(2)
∵ OB=1,
∴ B(1,0). 如图,作点B(1,0)关于y轴的对称点E(-1,0),连接AE交y轴于点M,此时d=MA+MB最小,d=MA+MB=MA+ME=AE
. 设直线AE的表达式为y=mx+b(m≠0),则$\begin{cases}3=m+b,\\0=-m+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=\frac{3}{2},\\b=\frac{3}{2},\end{cases}$ 故AE的表达式为$y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$. 当x=0时,$y=\frac{3}{2}$,故点M的坐标为$(0,\frac{3}{2})$.解析
【分析】
(1) 求k值需要先得到反比例函数图象上某一点的坐标：已知点A坐标，结合AB垂直x轴的条件可先得到AB、OB的长度，再根据AB=3BD算出BD的长度，得到D点坐标后，将其代入反比例函数解析式即可求出k。
(2) 本题属于轴对称最短路径问题：要在y轴上找M使MA+MB最小，可作点B关于y轴的对称点E，根据轴对称性质可知MB=ME，因此MA+MB=MA+ME，当A、M、E三点共线时距离和最小，求出直线AE的解析式，再计算直线AE与y轴的交点即为点M的坐标。
【解析】
(1) $\because$ 点$A(1,3)$，$AB⊥ x$轴，
$\therefore AB=3$，$OB=1$。
$\because AB=3BD$，
$\therefore BD=1$，
$\therefore D(1,1)$。将点D坐标代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{1}$，解得$k=1$。
(2) $\because OB=1$，
$\therefore B(1,0)$。如图，作点$B(1,0)$关于y轴的对称点$E(-1,0)$，连接AE交y轴于点M，此时$d=MA+MB$最小，$d=MA+MB=MA+ME=AE$。
设直线AE的表达式为$y=mx+b(m\ne0)$，将$A(1,3)$、$E(-1,0)$代入得：
$\begin{cases}3=m+b\\0=-m+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\frac{3}{2}\\b=\frac{3}{2}\end{cases}$，
故AE的表达式为$y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$。
当$x=0$时，$y=\frac{3}{2}$，即点M的坐标为$(0,\frac{3}{2})$。
【答案】
(1) $k=1$
(2) $M(0,\frac{3}{2})$，此时$d=MA+MB=MA+ME=AE$
【知识点】
反比例函数解析式求解，轴对称最短路径，一次函数解析式确定
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，第一问较为基础，考查函数图象上点的坐标与解析式的对应关系；第二问考查最短路径的常规解法，需要掌握对称法转化线段和的思路，整体难度适中，是函数部分的常见题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求k值需要先得到反比例函数图象上某一点的坐标：已知点A坐标，结合AB垂直x轴的条件可先得到AB、OB的长度，再根据AB=3BD算出BD的长度，得到D点坐标后，将其代入反比例函数解析式即可求出k。
(2) 本题属于轴对称最短路径问题：要在y轴上找M使MA+MB最小，可作点B关于y轴的对称点E，根据轴对称性质可知MB=ME，因此MA+MB=MA+ME，当A、M、E三点共线时距离和最小，求出直线AE的解析式，再计算直线AE与y轴的交点即为点M的坐标。
【解析】
(1) $\because$ 点$A(1,3)$，$AB⊥ x$轴，
$\therefore AB=3$，$OB=1$。
$\because AB=3BD$，
$\therefore BD=1$，
$\therefore D(1,1)$。将点D坐标代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{1}$，解得$k=1$。
(2) $\because OB=1$，
$\therefore B(1,0)$。如图，作点$B(1,0)$关于y轴的对称点$E(-1,0)$，连接AE交y轴于点M，此时$d=MA+MB$最小，$d=MA+MB=MA+ME=AE$
。设直线AE的表达式为$y=mx+b(m\ne0)$，将$A(1,3)$、$E(-1,0)$代入得：
$\begin{cases}3=m+b\\0=-m+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\frac{3}{2}\\b=\frac{3}{2}\end{cases}$，
故AE的表达式为$y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$。
当$x=0$时，$y=\frac{3}{2}$，即点M的坐标为$(0,\frac{3}{2})$。
【答案】
(1) $k=1$
(2) $M(0,\frac{3}{2})$，此时$d=MA+MB=MA+ME=AE$
【知识点】
反比例函数解析式求解，轴对称最短路径，一次函数解析式确定
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，第一问较为基础，考查函数图象上点的坐标与解析式的对应关系；第二问考查最短路径的常规解法，需要掌握对称法转化线段和的思路，整体难度适中，是函数部分的常见题型。
【难度系数】
0.7
13[2026安徽六安校级质检]已知抛物线$y=ax^2+6x$的顶点纵坐标比抛物线$y=x^2-2x$的顶点纵坐标小8.
