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22. (10分)某市电力部门对居民用电按月收费,标准如下:①用电不超过100 kW·h的,每 kW·h 收费0.5元;②用电超过100 kW·h的,超过部分每 kW·h 收费0.8元.
(1)小明家2月份用电86 kW·h,应缴费元;3月份用电140 kW·h,应缴费元.
(2)小明家4月份电费为90元,则他家4月份用了多少 kW·h 电?
(3)小明家5月份和6月份共用电260 kW·h,共缴费154元,并且6月份的用电量超过5月份的用电量,那么他家5,6月份各用了多少 kW·h 电?
(1)小明家2月份用电86 kW·h,应缴费元;3月份用电140 kW·h,应缴费元.
(2)小明家4月份电费为90元,则他家4月份用了多少 kW·h 电?
(3)小明家5月份和6月份共用电260 kW·h,共缴费154元,并且6月份的用电量超过5月份的用电量,那么他家5,6月份各用了多少 kW·h 电?
答案
解：
(1) 2月份应缴费：$86×0.5=43$元；
3月份应缴费：$100×0.5+(140-100)×0.8=82$元。
故答案依次为：$\boldsymbol{43}$；$\boldsymbol{82}$。
(2) 用电100 kW·h时，电费为$100×0.5=50$元，$50＜90$，因此4月份用电量超过100 kW·h。
设小明家4月份用了$x\ \mathrm{kW·h}$电，根据题意得：
$100×0.5 + 0.8(x-100)=90$
解得：$x=150$
答：小明家4月份用了$150\ \mathrm{kW·h}$电。
(3) 设小明家5月份用电$y\ \mathrm{kW·h}$，则6月份用电$(260-y)\ \mathrm{kW·h}$。
由6月份用电量超过5月份得：$260-y＞y$，即$y＜130$。
① 当$y≤100$时，列方程：
$0.5y + 100×0.5 + 0.8(260-y-100)=154$
解得：$y=80$
此时6月份用电量为$260-80=180\ \mathrm{kW·h}$，符合题意。
② 当$100＜y＜130$时，5月、6月用电量均超过100 kW·h，总电费为：
$100×0.5+0.8(y-100)+100×0.5+0.8(260-y-100)=148≠154$
该情况不存在。
答：小明家5月份用电$80\ \mathrm{kW·h}$，6月份用电$180\ \mathrm{kW·h}$。
(1) 2月份应缴费：$86×0.5=43$元；
3月份应缴费：$100×0.5+(140-100)×0.8=82$元。
故答案依次为：$\boldsymbol{43}$；$\boldsymbol{82}$。
(2) 用电100 kW·h时，电费为$100×0.5=50$元，$50＜90$，因此4月份用电量超过100 kW·h。
设小明家4月份用了$x\ \mathrm{kW·h}$电，根据题意得：
$100×0.5 + 0.8(x-100)=90$
解得：$x=150$
答：小明家4月份用了$150\ \mathrm{kW·h}$电。
(3) 设小明家5月份用电$y\ \mathrm{kW·h}$，则6月份用电$(260-y)\ \mathrm{kW·h}$。
由6月份用电量超过5月份得：$260-y＞y$，即$y＜130$。
① 当$y≤100$时，列方程：
$0.5y + 100×0.5 + 0.8(260-y-100)=154$
解得：$y=80$
此时6月份用电量为$260-80=180\ \mathrm{kW·h}$，符合题意。
② 当$100＜y＜130$时，5月、6月用电量均超过100 kW·h，总电费为：
$100×0.5+0.8(y-100)+100×0.5+0.8(260-y-100)=148≠154$
该情况不存在。
答：小明家5月份用电$80\ \mathrm{kW·h}$，6月份用电$180\ \mathrm{kW·h}$。
解析
【分析】
本题为阶梯电价的分段计费应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问：先判断用电量所属的收费档位，未超过100kW·h直接按0.5元/kW·h计算，超过100kW·h的部分分两部分计算，100kW·h以内按0.5元计费，超出部分按0.8元计费即可。
2. 第(2)问：先计算用电100kW·h的电费，和90元比较判断用电量超过100kW·h，再设未知数列分段计费的方程求解。
3. 第(3)问：先根据6月用电量超过5月，得出5月用电量小于130kW·h，再分两种情况讨论：①5月用电量不超过100kW·h，②5月用电量在100~130kW·h之间，分别列方程求解，验证结果是否符合分类的前提条件，排除不符合的情况即可得到正确结果。
【解析】
(1) 2月份用电$86\ \mathrm{kW·h}＜100\ \mathrm{kW·h}$，应缴费：$86×0.5=43$元；
3月份用电$140\ \mathrm{kW·h}＞100\ \mathrm{kW·h}$，应缴费：$100×0.5+(140-100)×0.8=50+32=82$元。
(2) 用电$100\ \mathrm{kW·h}$时的电费为：$100×0.5=50$元，因为$50＜90$，所以4月份用电量超过$100\ \mathrm{kW·h}$。
设小明家4月份用了$x\ \mathrm{kW·h}$电，根据分段收费规则列方程：
$100×0.5 + 0.8(x-100)=90$
