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15. 某电器超市销售每台进价分别为 160 元、120 元的 A,B 两种型号的电风扇,如表是近两周的销售情况:(进价、售价均保持不变,利润 = 销售收入 - 进货成本)
(1)求 A,B 两种型号的电风扇的销售单价.
(2)若该超市准备用不多于 7 500 元的金额再采购这两种型号的电风扇共 50 台,求 A 种型号的电风扇最多能采购多少台?
(3)在(2)的条件下,该超市销售完这 50 台电风扇能否实现利润超过 1 850 元的目标?若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.
(1)求 A,B 两种型号的电风扇的销售单价.
(2)若该超市准备用不多于 7 500 元的金额再采购这两种型号的电风扇共 50 台,求 A 种型号的电风扇最多能采购多少台?
(3)在(2)的条件下,该超市销售完这 50 台电风扇能否实现利润超过 1 850 元的目标?若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.
答案
(1)设 A,B 两种型号的电风扇的销售单价分别为 x 元、y 元,
根据题意,得$\begin{cases}3x+4y=1\ 200,\\5x+6y=1\ 900.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=200,\\y=150.\end{cases}$
答:A,B 两种型号的电风扇的销售单价分别为 200 元、150 元.
(2)设采购 A 种型号的电风扇 a 台,则采购 B 种型号的电风扇$(50-a)$台.
根据题意,得$160a+120(50-a)≤7\ 500.$
解得$a≤37\dfrac{1}{2}.$
$\because\ \ a$是非负整数,
$\therefore\ \ a$的最大值是 37.
答:A 种型号的电风扇最多能采购 37 台.
(3)在(2)的条件下,该超市销售完这 50 台电风扇能实现利润超过 1 850 元的目标.
设采购 A 种型号的电风扇 a 台,则采购 B 种型号的电风扇$(50-a)$台. 根据题意,得
$(200-160)a+(150-120)(50-a)＞1\ 850.$
解得$a＞35.$
$\because\ \ a≤37\dfrac{1}{2},$且 a 为非负整数,
$\therefore\ \ a$的值为 36,37.
$\therefore\ \ $相应方案有两种:
方案一,采购 A 种型号的电风扇 36 台,B 种型号的电风扇 14 台;
方案二,采购 A 种型号的电风扇 37 台,B 种型号的电风扇 13 台.
根据题意,得$\begin{cases}3x+4y=1\ 200,\\5x+6y=1\ 900.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=200,\\y=150.\end{cases}$
答:A,B 两种型号的电风扇的销售单价分别为 200 元、150 元.
(2)设采购 A 种型号的电风扇 a 台,则采购 B 种型号的电风扇$(50-a)$台.
根据题意,得$160a+120(50-a)≤7\ 500.$
解得$a≤37\dfrac{1}{2}.$
$\because\ \ a$是非负整数,
$\therefore\ \ a$的最大值是 37.
答:A 种型号的电风扇最多能采购 37 台.
(3)在(2)的条件下,该超市销售完这 50 台电风扇能实现利润超过 1 850 元的目标.
设采购 A 种型号的电风扇 a 台,则采购 B 种型号的电风扇$(50-a)$台. 根据题意,得
$(200-160)a+(150-120)(50-a)＞1\ 850.$
解得$a＞35.$
$\because\ \ a≤37\dfrac{1}{2},$且 a 为非负整数,
$\therefore\ \ a$的值为 36,37.
$\therefore\ \ $相应方案有两种:
方案一,采购 A 种型号的电风扇 36 台,B 种型号的电风扇 14 台;
方案二,采购 A 种型号的电风扇 37 台,B 种型号的电风扇 13 台.