(1)求$a$的值.
(2)点$M(m,n)$在抛物线$y=x^2-2x$上,点$N(m+t,n+h)$在抛物线$y=ax^2+6x$上.
①若$m=t+1$,求$h$的最小值;
②若$h-2t=0$,且$m≤0,t＜0$,求$h$的值.
(1)求$a$的值.
(2)点$M(m,n)$在抛物线$y=x^2-2x$上,点$N(m+t,n+h)$在抛物线$y=ax^2+6x$上.
①若$m=t+1$,求$h$的最小值;
②若$h-2t=0$,且$m≤0,t＜0$,求$h$的值.
答案
13.【解】(1)抛物线$y=ax^2+6x$的对称轴为直线$x=-\frac{6}{2a}=-\frac{3}{a}$,把$x=-\frac{3}{a}$代入$y=ax^2+6x$,得$y=a(-\frac{3}{a})^2+6×(-\frac{3}{a})=-\frac{9}{a}$,
∴ 函数$y=ax^2+6x$顶点的纵坐标为$-\frac{9}{a}$. 抛物线$y=x^2-2x$的对称轴为直线$x=-\frac{-2}{2}=1$,把x=1代入$y=x^2-2x$,得y=-1,
∴ 抛物线$y=x^2-2x$顶点的纵坐标为-1,
∴ $-\frac{9}{a}=-1-8$,
∴ a=1.
(2)
∵ 点M(m,n)在抛物线$y=x^2-2x$上,
∴ $n=m^2-2m$.
∵ N(m+t,n+h)在抛物线$y=x^2+6x$上,
∴ $n+h=(m+t)^2+6(m+t)$,
∴ $m^2-2m+h=m^2+2mt+t^2+6m+6t$,
∴ $h=t^2+2mt+6t+8m$.
①将m=t+1代入$h=t^2+2mt+6t+8m$,得$h=3t^2+16t+8=3(t+\frac{8}{3})^2-\frac{40}{3}$.
∵ 3＞0,
∴ 当$t=-\frac{8}{3}$时,h取最小值,为$-\frac{40}{3}$.
②
∵ h-2t=0,
∴ 2t=$t^2+2mt+6t+8m$,
∴ $t^2+4t+2mt+8m=0$,
∴ (t+4)(t+2m)=0,
∴ t=-4或-2m.
∵ m≤0,t＜0,
∴ -2m≥0.
∴ t=-4,
∴ h=-8.
∴ 函数$y=ax^2+6x$顶点的纵坐标为$-\frac{9}{a}$. 抛物线$y=x^2-2x$的对称轴为直线$x=-\frac{-2}{2}=1$,把x=1代入$y=x^2-2x$,得y=-1,
∴ 抛物线$y=x^2-2x$顶点的纵坐标为-1,
∴ $-\frac{9}{a}=-1-8$,
∴ a=1.
(2)
∵ 点M(m,n)在抛物线$y=x^2-2x$上,
∴ $n=m^2-2m$.
∵ N(m+t,n+h)在抛物线$y=x^2+6x$上,
∴ $n+h=(m+t)^2+6(m+t)$,
∴ $m^2-2m+h=m^2+2mt+t^2+6m+6t$,
∴ $h=t^2+2mt+6t+8m$.
①将m=t+1代入$h=t^2+2mt+6t+8m$,得$h=3t^2+16t+8=3(t+\frac{8}{3})^2-\frac{40}{3}$.
∵ 3＞0,
∴ 当$t=-\frac{8}{3}$时,h取最小值,为$-\frac{40}{3}$.
②
∵ h-2t=0,
∴ 2t=$t^2+2mt+6t+8m$,
∴ $t^2+4t+2mt+8m=0$,
∴ (t+4)(t+2m)=0,
∴ t=-4或-2m.
∵ m≤0,t＜0,
∴ -2m≥0.
∴ t=-4,
∴ h=-8.