解得：$x=150$
(3) 设小明家5月份用电$y\ \mathrm{kW·h}$，则6月份用电$(260-y)\ \mathrm{kW·h}$。
由6月份用电量超过5月份得：$260-y＞y$，解得$y＜130$，分两种情况讨论：
① 当$y≤100$时，列方程：
$0.5y + 100×0.5 + 0.8(260-y-100)=154$
解得：$y=80$
此时6月份用电量为$260-80=180\ \mathrm{kW·h}$，符合题意。
② 当$100＜y＜130$时，5月、6月用电量均超过$100\ \mathrm{kW·h}$，总电费为：
$100×0.5+0.8(y-100)+100×0.5+0.8(260-y-100)=148≠154$
该情况不存在。
【答案】
(1) $\boldsymbol{43}$；$\boldsymbol{82}$
(2) $\boldsymbol{150\ \mathrm{kW·h}}$
(3) 5月份用电$\boldsymbol{80\ \mathrm{kW·h}}$，6月份用电$\boldsymbol{180\ \mathrm{kW·h}}$
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用；分类讨论思想
【点评】
本题是典型的阶梯收费类应用题，紧密结合生活实际，重点考查分段计算规则的应用和分类讨论的逻辑思维能力。解题时需先明确不同收费档位的计算标准，再根据已知条件判断所属档位，列方程求解，分类讨论时要注意验证结果是否符合对应情况的前提条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.6
本题为阶梯电价的分段计费应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问：先判断用电量所属的收费档位，未超过100kW·h直接按0.5元/kW·h计算，超过100kW·h的部分分两部分计算，100kW·h以内按0.5元计费，超出部分按0.8元计费即可。
2. 第(2)问：先计算用电100kW·h的电费，和90元比较判断用电量超过100kW·h，再设未知数列分段计费的方程求解。
3. 第(3)问：先根据6月用电量超过5月，得出5月用电量小于130kW·h，再分两种情况讨论：①5月用电量不超过100kW·h，②5月用电量在100~130kW·h之间，分别列方程求解，验证结果是否符合分类的前提条件，排除不符合的情况即可得到正确结果。
【解析】
(1) 2月份用电$86\ \mathrm{kW·h}＜100\ \mathrm{kW·h}$，应缴费：$86×0.5=43$元；
3月份用电$140\ \mathrm{kW·h}＞100\ \mathrm{kW·h}$，应缴费：$100×0.5+(140-100)×0.8=50+32=82$元。
(2) 用电$100\ \mathrm{kW·h}$时的电费为：$100×0.5=50$元，因为$50＜90$，所以4月份用电量超过$100\ \mathrm{kW·h}$。
设小明家4月份用了$x\ \mathrm{kW·h}$电，根据分段收费规则列方程：
$100×0.5 + 0.8(x-100)=90$
解得：$x=150$
(3) 设小明家5月份用电$y\ \mathrm{kW·h}$，则6月份用电$(260-y)\ \mathrm{kW·h}$。
由6月份用电量超过5月份得：$260-y＞y$，解得$y＜130$，分两种情况讨论：
① 当$y≤100$时，列方程：
$0.5y + 100×0.5 + 0.8(260-y-100)=154$
解得：$y=80$
此时6月份用电量为$260-80=180\ \mathrm{kW·h}$，符合题意。
② 当$100＜y＜130$时，5月、6月用电量均超过$100\ \mathrm{kW·h}$，总电费为：
$100×0.5+0.8(y-100)+100×0.5+0.8(260-y-100)=148≠154$
该情况不存在。
【答案】
(1) $\boldsymbol{43}$；$\boldsymbol{82}$
(2) $\boldsymbol{150\ \mathrm{kW·h}}$
(3) 5月份用电$\boldsymbol{80\ \mathrm{kW·h}}$，6月份用电$\boldsymbol{180\ \mathrm{kW·h}}$
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用；分类讨论思想
【点评】
本题是典型的阶梯收费类应用题，紧密结合生活实际，重点考查分段计算规则的应用和分类讨论的逻辑思维能力。解题时需先明确不同收费档位的计算标准，再根据已知条件判断所属档位，列方程求解，分类讨论时要注意验证结果是否符合对应情况的前提条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.6
23. (10分)“中国竹乡”安吉县有着丰富的毛竹资源,某企业已收购毛竹52.5吨.根据市场信息,将毛竹直接销售,每吨可获得100元;如果对毛竹进行粗加工,每天可加工8吨,每吨可获得1000元;如果对毛竹进行精加工,每天可加工0.5吨,每吨可获得5000元.由于受条件限制,在同一天中只能采用一种方式加工,并且必须在一个月(30天)内将这批毛竹全部销售.为此研究了两种方案:
方案一:将毛竹全部粗加工后销售,则可获利元;
方案二:30天时间都进行精加工,未来得及加工的毛竹,在市场上直接销售,则可获利元.
