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20. (9分)把正整数1,2,3,4,…,2 025排列成如图4所示的一个数表.
(1)用一正方形在表中随意框住4个数,把其中最小的数记为x,另三个数用含x的式子表示出来,从大到小依次是,,.
(2)当被框住的4个数之和等于416时,x的值是多少?
(3)被框住的4个数之和能否等于622?如果能,请求出此时x的值;如果不能,请说明理由.
(1)用一正方形在表中随意框住4个数,把其中最小的数记为x,另三个数用含x的式子表示出来,从大到小依次是,,.
(2)当被框住的4个数之和等于416时,x的值是多少?
(3)被框住的4个数之和能否等于622?如果能,请求出此时x的值;如果不能,请说明理由.
答案
解：
(1) $x+8$；$x+7$；$x+1$
(2) 根据题意列方程：
$x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=416$
合并同类项，得$4x+16=416$
移项，得$4x=400$
系数化为1，得$x=100$
答：$x$的值是100。
(3) 不能，理由如下：
假设4个数的和等于622，列方程得：
$x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=622$
合并同类项，得$4x+16=622$
移项化简得$4x=606$
系数化为1，得$x=151.5$
因为$x$是正整数，$151.5$不是正整数，不符合数表中数的特征，所以被框住的4个数之和不能等于622。
(1) $x+8$；$x+7$；$x+1$
(2) 根据题意列方程：
$x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=416$
合并同类项，得$4x+16=416$
移项，得$4x=400$
系数化为1，得$x=100$
答：$x$的值是100。
(3) 不能，理由如下：
假设4个数的和等于622，列方程得：
$x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=622$
合并同类项，得$4x+16=622$
移项化简得$4x=606$
系数化为1，得$x=151.5$
因为$x$是正整数，$151.5$不是正整数，不符合数表中数的特征，所以被框住的4个数之和不能等于622。
解析
【分析】
首先观察数表排列规律：数表每行有7个连续正整数，同一行相邻两个数相差1，同一列上下两个数相差7。框住的4个数为2行2列的形式，最小数x在左上角：右上角数比x大1，即x+1；左下角数比x大7，即x+7；右下角数比x大8，即x+8。
(1) 将其余三个数按从大到小排列即可；
(2) 根据四个数的和为416，列一元一次方程求解即可；
(3) 先假设和为622，列方程求解，再判断解是否为正整数、是否符合数表中数的特征即可。
【解析】
(1) 框住的四个数中，最小数为x，其余三个数分别为x+1、x+7、x+8，从大到小依次是$\boldsymbol{x+8}$，$\boldsymbol{x+7}$，$\boldsymbol{x+1}$。
(2) 根据题意列方程：
$x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=416$
合并同类项，得$4x+16=416$
移项，得$4x=400$
系数化为1，得$x=100$
(3) 不能，理由如下：
假设被框住的4个数之和等于622，列方程得：
$x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=622$
合并同类项，得$4x+16=622$
移项化简，得$4x=606$
系数化为1，得$x=151.5$
因为数表中的数均为正整数，x应为正整数，151.5不符合要求，所以被框住的4个数之和不能等于622。
【答案】
(1) $x+8$；$x+7$；$x+1$
(2) $x$的值是100
(3) 不能，理由见解析
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程的应用，整式表示数
【点评】
本题结合数表规律考查方程的实际应用，解题核心是先准确找到框选数字之间的数量关系，再根据题意列方程求解，同时要注意解需要符合数表中数字为正整数的实际要求。
【难度系数】
0.7
首先观察数表排列规律：数表每行有7个连续正整数，同一行相邻两个数相差1，同一列上下两个数相差7。框住的4个数为2行2列的形式，最小数x在左上角：右上角数比x大1，即x+1；左下角数比x大7，即x+7；右下角数比x大8，即x+8。
(1) 将其余三个数按从大到小排列即可；
(2) 根据四个数的和为416，列一元一次方程求解即可；
(3) 先假设和为622，列方程求解，再判断解是否为正整数、是否符合数表中数的特征即可。
【解析】
(1) 框住的四个数中，最小数为x，其余三个数分别为x+1、x+7、x+8，从大到小依次是$\boldsymbol{x+8}$，$\boldsymbol{x+7}$，$\boldsymbol{x+1}$。
(2) 根据题意列方程：
$x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=416$
合并同类项，得$4x+16=416$
移项，得$4x=400$
系数化为1，得$x=100$
(3) 不能，理由如下：
假设被框住的4个数之和等于622，列方程得：
$x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=622$
合并同类项，得$4x+16=622$
移项化简，得$4x=606$
系数化为1，得$x=151.5$
因为数表中的数均为正整数，x应为正整数，151.5不符合要求，所以被框住的4个数之和不能等于622。
【答案】
(1) $x+8$；$x+7$；$x+1$
(2) $x$的值是100
(3) 不能，理由见解析
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程的应用，整式表示数
【点评】
本题结合数表规律考查方程的实际应用，解题核心是先准确找到框选数字之间的数量关系，再根据题意列方程求解，同时要注意解需要符合数表中数字为正整数的实际要求。
【难度系数】
0.7
21.(9分)七年级进行法律知识竞赛,共有30道题,答对一道题得4分,不答或答错一道题扣2分.
(1)小红同学参加了竞赛,成绩是90分,请问小红在竞赛中答对了多少道题?
(2)小明也参加了竞赛,考完后他说:“这次竞赛我一定能拿到100分.”请问小明有没有可能拿到100分?试用方程的知识来说明理由.