解析
【分析】
(1) 解题思路：先利用二次函数顶点坐标的求法，分别计算两个抛物线的顶点纵坐标，再根据“抛物线$y=ax^2+6x$的顶点纵坐标比抛物线$y=x^2-2x$的顶点纵坐标小8”的数量关系列方程，即可求出$a$的值。
(2) 解题思路：先将点$M$、$N$的坐标分别代入对应抛物线的解析式，消去$n$推导得到$h$与$m$、$t$的关系式。①将$m=t+1$代入关系式，得到$h$关于$t$的二次函数，用配方法结合二次函数开口方向求最小值；②将$h=2t$代入关系式，整理后因式分解得到$t$的可能取值，再结合$m≤0$、$t＜0$的约束条件筛选符合要求的$t$，最终求出$h$的值。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2+6x$，对称轴为直线$x=-\frac{6}{2a}=-\frac{3}{a}$，将$x=-\frac{3}{a}$代入解析式得：
$y=a·(-\frac{3}{a})^2 + 6·(-\frac{3}{a})=-\frac{9}{a}$，即其顶点纵坐标为$-\frac{9}{a}$。
对于抛物线$y=x^2-2x$，对称轴为直线$x=-\frac{-2}{2×1}=1$，将$x=1$代入解析式得：$y=1^2-2×1=-1$，即其顶点纵坐标为$-1$。
由题意得$-\frac{9}{a}=-1-8$，解得$a=1$。
(2) 因为点$M(m,n)$在抛物线$y=x^2-2x$上，所以$n=m^2-2m$。
因为点$N(m+t,n+h)$在抛物线$y=x^2+6x$上，所以$n+h=(m+t)^2+6(m+t)$。
将$n=m^2-2m$代入上式，整理得：
$m^2-2m+h=m^2+2mt+t^2+6m+6t$，即$h=t^2+2mt+8m+6t$。
① 将$m=t+1$代入$h$的表达式得：
$h=t^2+2(t+1)t+8(t+1)+6t=3t^2+16t+8$，
配方得$h=3(t+\frac{8}{3})^2-\frac{40}{3}$。
因为$3＞0$，抛物线开口向上，所以当$t=-\frac{8}{3}$时，$h$取最小值$-\frac{40}{3}$。
② 因为$h-2t=0$，即$h=2t$，代入$h$的表达式得：
$2t=t^2+2mt+8m+6t$，整理得$t^2+2mt+4t+8m=0$，
因式分解得$(t+4)(t+2m)=0$，解得$t=-4$或$t=-2m$。
因为$m≤0$，所以$-2m≥0$，结合$t＜0$的条件，$t=-2m$不符合要求，舍去，故$t=-4$，因此$h=2t=2×(-4)=-8$。
【答案】
(1) $a=1$；
(2) ① $h$的最小值为$-\frac{40}{3}$；② $h=-8$
【知识点】
二次函数顶点坐标，二次函数最值求解，因式分解的应用
【点评】
本题是二次函数与代数运算结合的典型题型，既考查了二次函数顶点坐标计算、最值求解等基础知识点，也通过代数式变形、条件筛选考查逻辑推理能力，能有效检验对二次函数基础知识的掌握程度和综合运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 解题思路：先利用二次函数顶点坐标的求法，分别计算两个抛物线的顶点纵坐标，再根据“抛物线$y=ax^2+6x$的顶点纵坐标比抛物线$y=x^2-2x$的顶点纵坐标小8”的数量关系列方程，即可求出$a$的值。
(2) 解题思路：先将点$M$、$N$的坐标分别代入对应抛物线的解析式，消去$n$推导得到$h$与$m$、$t$的关系式。①将$m=t+1$代入关系式，得到$h$关于$t$的二次函数，用配方法结合二次函数开口方向求最小值；②将$h=2t$代入关系式，整理后因式分解得到$t$的可能取值，再结合$m≤0$、$t＜0$的约束条件筛选符合要求的$t$，最终求出$h$的值。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2+6x$，对称轴为直线$x=-\frac{6}{2a}=-\frac{3}{a}$，将$x=-\frac{3}{a}$代入解析式得：
$y=a·(-\frac{3}{a})^2 + 6·(-\frac{3}{a})=-\frac{9}{a}$，即其顶点纵坐标为$-\frac{9}{a}$。