(1)请完成题中的空白.
(2)是否存在第三种方案,将部分毛竹精加工,其余毛竹粗加工,并且恰好在30天内完成?若存在,求销售后所获利润;若不存在,请说明理由.
方案一:将毛竹全部粗加工后销售,则可获利元;
方案二:30天时间都进行精加工,未来得及加工的毛竹,在市场上直接销售,则可获利元.
(1)请完成题中的空白.
(2)是否存在第三种方案,将部分毛竹精加工,其余毛竹粗加工,并且恰好在30天内完成?若存在,求销售后所获利润;若不存在,请说明理由.
答案
解：
(1) 方案一获利：$52.5 × 1000 = 52500$ 元
方案二中，30天可精加工毛竹：$30 × 0.5 = 15$ 吨，
剩余直接销售的毛竹重量：$52.5 - 15 = 37.5$ 吨，
总获利：$15 × 5000 + 37.5 × 100 = 78750$ 元
空白处依次填 $\boldsymbol{52500}$，$\boldsymbol{78750}$。
(2) 存在第三种方案。
设精加工的天数为$x$天，则粗加工的天数为$(30-x)$天，
根据毛竹总重量为52.5吨，列方程：
$0.5x + 8(30 - x) = 52.5$
去括号，得：$0.5x + 240 - 8x = 52.5$
移项、合并同类项，得：$-7.5x = -187.5$
系数化为1，得：$x = 25$
粗加工天数为 $30 - 25 = 5$ 天，符合要求。
总利润为：$0.5 × 25 × 5000 + 8 × 5 × 1000 = 102500$ 元。
答：存在符合条件的第三种方案，销售后所获利润为102500元。
(1) 方案一获利：$52.5 × 1000 = 52500$ 元
方案二中，30天可精加工毛竹：$30 × 0.5 = 15$ 吨，
剩余直接销售的毛竹重量：$52.5 - 15 = 37.5$ 吨，
总获利：$15 × 5000 + 37.5 × 100 = 78750$ 元
空白处依次填 $\boldsymbol{52500}$，$\boldsymbol{78750}$。
(2) 存在第三种方案。
设精加工的天数为$x$天，则粗加工的天数为$(30-x)$天，
根据毛竹总重量为52.5吨，列方程：
$0.5x + 8(30 - x) = 52.5$
去括号，得：$0.5x + 240 - 8x = 52.5$
移项、合并同类项，得：$-7.5x = -187.5$
系数化为1，得：$x = 25$
粗加工天数为 $30 - 25 = 5$ 天，符合要求。
总利润为：$0.5 × 25 × 5000 + 8 × 5 × 1000 = 102500$ 元。
答：存在符合条件的第三种方案，销售后所获利润为102500元。
解析
【分析】
解决本题可按照以下思路思考：
1. 求解第一问的两个方案获利：首先判断方案一的可行性：粗加工每天可加工8吨，30天可加工240吨，远大于现有毛竹52.5吨，因此全部粗加工可实现，直接用毛竹总吨数乘粗加工每吨获利即可得到方案一利润；方案二固定30天全部做精加工，先计算30天精加工的毛竹重量，剩余未加工的毛竹直接销售，分别计算精加工、直接销售两部分的利润，求和即可得到方案二利润。
2. 求解第二问的第三种方案：要满足30天内完成全部加工，核心等量关系为“精加工的毛竹总重量+粗加工的毛竹总重量=毛竹总重量52.5吨”，可设精加工天数为x天，则粗加工天数为(30-x)天，代入等量关系列一元一次方程求解，若解得的x符合0≤x≤30的实际要求，则方案存在，再根据对应的加工量计算总利润即可。
【解析】
(1) 计算方案一获利：
全部粗加工可完成，总获利为 $52.5 × 1000 = 52500$ 元。
计算方案二获利：
30天可精加工毛竹重量：$30 × 0.5 = 15$ 吨，
剩余直接销售的毛竹重量：$52.5 - 15 = 37.5$ 吨，