解析
【分析】
(1)要求A、B两种型号电风扇的销售单价，题目给出了两周两种型号的销售数量和对应总收入，存在两个明确的等量关系，可设两个未知数列二元一次方程组求解；
(2)要求A种型号最多采购的台数，已知采购总金额不超过7500元，两种型号共采购50台，可设采购A种型号a台，用a表示B的采购数量，根据总进价的不等关系列一元一次不等式，结合a为非负整数的实际要求取最大值即可；
(3)要判断能否实现利润超过1850元的目标，先根据“利润=单台利润×销售数量”列出关于a的不等式，结合(2)中a的取值范围，找出符合条件的非负整数a，即可得到对应的采购方案。
【解析】
(1)设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为x元、y元，
根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x+4y=1200\\5x+6y=1900\end{cases}$
给第一个方程乘3得$9x+12y=3600$，第二个方程乘2得$10x+12y=3800$，两式相减得$x=200$，将$x=200$代入$3x+4y=1200$，解得$y=150$。
(2)设采购A种型号的电风扇a台，则采购B种型号的电风扇$(50-a)$台，
根据采购总金额不超过7500元，列不等式：
$160a+120(50-a)≤7500$
化简得$40a≤1500$，解得$a≤37\dfrac{1}{2}$。
$\because$ a为非负整数，$\therefore$ a的最大值为37。
(3)能实现利润超过1850元的目标，求解如下：
设采购A种型号的电风扇a台，则采购B种型号的电风扇$(50-a)$台，
根据总利润超过1850元列不等式：
$(200-160)a+(150-120)(50-a)＞1850$
化简得$10a＞350$，解得$a＞35$。
结合(2)的结论$a≤37\dfrac{1}{2}$，且a为非负整数，可得$a=36$或$a=37$，对应两种方案：
方案一：采购A种型号电风扇36台，B种型号电风扇$50-36=14$台；
方案二：采购A种型号电风扇37台，B种型号电风扇$50-37=13$台。
【答案】
(1)A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为200元、150元；
(2)A种型号的电风扇最多能采购37台；
(3)能实现目标，采购方案有两种：方案一，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；方案二，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；方案设计问题
【点评】
本题是方程与不等式结合的实际应用题，考查了从表格中提取有效信息、建立数学模型的能力，解题时需注意实际问题中未知数的取值要符合实际意义，此类问题是初中数学的常见题型。
【难度系数】
0.65
(1)要求A、B两种型号电风扇的销售单价，题目给出了两周两种型号的销售数量和对应总收入，存在两个明确的等量关系，可设两个未知数列二元一次方程组求解；
(2)要求A种型号最多采购的台数，已知采购总金额不超过7500元，两种型号共采购50台，可设采购A种型号a台，用a表示B的采购数量，根据总进价的不等关系列一元一次不等式，结合a为非负整数的实际要求取最大值即可；
(3)要判断能否实现利润超过1850元的目标，先根据“利润=单台利润×销售数量”列出关于a的不等式，结合(2)中a的取值范围，找出符合条件的非负整数a，即可得到对应的采购方案。
【解析】
(1)设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为x元、y元，
根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x+4y=1200\\5x+6y=1900\end{cases}$
给第一个方程乘3得$9x+12y=3600$，第二个方程乘2得$10x+12y=3800$，两式相减得$x=200$，将$x=200$代入$3x+4y=1200$，解得$y=150$。
(2)设采购A种型号的电风扇a台，则采购B种型号的电风扇$(50-a)$台，
根据采购总金额不超过7500元，列不等式：
$160a+120(50-a)≤7500$
化简得$40a≤1500$，解得$a≤37\dfrac{1}{2}$。
$\because$ a为非负整数，$\therefore$ a的最大值为37。
(3)能实现利润超过1850元的目标，求解如下：
设采购A种型号的电风扇a台，则采购B种型号的电风扇$(50-a)$台，
根据总利润超过1850元列不等式：
$(200-160)a+(150-120)(50-a)＞1850$
化简得$10a＞350$，解得$a＞35$。
结合(2)的结论$a≤37\dfrac{1}{2}$，且a为非负整数，可得$a=36$或$a=37$，对应两种方案：
方案一：采购A种型号电风扇36台，B种型号电风扇$50-36=14$台；
方案二：采购A种型号电风扇37台，B种型号电风扇$50-37=13$台。
【答案】
(1)A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为200元、150元；
(2)A种型号的电风扇最多能采购37台；
(3)能实现目标，采购方案有两种：方案一，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；方案二，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；方案设计问题
【点评】
本题是方程与不等式结合的实际应用题，考查了从表格中提取有效信息、建立数学模型的能力，解题时需注意实际问题中未知数的取值要符合实际意义，此类问题是初中数学的常见题型。
【难度系数】
0.65