对于抛物线$y=x^2-2x$，对称轴为直线$x=-\frac{-2}{2×1}=1$，将$x=1$代入解析式得：$y=1^2-2×1=-1$，即其顶点纵坐标为$-1$。
由题意得$-\frac{9}{a}=-1-8$，解得$a=1$。
(2) 因为点$M(m,n)$在抛物线$y=x^2-2x$上，所以$n=m^2-2m$。
因为点$N(m+t,n+h)$在抛物线$y=x^2+6x$上，所以$n+h=(m+t)^2+6(m+t)$。
将$n=m^2-2m$代入上式，整理得：
$m^2-2m+h=m^2+2mt+t^2+6m+6t$，即$h=t^2+2mt+8m+6t$。
① 将$m=t+1$代入$h$的表达式得：
$h=t^2+2(t+1)t+8(t+1)+6t=3t^2+16t+8$，
配方得$h=3(t+\frac{8}{3})^2-\frac{40}{3}$。
因为$3＞0$，抛物线开口向上，所以当$t=-\frac{8}{3}$时，$h$取最小值$-\frac{40}{3}$。
② 因为$h-2t=0$，即$h=2t$，代入$h$的表达式得：
$2t=t^2+2mt+8m+6t$，整理得$t^2+2mt+4t+8m=0$，
因式分解得$(t+4)(t+2m)=0$，解得$t=-4$或$t=-2m$。
因为$m≤0$，所以$-2m≥0$，结合$t＜0$的条件，$t=-2m$不符合要求，舍去，故$t=-4$，因此$h=2t=2×(-4)=-8$。
【答案】
(1) $a=1$；
(2) ① $h$的最小值为$-\frac{40}{3}$；② $h=-8$
【知识点】
二次函数顶点坐标，二次函数最值求解，因式分解的应用
【点评】
本题是二次函数与代数运算结合的典型题型，既考查了二次函数顶点坐标计算、最值求解等基础知识点，也通过代数式变形、条件筛选考查逻辑推理能力，能有效检验对二次函数基础知识的掌握程度和综合运算能力。
【难度系数】
0.6
14[2025安徽六安金安区校级调研]如图(1),抛物线$y=ax^2+bx-3$经过$A(-1,0),B(3,0)$两点,与y轴交于点C,P为第四象限内抛物线上一点,连接BP,CP.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设四边形COBP的面积为S,求S的最大值;
(3)如图(2),过点P作$PM⊥x$轴于点M,连接AC,AP,AP与y轴交于点D.当$∠MPA=2∠PAC$时,求直线AP的函数表达式及点P的坐标.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设四边形COBP的面积为S,求S的最大值;
(3)如图(2),过点P作$PM⊥x$轴于点M,连接AC,AP,AP与y轴交于点D.当$∠MPA=2∠PAC$时,求直线AP的函数表达式及点P的坐标.
答案
14.【解】(1)
∵ 抛物线$y=ax^2+bx-3$经过A(-1,0),B(3,0)两点,
∴ 将点A,B的坐标代入,得$\begin{cases}a-b-3=0,\\9a+3b-3=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\end{cases}$
∴ $y=x^2-2x-3$.
(2)如图,过点P作PN⊥x轴于点N
. 令x=0,则$y=x^2-2x-3=-3$,∴ C(0,-3),
∴ OC=3. 设点$P(m,m^2-2m-3)(0＜m＜3)$,
∴ $PN=-(m^2-2m-3)=-m^2+2m+3,ON=m$.
∵ B(3,0),
∴ OB=3,
∴ BN=3-m,
∴ $S=S_{梯形PNOC}+S_{△PNB}=\frac{1}{2}(OC+PN)·ON+\frac{1}{2}PN·BN=\frac{1}{2}(3-m^2+2m+3)·m+\frac{1}{2}(-m^2+2m+3)(3-m)=-\frac{3}{2}m^2+\frac{9}{2}m+\frac{9}{2}=-\frac{3}{2}(m-\frac{3}{2})^2+\frac{63}{8}$.
∵ $-\frac{3}{2}＜0,0＜m＜3$,
∴ 当$m=\frac{3}{2}$时,S有最大值,最大值为$\frac{63}{8}$.
(3)
∵ OD⊥x轴,PM⊥x轴,
∴ OD//MP,
∴ ∠ADO=∠APM.