总获利为：$15 × 5000 + 37.5 × 100 = 75000 + 3750 = 78750$ 元。
(2) 存在第三种方案，求解过程如下：
设精加工的天数为$x$天，则粗加工的天数为$(30-x)$天，
根据毛竹总重量为52.5吨，列方程：
$0.5x + 8(30 - x) = 52.5$
去括号，得：$0.5x + 240 - 8x = 52.5$
移项、合并同类项，得：$-7.5x = -187.5$
系数化为1，得：$x = 25$
粗加工天数为 $30 - 25 = 5$ 天，符合实际要求。
总利润为：$0.5 × 25 × 5000 + 8 × 5 × 1000 = 62500 + 40000 = 102500$ 元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{52500}$；$\boldsymbol{78750}$
(2) 存在第三种方案，销售后所获利润为$\boldsymbol{102500}$元。
【知识点】
一元一次方程的应用；方案选择问题；有理数混合运算
【点评】
本题是典型的生活实际类方案设计应用题，难度适中，解题的关键是准确梳理不同加工模式下产量、时间、利润之间的数量关系，列方程求解后要注意检验解是否符合实际场景的要求，这类题型是应用题中的常考类型，能有效考查运算能力和方程建模思想。
【难度系数】
0.65
解决本题可按照以下思路思考：
1. 求解第一问的两个方案获利：首先判断方案一的可行性：粗加工每天可加工8吨，30天可加工240吨，远大于现有毛竹52.5吨，因此全部粗加工可实现，直接用毛竹总吨数乘粗加工每吨获利即可得到方案一利润；方案二固定30天全部做精加工，先计算30天精加工的毛竹重量，剩余未加工的毛竹直接销售，分别计算精加工、直接销售两部分的利润，求和即可得到方案二利润。
2. 求解第二问的第三种方案：要满足30天内完成全部加工，核心等量关系为“精加工的毛竹总重量+粗加工的毛竹总重量=毛竹总重量52.5吨”，可设精加工天数为x天，则粗加工天数为(30-x)天，代入等量关系列一元一次方程求解，若解得的x符合0≤x≤30的实际要求，则方案存在，再根据对应的加工量计算总利润即可。
【解析】
(1) 计算方案一获利：
全部粗加工可完成，总获利为 $52.5 × 1000 = 52500$ 元。
计算方案二获利：
30天可精加工毛竹重量：$30 × 0.5 = 15$ 吨，
剩余直接销售的毛竹重量：$52.5 - 15 = 37.5$ 吨，
总获利为：$15 × 5000 + 37.5 × 100 = 75000 + 3750 = 78750$ 元。
(2) 存在第三种方案，求解过程如下：
设精加工的天数为$x$天，则粗加工的天数为$(30-x)$天，
根据毛竹总重量为52.5吨，列方程：
$0.5x + 8(30 - x) = 52.5$
去括号，得：$0.5x + 240 - 8x = 52.5$
移项、合并同类项，得：$-7.5x = -187.5$
系数化为1，得：$x = 25$
粗加工天数为 $30 - 25 = 5$ 天，符合实际要求。
总利润为：$0.5 × 25 × 5000 + 8 × 5 × 1000 = 62500 + 40000 = 102500$ 元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{52500}$；$\boldsymbol{78750}$
(2) 存在第三种方案，销售后所获利润为$\boldsymbol{102500}$元。
【知识点】
一元一次方程的应用；方案选择问题；有理数混合运算
【点评】
本题是典型的生活实际类方案设计应用题，难度适中，解题的关键是准确梳理不同加工模式下产量、时间、利润之间的数量关系，列方程求解后要注意检验解是否符合实际场景的要求，这类题型是应用题中的常考类型，能有效考查运算能力和方程建模思想。
【难度系数】
0.65