(1)小红同学参加了竞赛,成绩是90分,请问小红在竞赛中答对了多少道题?
(2)小明也参加了竞赛,考完后他说:“这次竞赛我一定能拿到100分.”请问小明有没有可能拿到100分?试用方程的知识来说明理由.
答案
解：
(1) 设小红在竞赛中答对了x道题，则不答或答错的题目为$(30-x)$道。
根据题意列方程：
$4x - 2(30 - x) = 90$
去括号，得$4x - 60 + 2x = 90$
移项、合并同类项，得$6x = 150$
系数化为1，得$x = 25$
(2) 假设小明可以拿到100分，设小明答对了y道题，则不答或答错的题目为$(30-y)$道。
根据题意列方程：
$4y - 2(30 - y) = 100$
去括号，得$4y - 60 + 2y = 100$
移项、合并同类项，得$6y = 160$
系数化为1，得$y = \frac{80}{3}$
因为答对的题目数量必须是正整数，$y=\frac{80}{3}$不符合实际意义，因此小明没有可能拿到100分。
答：(1) 小红在竞赛中答对了25道题；(2) 小明没有可能拿到100分。
(1) 设小红在竞赛中答对了x道题，则不答或答错的题目为$(30-x)$道。
根据题意列方程：
$4x - 2(30 - x) = 90$
去括号，得$4x - 60 + 2x = 90$
移项、合并同类项，得$6x = 150$
系数化为1，得$x = 25$
(2) 假设小明可以拿到100分，设小明答对了y道题，则不答或答错的题目为$(30-y)$道。
根据题意列方程：
$4y - 2(30 - y) = 100$
去括号，得$4y - 60 + 2y = 100$
移项、合并同类项，得$6y = 160$
系数化为1，得$y = \frac{80}{3}$
因为答对的题目数量必须是正整数，$y=\frac{80}{3}$不符合实际意义，因此小明没有可能拿到100分。
答：(1) 小红在竞赛中答对了25道题；(2) 小明没有可能拿到100分。
解析
【分析】
本题是一元一次方程在实际竞赛得分场景的应用，解题思路如下：
(1) 首先明确得分规则：总得分=答对题目总得分 - 不答/答错题目总扣分。总题数为30道，可设答对题数为未知数，用总题数减去答对题数表示不答/答错的题数，再结合已知得分90分列方程求解即可。
(2) 要判断小明能不能拿到100分，可先假设能拿到100分，按照和第一问相同的等量关系列方程，求出答对题数的解，再结合“题数必须为正整数”的实际要求检验解是否合理，若不符合则假设不成立。
【解析】
(1) 设小红在竞赛中答对了x道题，则不答或答错的题目为$(30-x)$道。
根据题意列方程：
$4x - 2(30 - x) = 90$
去括号，得$4x - 60 + 2x = 90$
移项、合并同类项，得$6x = 150$
系数化为1，得$x = 25$
(2) 假设小明可以拿到100分，设小明答对了y道题，则不答或答错的题目为$(30-y)$道。
根据题意列方程：
$4y - 2(30 - y) = 100$
去括号，得$4y - 60 + 2y = 100$
移项、合并同类项，得$6y = 160$
系数化为1，得$y = \frac{80}{3}$
因为答对的题目数量必须是正整数，$y=\frac{80}{3}$不符合实际意义，因此小明没有可能拿到100分。
【答案】
(1) 小红在竞赛中答对了25道题；
(2) 小明没有可能拿到100分。
【知识点】
一元一次方程的应用；一元一次方程的解法；实际解合理性检验
【点评】
本题属于方程应用的基础常规题型，结合生活中的竞赛得分场景命题，解题核心是准确找到得分的等量关系列方程，同时要注意方程的解需要符合实际场景的要求，这类题能很好地考察学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
本题是一元一次方程在实际竞赛得分场景的应用，解题思路如下：
(1) 首先明确得分规则：总得分=答对题目总得分 - 不答/答错题目总扣分。总题数为30道，可设答对题数为未知数，用总题数减去答对题数表示不答/答错的题数，再结合已知得分90分列方程求解即可。
(2) 要判断小明能不能拿到100分，可先假设能拿到100分，按照和第一问相同的等量关系列方程，求出答对题数的解，再结合“题数必须为正整数”的实际要求检验解是否合理，若不符合则假设不成立。
【解析】
(1) 设小红在竞赛中答对了x道题，则不答或答错的题目为$(30-x)$道。
根据题意列方程：
$4x - 2(30 - x) = 90$
去括号，得$4x - 60 + 2x = 90$
移项、合并同类项，得$6x = 150$
系数化为1，得$x = 25$
(2) 假设小明可以拿到100分，设小明答对了y道题，则不答或答错的题目为$(30-y)$道。
根据题意列方程：
$4y - 2(30 - y) = 100$
去括号，得$4y - 60 + 2y = 100$
移项、合并同类项，得$6y = 160$
系数化为1，得$y = \frac{80}{3}$
因为答对的题目数量必须是正整数，$y=\frac{80}{3}$不符合实际意义，因此小明没有可能拿到100分。
【答案】
(1) 小红在竞赛中答对了25道题；
(2) 小明没有可能拿到100分。
【知识点】
一元一次方程的应用；一元一次方程的解法；实际解合理性检验
【点评】
本题属于方程应用的基础常规题型，结合生活中的竞赛得分场景命题，解题核心是准确找到得分的等量关系列方程，同时要注意方程的解需要符合实际场景的要求，这类题能很好地考察学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