∵ ∠MPA=2∠PAC,
∴ ∠ADO=2∠PAC,
∴ ∠DAC=∠DCA,
∴ AD=CD. 设D(0,n),则AD=CD=n-(-3)=n+3,
∴ $1+n^2=(n+3)^2$,
∴ $n=-\frac{4}{3}$,
∴ $D(0,-\frac{4}{3})$. 设直线AP的表达式为y=kx+b',把$D(0,-\frac{4}{3})$,A(-1,0)代入,得$\begin{cases}b'=-\frac{4}{3},\\-k+b'=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-\frac{4}{3},\\b'=-\frac{4}{3},\end{cases}$
∴ $y=-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}$. 令$-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}=x^2-2x-3$,解得$x_1=-1,x_2=\frac{5}{3}$,
∴ 点P的横坐标为$\frac{5}{3}$. 把$x=\frac{5}{3}$代入$y=-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}$,得$y=-\frac{4}{3}×\frac{5}{3}-\frac{4}{3}=-\frac{32}{9}$,
∴ 点P的坐标为$(\frac{5}{3},-\frac{32}{9})$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线经过A、B两个定点，直接将两点坐标代入抛物线的一般式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到系数值，确定解析式。
(2) 求四边形COBP的面积最大值，该图形为不规则图形，可通过作辅助线PN⊥x轴，将其分割为梯形COPN和直角三角形PNB两部分，设P点横坐标为m，用含m的代数式分别表示两部分面积，求和得到S关于m的二次函数表达式，再结合二次函数的性质和m的取值范围即可求出最大值。
(3) 处理角度等量关系时，先由OD、PM均垂直x轴得OD//MP，推出∠ADO=∠MPA，结合三角形外角性质可得∠PAC=∠DCA，即AD=CD，设D点坐标后用勾股定理列方程求出D点坐标，再用待定系数法求直线AP的解析式，最后联立直线与抛物线解析式即可求出P点坐标。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=ax^2+bx-3$经过A(-1,0),B(3,0)两点，
∴ 将点A,B的坐标代入，得$\begin{cases}a-b-3=0,\\9a+3b-3=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\end{cases}$
∴ 抛物线的函数表达式为$y=x^2-2x-3$。
(2) 如图，过点P作PN⊥x轴于点N。
令x=0，则$y=x^2-2x-3=-3$，
∴ C(0,-3)，
∴ OC=3。
设点$P(m,m^2-2m-3)(0＜m＜3)$，
∴ $PN=-(m^2-2m-3)=-m^2+2m+3,ON=m$。
∵ B(3,0)，
∴ OB=3，
∴ BN=3-m，
∴ $S=S_{梯形PNOC}+S_{△PNB}$
$=\frac{1}{2}(OC+PN)·ON+\frac{1}{2}PN·BN$
$=\frac{1}{2}(3-m^2+2m+3)·m+\frac{1}{2}(-m^2+2m+3)(3-m)$
$=-\frac{3}{2}m^2+\frac{9}{2}m+\frac{9}{2}$
$=-\frac{3}{2}(m-\frac{3}{2})^2+\frac{63}{8}$。
∵ $-\frac{3}{2}＜0,0＜m＜3$，
∴ 当$m=\frac{3}{2}$时，S有最大值，最大值为$\frac{63}{8}$。
(3)
∵ OD⊥x轴，PM⊥x轴，
∴ OD//MP，
∴ ∠ADO=∠APM。
∵ ∠MPA=2∠PAC，
∴ ∠ADO=2∠PAC，
又
∵ ∠ADO是△ADC的外角，$∠ ADO=∠ PAC+∠ DCA$，
∴ $∠ DAC=∠ DCA$，
∴ AD=CD。
设D(0,n)，则AD=CD=n-(-3)=n+3，
由勾股定理得$OA^2+OD^2=AD^2$，即$1+n^2=(n+3)^2$，
解得$n=-\frac{4}{3}$，
∴ $D(0,-\frac{4}{3})$。
设直线AP的表达式为y=kx+b'，把$D(0,-\frac{4}{3})$，A(-1,0)代入，得
$\begin{cases}b'=-\frac{4}{3},\\-k+b'=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{4}{3},\\b'=-\frac{4}{3},\end{cases}$
∴ 直线AP的函数表达式为$y=-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}$。
令$-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}=x^2-2x-3$，解得$x_1=-1,x_2=\frac{5}{3}$，
∴ 点P的横坐标为$\frac{5}{3}$。
把$x=\frac{5}{3}$代入$y=-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}$，得$y=-\frac{4}{3}×\frac{5}{3}-\frac{4}{3}=-\frac{32}{9}$，
∴ 点P的坐标为$(\frac{5}{3},-\frac{32}{9})$。
【答案】
(1) $y=x^2-2x-3$
(2) $\frac{63}{8}$
(3) 直线AP的函数表达式为$y=-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}$，点P的坐标为$(\frac{5}{3},-\frac{32}{9})$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数的最值
3. 平行线与等腰三角形性质
【点评】
本题是二次函数综合类题型，覆盖了函数解析式求解、不规则图形面积计算、角度等量转化、函数交点求解等考点，既考查基础运算能力，也考查数形结合、等量转化的数学思想，是二次函数常见的考查形式。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线经过A、B两个定点，直接将两点坐标代入抛物线的一般式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到系数值，确定解析式。
(2) 求四边形COBP的面积最大值，该图形为不规则图形，可通过作辅助线PN⊥x轴，将其分割为梯形COPN和直角三角形PNB两部分，设P点横坐标为m，用含m的代数式分别表示两部分面积，求和得到S关于m的二次函数表达式，再结合二次函数的性质和m的取值范围即可求出最大值。
(3) 处理角度等量关系时，先由OD、PM均垂直x轴得OD//MP，推出∠ADO=∠MPA，结合三角形外角性质可得∠PAC=∠DCA，即AD=CD，设D点坐标后用勾股定理列方程求出D点坐标，再用待定系数法求直线AP的解析式，最后联立直线与抛物线解析式即可求出P点坐标。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=ax^2+bx-3$经过A(-1,0),B(3,0)两点，
∴ 将点A,B的坐标代入，得$\begin{cases}a-b-3=0,\\9a+3b-3=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\end{cases}$
∴ 抛物线的函数表达式为$y=x^2-2x-3$。
(2) 如图，过点P作PN⊥x轴于点N
。令x=0，则$y=x^2-2x-3=-3$，
∴ C(0,-3)，
∴ OC=3。
设点$P(m,m^2-2m-3)(0＜m＜3)$，
∴ $PN=-(m^2-2m-3)=-m^2+2m+3,ON=m$。
∵ B(3,0)，
∴ OB=3，
∴ BN=3-m，
∴ $S=S_{梯形PNOC}+S_{△PNB}$
$=\frac{1}{2}(OC+PN)·ON+\frac{1}{2}PN·BN$
$=\frac{1}{2}(3-m^2+2m+3)·m+\frac{1}{2}(-m^2+2m+3)(3-m)$
$=-\frac{3}{2}m^2+\frac{9}{2}m+\frac{9}{2}$
$=-\frac{3}{2}(m-\frac{3}{2})^2+\frac{63}{8}$。
∵ $-\frac{3}{2}＜0,0＜m＜3$，
∴ 当$m=\frac{3}{2}$时，S有最大值，最大值为$\frac{63}{8}$。
(3)
∵ OD⊥x轴，PM⊥x轴，
∴ OD//MP，
∴ ∠ADO=∠APM。
∵ ∠MPA=2∠PAC，
∴ ∠ADO=2∠PAC，
又
∵ ∠ADO是△ADC的外角，$∠ ADO=∠ PAC+∠ DCA$，
∴ $∠ DAC=∠ DCA$，
∴ AD=CD。
设D(0,n)，则AD=CD=n-(-3)=n+3，
由勾股定理得$OA^2+OD^2=AD^2$，即$1+n^2=(n+3)^2$，
解得$n=-\frac{4}{3}$，
∴ $D(0,-\frac{4}{3})$。
设直线AP的表达式为y=kx+b'，把$D(0,-\frac{4}{3})$，A(-1,0)代入，得
$\begin{cases}b'=-\frac{4}{3},\\-k+b'=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{4}{3},\\b'=-\frac{4}{3},\end{cases}$
∴ 直线AP的函数表达式为$y=-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}$。
令$-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}=x^2-2x-3$，解得$x_1=-1,x_2=\frac{5}{3}$，
∴ 点P的横坐标为$\frac{5}{3}$。
把$x=\frac{5}{3}$代入$y=-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}$，得$y=-\frac{4}{3}×\frac{5}{3}-\frac{4}{3}=-\frac{32}{9}$，
∴ 点P的坐标为$(\frac{5}{3},-\frac{32}{9})$。
【答案】
(1) $y=x^2-2x-3$
(2) $\frac{63}{8}$
(3) 直线AP的函数表达式为$y=-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}$，点P的坐标为$(\frac{5}{3},-\frac{32}{9})$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数的最值
3. 平行线与等腰三角形性质
【点评】
本题是二次函数综合类题型，覆盖了函数解析式求解、不规则图形面积计算、角度等量转化、函数交点求解等考点，既考查基础运算能力，也考查数形结合、等量转化的数学思想，是二次函数常见的考查形式。
【难度系数】
0.6
